Η ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ

Πυθαγόρας
Α΄ΜΕΡΟΣ
Περί  του Πυθαγόρειου βίου

Πυθαγόρας ο Σάμιος 

Ο Πυθαγόρας, γιος του Μνήσαρχου και της Πυθαΐδας, γεννήθηκε στη Σάμο. Η γέννηση του πιθανολογείται ανάμεσα στο (592 και το 572 π.Χ.). Σημαντικός αριθμός ιστορικών ισχυρίζεται ως σίγουρη χρονολογία γέννησης του Πυθαγόρα το (585 π.Χ.). Το όνομα Πυθαγόρας, του το έδωσαν οι γονείς του προς τιμήν της Πυθίας που προφήτευσε την γέννηση του. Ο Πυθαγόρας, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεωμέτρης, θεωρητικός της μουσικής και ιδρυτής της Πυθαγόρειας σχολής.
Είναι ο κατεξοχήν θεμελιωτής των Ελληνικών μαθηματικών και δημιούργησε ένα άρτιο σύστημα για την επιστήμη των ουρανίων σωμάτων, που κατοχύρωσε με όλες τις σχετικές αριθμητικές και γεωμετρικές αποδείξεις. Ο Πυθαγόρας είναι ο πρώτος που ονόμασε τον εαυτό του "φιλόσοφο" και ο πρώτος που ανακάλυψε τα μουσικά διαστήματα από μία χορδή. Ο Πρόκλος (Νεοπλατωνικός φιλόσοφος 410 - 485 π.Χ.) λέει πως πρώτος ο Πυθαγόρας ανύψωσε την γεωμετρία σε ελεύθερη επιστήμη, γιατί θεώρησε τις αρχές της από πάνω προς κάτω και όχι με βάση τα υλικά αντικείμενα. 
Ο Απολλώνιος ο Λογιστικός, αναφέρει ότι προσέφερε εκατόμβη, όταν βρήκε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων κάθετων πλευρών. Ενώ ο Διογένης Λαέρτιος (Βίοι Φιλοσόφων), αναφέρει για τον Πυθαγόρα ότι : "Νεαρός ακόμη, παρακινημένος από τη φιλομάθειά του έφυγε από την πατρίδα του για να μυηθεί σε όλες τις Ελληνικές και βαρβαρικές τελετές. Πήγε και στην Αίγυπτο και τότε ο Πολυτάρκης τον σύστησε με επιστολή του στον Άμαση. 
Έμαθε τέλεια τα Αιγυπτιακά, όπως λέει ο Αντιφών στο "Περί των εν αρετή πρωτευσάντων" και επισκέφτηκε τους Χαλδαίους και τους Μάγους. Κατόπιν στην Κρήτη με τον Επιμενίδη κατέβηκε στο Ιδαίον Άντρο, αλλά και στην Αίγυπτο είχε μπει στα άδυτα. Έτσι γνώρισε τα μυστικά για τους θεούς. Στη συνέχεια επέστρεψε στη Σάμο, επειδή όμως βρήκε την πατρίδα του τυραννοκρατούμενη από τον Πολυκράτη, αναχώρησε για τον Κρότωνα της Ιταλίας. Ο Πυθαγόρας με τη διδασκαλία του, αποσκοπούσε στα εξής:
  • Πρώτον, στο να οδηγήσει τον άνθρωπο στην κατανόηση των νόμων της φύσης και 
  • Δεύτερον, στο να βελτιώσει και να αναπτύξει τις ικανότητές του. 
Για τον Πυθαγόρα και τους υποστηρικτές του, τους Πυθαγόρειους η ουσία των πραγμάτων βρίσκεται στους αριθμούς και στις μαθηματικές σχέσεις. Όπου οι αριθμοί και οι μαθηματικές σχέσεις είναι οι νόμοι που διέπουν τον φυσικό αλλά και τον πνευματικό μας κόσμο. Γνωστή θεωρείται η Πυθαγόρεια διδασκαλία της "μιμήσεως" κατά την οποία τα αισθητά υπάρχουν κατ' απομίμηση ατελή του τέλειου νοητού κόσμου. Έτσι εισάγεται στην Ελληνική φιλοσοφία η αντίληψη των δύο κόσμων, ''Νοητού και Αισθητού'' που επηρέασε στη συνέχεια, την θεωρία για τον κόσμο των Ιδεών του Πλάτωνα. 
Η αληθινή πηγή της σοφίας για τους Πυθαγόρειους είναι η Τετρακτύς, δηλαδή οι τέσσερις πρώτοι φυσικοί αριθμοί που θεωρείται ότι συνδέονται μεταξύ τους με διάφορες σχέσεις. Πραγματικά, από αυτούς τους τέσσερις αριθμούς, μπορεί κανείς να κατασκευάσει τις αρμονικές αναλογίες της τέταρτης, της πέμπτης και της ογδόης. Οι αναλογίες αυτές δημιουργούν την αρμονία (το άκουσμα για το ωραίο) που για τους Πυθαγόρειους είχε όχι απλώς γενική σημασία, αλλά κυριολεκτικά κοσμική. Η Τετρακτύς (τετράδα) του Πυθαγόρα, σημαίνει το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αριθμών, δηλαδή ο αριθμός 10 = (1+2+3+4). 
Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν ως ρίζα και πηγή κάθε δημιουργίας την τετράδα αυτή των αριθμών και αποτελούσε τον μέγιστο και ιερότερο όρκο τους. Ο Πυθαγόρας απέδιδε στους αριθμούς μεταφυσικές ιδιότητες, λέγοντας ότι αυτοί, οι αριθμοί, διέπουν τις κινήσεις των αστέρων και ότι κατέχουν ορισμένη θέση στο Διάστημα. Οι Πυθαγόρειοι εργάσθηκαν με σημαντικές αποδόσεις και στη Γεωμετρία. Σύμφωνα με τον Πυθαγόρα, οι αριθμοί δεν είναι απλά σύμβολα ποσοτικών σχέσεων αλλά αποτελούν την ουσία του κόσμου, γι' αυτό και είναι ιεροί. 
Η μονάδα (1) συμβολίζει το πνεύμα, τη δύναμη εκείνη από την οποία προέρχεται το παν. Η δυάδα (2) δείχνει τις δύο μορφές της ύλης - Γη και Νερό. Η τριάδα (3) φανερώνει το χρόνο στις τρεις του διαστάσεις - παρόν, παρελθόν, μέλλον κ.ο.κ. Η κατανόηση των κοσμικών φαινομένων ήταν δυνατή με τη αριθμολογία, τη γεωμετρία και τη μουσική. Κατά το Διογένη το Λαέρτιο, ο Πυθαγόρας θεωρούσε ως αρχή όλων των πραγμάτων τη μονάδα. Από τη μονάδα προερχόταν η αόριστη δυάδα με την εκδήλωση της μονάδας και ως ύλης. Από τη μονάδα και την αόριστη δυάδα γίνονταν οι αριθμοί. Από τους αριθμούς τα σημεία. 
Από αυτά οι γραμμές, από τις οποίες σχηματίζονται τα επίπεδα, και από αυτά τα στερεά. Επίσης, στους Πυθαγόρειους πρέπει να οφείλεται η γνώμη ότι η Γη στρέφεται γύρω από τον άξονά της και ταυτόχρονα γύρω από τον Ήλιο. Η ταχύτατη κίνηση όλων των ουράνιων σφαιρών δημιουργεί ήχους και οι τελευταίοι την αρμονία. Αρμονία επίσης για το σώμα είναι η ψυχή, η οποία διατηρεί κάποια συμμετρία ανάμεσα στο υλικό και το πνευματικό στοιχείο του ανθρώπου. Η ψυχή έχει τις ιδιότητες της ταυτότητας, της ετερότητας, της στάσης και της κίνησης (τετρακτύς).Ο Πυθαγόρας δεν έγραψε κανένα έργο, έτσι το βάρος της διάσωσης της διδασκαλίας του έπεσε στους μαθητές του.. Ο Πυθαγόρας είχε πολλούς και πιστούς μαθητές. Κάθε φορά που έμπαιναν στο σπίτι του, τους έλεγε να λένε τα εξής. Που έσφαλα; τι έκανα; τι έπρεπε να κάνω και δεν έκανα; Οι μαθητές του επί πέντε χρόνια παρέμεναν σιωπηλοί και άκουγαν μόνο τις ομιλίες του Πυθαγόρα χωρίς ποτέ να βλέπουν τον ίδιο. Μετά το τέλος αυτής της δοκιμασίας, οι μαθητές του, γίνονταν μέλη του σπιτιού του και είχαν δικαίωμα να τον βλέπουν. 
Η εισαγωγή των νέων μαθητών στη σχολή του Πυθαγόρα. γινόταν μετά από αυστηρή και πολύχρονη άσκηση. Ο υποψήφιος έπρεπε να παραμένει σιωπηλός, να είναι εγκρατής, να έχει ισχυρό χαρακτήρα. Ταυτόχρονα ήταν απαραίτητο να συνδέεται με στενή φιλία με τους άλλους μαθητές. Ο Πυθαγόρας. υποστήριζε ότι "φίλος εστίν άλλος εγώ" και "φιλίαν τ' είναι εναρμόνιον ισότητα". Διάφορα ρητά ήταν γραμμένα στις αίθουσες της σχολής, όπως "επί χοίνικος μη καθίζειν" (να μη φροντίζεις για το μέλλον), "τας λεωφόρους μη βαδίζειν" (να μην παρασύρεσαι από τη γνώμη του πλήθους, αλλά μόνο τη γνώμη των "επαϊόντων" να θεωρείς σεβαστή). 
Πριν από το βραδινό τους ύπνο, οι μαθητές έπρεπε να ελέγχουν όσα έγιναν ή δεν έγιναν κατά την ημέρα που πέρασε. Γενικά όμως, η ηθική διδασκαλία των Πυθαγορείων περιέχεται μέσα σε 71 στίχους που είναι γνωστοί ως "Χρυσά Έπη" του Πυθαγόρα. Μολονότι η προσωπικότητα και το έργο του Πυθαγόρα υπήρξαν τόσο σημαντικά στην αρχαία Ελλάδα, εξαιτίας της μυστικότητας με την οποία περιβαλλόταν η διδασκαλία του, δεν υπάρχουν συγκεκριμένες πληροφορίες για τη ζωή του. Λέγεται ότι ήταν μαθητής του φιλόσοφου Φερεκύδη στη Λέσβο και του Θαλή και Αναξίμανδρου στη Μίλητο. 
Όντας ακόμη έφηβος, η φήμη του έφθασε εις την Μίλητο προς τον Θαλήν και εις την Πριήνη προς τον Βίαντα, τους δύο εκ των επτά σοφών της αρχαιότητος και σε πολλά μέρη οι άνθρωποι εξεθείαζαν τον νεανία, αποκαλώντας τον, τον "εν Σάμω κομήτην". Μόλις εις την Σάμο άρχισε να εμφανίζεται το τυραννικό καθεστώς του Πολυκράτους, εποχή όπου ο Πυθαγόρας ήταν περίπου δεκαοκτώ ετών, προβλέποντας ότι η τυραννία θα εμπόδιζε τα σχέδιά του και την φιλομάθειά του, έφυγε μαζί με τον Ερμοδάμαντα τον Κρεοφύλειο για την Μίλητο κοντά στον Φερεκύδη και στον φυσικό Αναξίμανδρο και στον φιλόσοφο Θαλή. 
Με την προσωπικότητα και την ευφράδεια της ομιλίας του, κέρδισε τον θαυμασμό και την εκτίμηση όλων και κατέστη κοινωνός των διδασκαλιών των. Μάλιστα ο Θαλής διακρίνοντας την μεγάλη διαφορά του Πυθαγόρα εν συγκρίσει με τους άλλους νέους, του παραστάθηκε με ευχαρίστηση και του μετέδωσε όσες γνώσεις κατείχε, που ήταν δυνατόν να μεταδοθούν. Κοντά στον Θαλή ο Πυθαγόρας έλαβε την πρώτη του σοβαρή εκπαίδευση πάνω στα μαθηματικά, τη γεωμετρία και όσα έχουν σχέση με τους αριθμούς και τους υπολογισμούς. 
Ήταν ο Θαλής που προέτρεψε τον Πυθαγόρα να μεταβεί στην Αίγυπτο και να συναναστραφεί με τους ιερείς της Μέμφιδος και της Διοσπόλεως, από τους οποίους ο ίδιος ο Θαλής είχε λάβει πολλές γνώσεις, προλέγοντας πως εάν ο Πυθαγόρας ερχόταν σε επαφή μαζί τους, θα γινόταν Θεϊκότερος και σοφότερος από όλους τους ανθρώπους. Είναι βέβαιο ότι έμεινε 22 χρόνια στην Αίγυπτο κοντά στους ιερείς της Μέμφιδος, της Ηλιούπολης και της Διοσπόλεως. 
Όταν όμως ο βασιλιάς των Περσών Καμβύσης κατέλαβε την Αίγυπτο, ο Πυθαγόρας. μεταφέρθηκε αιχμάλωτος στη Βαβυλώνα και έτσι είχε την ευκαιρία να συναναστραφεί και με τους Πέρσες μάγους. Ελευθερώθηκε μετά από 12 χρόνια με τη μεσολάβηση του Έλληνα προσωπικού γιατρού του βασιλιά Δημοκήδη. Επέστρεψε στη Σάμο σε ηλικία πλέον 56 χρόνων. Όταν έφτασε στην πατρίδα του, επιχειρούσε με κάθε τρόπο να μεταδώσει στους συμπατριώτες του μαθήματα των αριθμών καθώς και άλλες γνώσεις της πολύ πλούσιας παιδείας του.

Όμως οι Σάμιοι δεν έδειξαν το απαιτούμενο ενδιαφέρουν ούτε και ακολούθησαν τις διδασκαλίες του στον τρόπο ζωής τους, με αποτέλεσμα ο Πυθαγόρας να παραιτηθεί εν τέλει, από τις προσπάθειες διαπαιδαγώγησης τους. Τον θαύμαζαν βεβαίως και του προσέφεραν αξιώματα και μάλιστα τον ανάγκαζαν να συμμετέχει σε όλες τις δημόσιες λειτουργίες, ενώ η φήμη του, τόσο είχε απλωθεί σε όλη την Ελλάδα που άλλοι μεγάλοι φιλόσοφοι επίσης ήλθαν εις την Σάμο, ζητώντας να τον συναντήσουν. Ο Πυθαγόρας διαπίστωσε ότι η συμμόρφωσή του προς τα πρόσθετα αυτά καθήκοντα προς την πατρίδα δυσχέραινε την δυνατότητα να φιλοσοφεί. 
Επιπλέον, η τυραννίδα του Πολυκράτους είχε πλέον επικρατήσει και ο φιλόσοφος την θεωρούσε εν μέρει υπεύθυνη για την αδιαφορία των Σαμίων προς τα μαθηματικά και την φιλοσοφία. Θεωρώντας πως δεν είναι σωστό ένας άνδρας φιλόσοφος με ελεύθερα φρονήματα να ζει κάτω από ένα τέτοιο πολίτευμα, απεφάσισε να μετοικίσει προς την νότια Ιταλία - είχε δε την γνώμη πως πατρίδα του είναι η χώρα εκείνη όπου περισσότεροι άνθρωποι είναι δυνατόν να βρεθούν με καλή διάθεση να μαθαίνουν. Κι έτσι λοιπόν έφυγε και κατευθύνθηκε προς την Σικελία, όπου τον υποδέχτηκαν με ευμένεια διάφορες Ιταλικές πόλεις. Έκανε μεγάλη εντύπωση στους εκεί κατοίκους. 
Ήταν ένας άνδρας με μακρόχρονες περιπλανήσεις και εξαιρετικός από την ίδια του τη φύση, καλά προικισμένος από την τύχη, φιλελεύθερος στα φρονήματα και μεγάλος, με πολλή χάρη και ευπρέπεια στον λόγο και στο ήθος και σε όλα τα άλλα, με αποτέλεσμα να γοητεύσει τους ανώτατους άρχοντες της πόλεως. Συγκεκριμένα, στον Κρότωνα, όπου και νυμφεύθη, ίδρυσε την πρώτη σχολή και μύησε τους πρώτους μαθητές του. Το αντικείμενο ενασχόλησης του Πυθαγόρα ήταν η καθοδήγηση αυτής της σχολής, η οποία ήταν μία μυστική, θρησκευτική κίνηση, που είχε αναπτύξει και έντονη πολιτική δραστηριότητα. 
Πιθανολογείται ότι η ίδρυση της σχολής έγινε γύρω στο 520 π.Χ, στην είσοδο της οποίας οι Πυθαγόρειοι είχαν χαράξει το ρητό:''ΜΗΔΕΙΣ ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΕΙΣΗΤΩ'', δηλαδή «δεν μπορεί να εισέλθει και να συμμετάσχει κανείς στην αδελφότητα, ο οποίος δεν μετρά με γήινα μέτρα όλα τα αντικείμενα». Αυτό με άλλα λόγια σήμαινε, ότι η αδελφότητα πίστευε ότι «το θείο» είναι μέσα στον άνθρωπο και «μετρήσιμο» και όχι στα ουράνια και άπιαστο. Ο Πυθαγόρας, απέτρεψε οριστικά στάσεις και αναρχία όχι μόνο στην εποχή του αλλά και μεταξύ των απογόνων των μαθητών του. 
Και για πολλές γενεές διατηρήθηκαν οι διδαχές του. Αυτός έκανε γνωστό το σοφό απόφθεγμα: "με κάθε τρόπο πρέπει να διώχνεται και να καυτηριάζεται με φωτιά, και με σίδερο και με άλλες επινοήσεις η αρρώστια από το σώμα, η πολυτέλεια από την κοιλιά, η επανάσταση από την πόλη, η διχόνοια από το σπίτι και απ' όλα μαζί η αμετρία". Οι ιδέες του, έκαναν ξεχωριστή εντύπωση, κυρίως στους νέους, και γρήγορα οδηγήθηκε στο δικαστήριο με την κατηγορία της διαφθοράς των νέων και της αθεΐας, όπου όμως τελικά αθωώθηκε. Ο Πυθαγόρας θεωρούσε ύψιστες αρετές τη σωφροσύνη, τη δικαιοσύνη και την ανδρεία.Κατά τη γνώμη του, η σωφροσύνη αποτελεί το μέτρο αρετής ενός ανθρώπου, η δικαιοσύνη είναι αρετή που υπάρχει σε μια κοινωνία και η ανδρεία είναι η απαραίτητη προϋπόθεση για να αποκτηθούν οι δύο προηγούμενες. Για τον Πυθαγόρα. αυτά δεν ήταν μόνο θεωρία, αλλά ο ίδιος προσπάθησε να τα πραγματώσει στον Κρότωνα. Πίστευε πως κατά την αρχή της δικαιοσύνης τα πράγματα όλα πρέπει να είναι κοινά και ο καθένας να θεωρεί και δικό του και ξένο οτιδήποτε. Αυτό κυρίως εφαρμόστηκε, όπως αναφέρθηκε, στη σχολή του.Στον Κρότωνα, υπήρξε ένας άνδρας, ο Κύλων που παρότι καταγόταν από αριστοκρατική γενεά και διέθετε πλούτο μεγαλύτερο από των άλλων πολιτών, δεν διέθετε ευγενή χαρακτήρα αλλά ήταν φορτικός, βίαιος και τυραννικός. Χρησιμοποιούσε τον κύκλο των φίλων του και την δύναμη του πλούτου του για να μπορεί να αδικεί και όντας άπληστος είχε την αξίωση να κατέχει οτιδήποτε του φαινόταν καλό. Αυτός λοιπόν, πίστευε πως έπρεπε να γίνει μέτοχος και στην φιλοσοφία του Πυθαγόρα και να γίνει δεκτός μεταξύ των μαθητών. Προσήλθε εις τον Πυθαγόρα αυτοεπαινούμενος και επιθυμώντας να γίνει μαθητής του. 
Όμως ο Πυθαγόρας διακρίνοντας από τη φυσιογνωμία του ανδρός και από άλλα σημάδια το ποιόν του, τον διέταξε αμέσως να φύγει και να επιστρέψει στις ασχολίες του. Ο Κύλων το εξέλαβε ως μεγάλη προσβολή και οργίστηκε πολύ. Συγκέντρωσε τους φίλους του, όπου κατηγόρησε τον Πυθαγόρα και μαζί τους άρχισε να προετοιμάζεται για να βλάψει αυτόν και τους μαθητές του. Φαίνεται πως υπήρχαν και πολιτικά αίτια όμως για το μίσος του Κύλωνος διότι ήθελε να μεταβάλλει το πατροπαράδοτο πολίτευμα του Κρότωνος που όριζε ορισμένο αριθμό πολιτών με το δικαίωμα να συμμετέχουν στην εκκλησία του δήμου (οι Χίλιοι). 
Ο Κύλων ήθελε να συμμετέχουν όλοι, ώστε να μπορεί να εξαγοράζει πολιτική δύναμη, δωροδοκώντας πολλούς από εκείνους. Όμως, σε αυτά του τα σχέδια εναντιώθηκαν οι Πυθαγόρειοι Κροτωνιάτες Αλκίμαχος, Δείναρχος, Μέτων και Δημοκίδης. Ο Κύλων, υποβοηθούμενος από τον ρήτορα Νίνονα, που συνέγραψε βιβλίο που υποτίθεται πως περιείχε τις μυστικές διδασκαλίες των Πυθαγορείων, έβαλε να αναγνώσουν το πλαστό σύγγραμμα και άρχισε να συκοφαντεί τους Πυθαγόρειους πως ετοιμάζουν τυραννίδα. 
Εντός ολίγων ημερών με δημαγωγία και συκοφαντία ξεσήκωσε τον λαό εναντίον των Πυθαγορείων και ο ίδιος με τους υποστηρικτές του, επιτέθηκαν στους συντρόφους την ημέρα που είχαν συγκεντρωθεί εις την οικία του Μίλωνος. Ο Πυθαγόρας έλειπε σε ταξίδι προς την Σύρο, για να περιποιηθεί τον άρρωστο Φερεκύδη που υπήρξε διδάσκαλός του. Επακολούθησε συμπλοκή όπου σκοτώθηκαν πολλοί από τους συντρόφους του Πυθαγόρα και πυρπόλησαν το οίκημα. Και σ΄ αυτό το σημείο αρχίζει η διαφωνία των ιστορικών για τον θάνατο του Πυθαγόρα. Δύο εκδοχές υπάρχουν για το θάνατο του. 
Πρώτον, σύμφωνα με το Διογένη Λαέρτιο, οι Κροτωνιάτες έσφαξαν αυτόν μαζί με τετρακόσιους μαθητές του. Πρώτα έκαψαν το σπίτι του Μίλωνα στο οποίο λίγο πριν είχαν συγκεντρωθεί. Ο λόγος της σφαγής του, σύμφωνα πάντα με την ίδια μαρτυρία, είναι ο φόβος της μεγάλης δύναμης που είχε αποκτήσει στην πόλη του Κρότωνα και η συκοφαντία, από εχθρούς του, για την εγκαθίδρυση τυραννίας. Και δεύτερον, σύμφωνα με τον Δικαίαρχο, ο Πυθαγόρας, αφού κατέφυγε στο ιερό των Μουσών στο Μεταπόντιο, μένει σαράντα μέρες νηστικός και πεθαίνει από ασιτία. 
Διάδοχος του Πυθαγόρα έγινε ο Αρισταίος ο Κροτωνιάτης που κατείχε αρίστως την διδασκαλία. Άλλοι επιφανείς Πυθαγόρειοι ήταν ο Φιλόλαος από το Μεταπόντιο και ο Αρχύτας ο Ταραντίνος. Μέσω του Φιλολάου κάποια συγγράμματα των μεταγενέστερων Πυθαγορείων παρεδόθησαν στον Δίωνα, μαθητή του Πλάτωνος με αποτέλεσμα την γόνιμη συνέχεια του Πυθαγορισμού μέσω της Πλατωνικής Ακαδημίας.Ο Πυθαγόρας χρήζει παγκόσμιας αναγνώρισης. Το όνομα του είναι σήμερα ταυτισμένο με το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Σε ολόκληρο τον κόσμο γνωρίζουν τον μεγάλο αυτόν φιλόσοφο και μαθηματικό από το θεώρημά του και τον τιμούν ιδιαίτερα. Στο Άμστερνταμ, υπάρχει οδός που φέρει το όνομά του. Αγάλματα και μεγάλοι πίνακες ζωγραφικής αναφέρονται στον Πυθαγόρα και τη θεωρία του. Πολλά βιβλία και μελέτες σύγχρονων μαθηματικών έχουν γραφτεί για τη μεγάλη αυτή φυσιογνωμία των μαθηματικών, τον ΠΥΘΑΓΟΡΑ.

Η φιλοσοφία  και η παραδοσιακή θρησκεία

Το πρώτο κεφάλαιο στην ιστορία της αρχαίας Ελληνικής φιλοσοφίας έχει ολοκληρωθεί στα μέσα του 6ου αιώνα π.Χ. Η Μιλήσια κοσμολογία, με τον Θαλή, τον Αναξίμανδρο και τον Αναξιμένη, έχει ανοίξει ένα νέο πεδίο έρευνας στην ανθρώπινη εμπειρία, όπου κυρίαρχη είναι η έννοια της φύσης. Το σύνολο των φυσικών μεταβολών, ο αέναος κύκλος της γέννησης και της φθοράς των πραγμάτων, είναι το αντικείμενο της φιλοσοφικής αναζήτησης. Ο κόσμος των πρώτων φιλοσόφων είναι απρόσωπος. Στη φυσιοκρατική ερμηνεία των Μιλησίων δεν υπάρχει θέση για τους Θεούς των ποιητών και της παραδοσιακής λατρείας.
Οι ανθρωπόμορφοι Θεοί δεν απορρίπτονται ευθέως, γίνονται όμως πλέον περιττοί, αφού δεν τους αναγνωρίζεται καμία δικαιοδοσία στη φυσική πραγματικότητα. Παρ' όλα αυτά ο Αναξίμανδρος και ο Αναξιμένης δεν διστάζουν να αποκαλέσουν το πρωταρχικό τους υλικό «Θείο», όχι για να του προσδώσουν κάποιες υπερφυσικές ικανότητες, αλλά για να τονίσουν την τελειότητα και την κυριαρχία του. Αν υπάρχει λοιπόν κάτι το θεϊκό στον κόσμο, αυτό δεν βρίσκεται έξω από τη φύση, αλλά είναι εγκόσμιο, είναι στοιχείο της ίδιας της φυσικής νομοτέλειας.
Το πρόβλημα της Θεότητας και της θρησκευτικής συμπεριφοράς των ανθρώπων θα έρθει στο προσκήνιο με την επόμενη γενιά των φιλοσόφων: τον Ξενοφάνη από τον Κολοφώνα της Μικράς Ασίας και τον Πυθαγόρα από τη Σάμο. Οι δύο άνδρες ήταν περίπου σύγχρονοι, και η πορεία της ζωής τους παρουσιάζει εντυπωσιακές ομοιότητες. Μεγαλώνουν στην Ιωνία του 6ου αιώνα και επηρεάζονται από το διανοητικό κλίμα της νέας φυσιοκρατικής αναζήτησης.Εγκαταλείπουν αρκετά νωρίς την πατρίδα τους, μάλλον για πολιτικούς λόγους, ταξιδεύουν πολύ και εγκαθίστανται τελικά στην ίδια περιοχή, στη νότια Ιταλία, στην αποκαλούμενη Μεγάλη Ελλάδα. Εκεί διδάσκουν, αποκτούν φήμη και μαθητές. Και στο έργο τους υπάρχει κάτι κοινό, τουλάχιστον στη θεματολογία, αφού και οι δύο ασχολούνται με τη σχέση του ανθρώπου με το θείο. Εδώ όμως οι ομοιότητες σταματούν. Ο Ξενοφάνης είναι ένας περιπλανώμενος ποιητής, ένας κοσμοπολίτης που διαπνέεται από διαφωτιστικές ιδέες. 
Καταγγέλλει την ανηθικότητα των Θεών του Ομήρου και του Ησιόδου, αρνείται τον ανθρωπομορφισμό τους, δείχνει τη σχετικότητα των παραστάσεων των Θεών στους διάφορους λαούς και, φτάνοντας τη συλλογιστική του στα άκρα, δεν διστάζει να υποστηρίξει ότι «αν είχαν χέρια τα βόδια, τα άλογα και τα λιοντάρια, και αν μπορούσαν να ζωγραφίσουν όπως οι άνθρωποι, τότε τα άλογα θα έδιναν μορφή αλόγων στους θεούς τους και τα βόδια μορφή βοδιών». 
Ο Πυθαγόρας αντιθέτως, αν και δεν φαίνεται να επικροτεί την απλοϊκότητα του Ελληνικού Δωδεκάθεου, θα σεβαστεί το λατρευτικό και τελετουργικό στοιχείο της παραδοσιακής θρησκευτικής πρακτικής και θα αναζητήσει μια πολύ πιο βαθιά και βιωματική θρησκευτικότητα. Στη δική του προσέγγιση η φιλοσοφία συνδέεται άρρηκτα με τη θρησκεία. Ο φιλοσοφικός τρόπος ζωής οδηγεί τον άνθρωπο σε άμεση σχέση με το θείο.
Η μορφή  του Πυθαγόρα στην αρχαία παράδοση 
Έχουμε αναφερθεί στις δυσκολίες που αντιμετωπίζει όποιος προσπαθεί να φτάσει σε μια αντικειμενική αποτίμηση των Προσωκρατικών φιλοσόφων (Προσωκρατικούς ονομάζουμε όλους τους φιλοσόφους που έζησαν πριν από τον Σωκράτη). Η ερμηνεία γίνεται σε μεγάλο βαθμό από δεύτερο χέρι, αφού κανένα πλήρες φιλοσοφικό έργο δεν έχει διασωθεί από την πρώιμη αυτή περίοδο. Τα πράγματα είναι ακόμη πιο δύσκολα στην περίπτωση του Πυθαγόρα. Δεν μας λείπουν οι αρχαίες μαρτυρίες για τον Πυθαγόρα. 
Για κανέναν άλλο αρχαίο φιλόσοφο δεν έχουν διασωθεί περισσότερες βιογραφικές και ανεκδοτολογικές λεπτομέρειες. Μόνο κατά τον 3ο αιώνα μ.Χ. γράφονται τρεις εκτεταμένες βιογραφίες του Πυθαγόρα, και όλες έχουν σωθεί: Διογένης Λαέρτιος, Βίοι φιλοσόφων· Πορφύριος, Πυθαγόρου βίος· Ιάμβλιχος, Περί του Πυθαγορείου βίου. Στη συγκεκριμένη όμως περίπτωση ο όγκος των πληροφοριών μας είναι αντιστρόφως ανάλογος της αξιοπιστίας τους. Το πρόβλημα με τον Πυθαγόρα είναι ότι τα περισσότερα από όσα γνωρίζουμε γι' αυτόν προέρχονται από οπαδούς του, από ανθρώπους που αυτοπροσδιορίζονται ως «Πυθαγόρειοι». 
Οι άνθρωποι αυτοί γράφουν, πολλούς αιώνες μετά τον Πυθαγόρα, όχι για να μεταδώσουν μια αντικειμενική εικόνα του πνευματικού τους πατέρα και του έργου του, αλλά για να προπαγανδίσουν την αξία της σχολής τους. Είναι σαν να προσπαθείς να αντλήσεις αντικειμενικά στοιχεία για τη ζωή και τη δράση του Ιησού μέσα από τη μεταγενέστερη Χριστιανική γραμματεία. Ο Πυθαγόρας είναι ο πρώτος Έλληνας φιλόσοφος που ίδρυσε σχολή. Και μάλιστα μια σχολή που θυμίζει περισσότερο κλειστή θρησκευτική αδελφότητα παρά φιλοσοφικό διδασκαλείο. 
Ο ίδιος δεν έγραψε τίποτε - κατά πάσαν πιθανότητα συνειδητά. Στήριξε τη διδασκαλία του στη ζωντανή επαφή με τους μαθητές του, στην προβολή του δικού του υποδειγματικού τρόπου ζωής και στη θέσπιση αυστηρών κανόνων συμπεριφοράς και πίστης, που εξασφάλιζαν τη μύηση των νέων μελών και τη συνοχή της Πυθαγόρειας κοινότητας. Η σχολή του Πυθαγόρα αποδείχθηκε η πιο ανθεκτική φιλοσοφική σχολή του αρχαίου κόσμου. Οι Πυθαγόρειες κοινότητες γνώρισαν στιγμές ιδιαίτερης αίγλης και στιγμές παρακμής, αλλά δεν έπαψαν ποτέ να υπάρχουν, ακόμη και μετά το τέλος της Ελληνικής αρχαιότητας. 
Η συνοχή που τις χαρακτηρίζει και εξηγεί τη μακροβιότητά τους δεν οφείλεται σε ένα αυστηρά καθορισμένο θεωρητικό πλαίσιο. Από πολύ νωρίς η Πυθαγόρεια φιλοσοφία αναμείχθηκε με άλλες συγγενείς φιλοσοφικές τάσεις, και ιδίως με τον Πλατωνισμό. Πιο σημαντική για τους Πυθαγόρειους ήταν η υπεράσπιση ενός συγκεκριμένου τρόπου ζωής, που υποτίθεται ότι εισήγαγε ο ίδιος ο ιδρυτής της σχολής τους. Ήταν λοιπόν απαραίτητο να συντηρηθεί και να εμπλουτιστεί ο μύθος της υποδειγματικής ζωής του Πυθαγόρα, ώστε να αποτελεί διαρκές παράδειγμα προς μίμηση για τους νεότερους οπαδούς του.Οι λεπτομέρειες επομένως για τη ζωή του Πυθαγόρα είναι τόσο ανομοιογενείς και αναξιόπιστες, ώστε κάποιοι σκεπτικιστές έφτασαν στο σημείο να αμφιβάλουν και για την ίδια την ιστορική του ύπαρξη. Κάτι τέτοιο όμως είναι υπερβολικό, αφού το όνομα του Πυθαγόρα αναφέρεται σε πολύ παλιούς συγγραφείς, όπως ο σύγχρονός του Ξενοφάνης και οι λίγο μεταγενέστεροι Ηράκλειτος, Ηρόδοτος και Εμπεδοκλής. 
Λένε ότι όταν κάποτε είδε να βασανίζουν ένα σκυλάκι, το συμπόνεσε και είπε: «Σταμάτα, μην το χτυπάς, γιατί είναι η ψυχή κάποιου φίλου· την αναγνώρισα όταν άκουσα τη φωνή του.»
(Ξενοφάνης, απόσπασμα 7)Ο Πυθαγόρας, ο γιος του Μνησάρχου, περισσότερο απ' όλους επιδόθηκε στην έρευνα· και αφού επέλεξε από αυτές τις γνώμες, έφτιαξε τη δική του σοφία: πολυμάθεια και δόλια τέχνη.
(Ηράκλειτος, απόσπασμα 129)Ανάμεσά τους ήταν και κάποιος πολύμαθος, που κατείχε κάθε λογής σοφή τέχνη και απέκτησε τα πιο μεγάλα πνευματικά πλούτη· γιατί όποτε ήθελε από τα βάθη της καρδιάς του, εύκολα έβλεπε το κάθε πράγμα σε δέκα και είκοσι ανθρώπινες γενιές.
(Εμπεδοκλής, απόσπασμα 129)Τι λένε αυτοί οι άνθρωποι για τον Πυθαγόρα; Ο Ξενοφάνης τον ειρωνεύεται, ο Ηράκλειτος απορρίπτει την «πολυμάθεια και τη δόλια τέχνη του», ο Εμπεδοκλής τον εξυμνεί και ο Ηρόδοτος συνδέει τις απόψεις του με ξένα μυστικά δόγματα. Από τις αναφορές αυτές συμπεραίνουμε ότι ο Πυθαγόρας θα πρέπει να ήταν ιδιαίτερα γνωστή και αμφιλεγόμενη προσωπικότητα της εποχής του. Με κάθε λοιπόν επιφύλαξη μπορούμε να φτάσουμε σε ένα σχεδίασμα της ζωής του Πυθαγόρα. 
Ήταν σύγχρονος με τον Αναξιμένη και τον Ξενοφάνη - διαμορφώθηκε επομένως μέσα στο διανοητικό κλίμα της Ιωνικής φυσιοκρατικής σκέψης. Στα νεανικά του χρόνια πρέπει να ταξίδεψε αρκετά, και είναι πιθανό να γνώρισε από πρώτο χέρι τις δοξασίες των ανατολικών λαών και ιδίως των Αιγυπτίων. Το πιο πιθανό είναι να υπήρξε αυτοδίδακτος, αν και δεν αποκλείεται να μαθήτευσε κοντά στον Φερεκύδη από τη Σύρο, μια μυστηριώδη μορφή του 6ου αιώνα π.Χ., που ορισμένοι θεωρούν πρόδρομο της φιλοσοφικής σκέψης. 
Ήρθε σε σύγκρουση με το τυραννικό καθεστώς του Πολυκράτη στη Σάμο, και εγκατέλειψε την πατρίδα του γύρω στο 530 π.Χ. Εγκαταστάθηκε στον Κρότωνα της νότιας Ιταλίας, και γρήγορα απέκτησε μεγάλη φήμη και κύρος, αφού εντυπωσίασε τους Κροτωνιάτες με τη σοφία και τις ιδιαίτερες ψυχικές του δυνάμεις. Γύρω του συγκροτήθηκε μια κοινότητα πιστών οπαδών, ανδρών και γυναικών, από την αριστοκρατική νεολαία της περιοχής. Η κοινότητα των Πυθαγορείων ασπαζόταν τα φιλοσοφικά και θρησκευτικά δόγματα του ιδρυτή της, είχε όμως και ενεργή ανάμειξη στην πολιτική ζωή της νότιας Ιταλίας.
Η επικράτηση των Πυθαγορείων στον Κρότωνα πιθανόν να συνέβαλε στην κυρίαρχη θέση της πόλεως αυτής στην περιοχή. Όπως όμως ήταν φυσικό, μια προσωπικότητα χαρισματική σαν του Πυθαγόρα προκαλεί και έντονες εχθρότητες. Μετά από ταραχές που ξέσπασαν στον Κρότωνα, ο Πυθαγόρας αναγκάστηκε να μετοικήσει στο κοντινό Μεταπόντιο, όπου και πέθανε. Μετά τον θάνατό του οι Πυθαγόρειοι συνέχισαν τη δράση τους, ακόμη και στη μητροπολιτική Ελλάδα με τον Φιλόλαο στα τέλη του 5ου αιώνα. Στα χρόνια του Πλάτωνα, κέντρο της Πυθαγόρειας φιλοσοφίας είναι ο Τάραντας στην νότια Ιταλία, και κυρίαρχη μορφή ο μεγάλος μαθηματικός Αρχύτας.
Η φιλοσοφία  ως τρόπος  ζωής
Η φιλοσοφία στην αρχαία Ελλάδα ξεκίνησε ως θεωρία. Ο φιλόσοφος τοποθετείται απέναντι στον κόσμο, τον παρατηρεί και τον ερμηνεύει. Στο πρώτο στάδιο της ανάπτυξής της η φιλοσοφία δεν ενδιαφέρεται για την εσωτερική φύση του ανθρώπου ούτε για τις μορφές της κοινωνικότητάς του. Ο άνθρωπος, όταν αποτελεί αντικείμενο παρατήρησης, αντιμετωπίζεται ως βιολογικό ον, ως μέρος της φύσης, το οποίο διέπεται από την ίδια νομοτέλεια με τα άλλα φυσικά όντα. 
Η συμβολή της φιλοσοφίας στην ανθρώπινη γαλήνη και ευτυχία είναι μόνο έμμεση: η βοήθειά της περιορίζεται στην εξοικείωση του ανθρώπου με το φυσικό του περιβάλλον, αφού η φύση είναι λιγότερο απειλητική όταν είναι έλλογη. Για τα πάθη όμως του ανθρώπου, για τις εσωτερικές του αντιφάσεις, για τις σχέσεις του με τους άλλους ανθρώπους, η ποίηση και η θρησκεία εξακολουθούν να έχουν πολύ μεγαλύτερη σημασία από τη φιλοσοφία. Κατά μία έννοια, η ανθρώπινη ψυχή δεν έχει ακόμη ανακαλυφθεί από τους φιλοσόφους.Το νέο στοιχείο που φέρνει ο Πυθαγόρας στην Ελληνική σκέψη είναι η σύλληψη της φιλοσοφίας ως τρόπου ζωής. Η φιλοσοφική μύηση δεν είναι απλώς εισαγωγή σε ένα θεωρητικό σύστημα, είναι ολοκληρωτική ψυχική μεταστροφή, στράτευση σε έναν νέο τρόπο ζωής. Στη διδασκαλία του Πυθαγόρα η έμφαση δίνεται στο βιωματικό στοιχείο και όχι στο γνωστικό. Γι' αυτό η φιλοσοφία δεν μπορεί να καλλιεργηθεί σε απομόνωση: απαιτεί την ένταξη σε μια ομάδα ομοϊδεατών και ὁμακόων (που ακούν τα ίδια διδάγματα), σε μια αδελφότητα με αυστηρή ιεραρχία και κοινοκτημοσύνη αγαθών, όπου δεσπόζει η μορφή του δασκάλου και μύστη. 
Η κοινότητα των Πυθαγορείων είναι κλειστή: ο κανόνας της σιωπής προστατεύει τα κοινά δόγματα από τα βέβηλα αφτιά των αμύητων. Σιωπή επιβάλλεται και στα νέα μέλη της κοινότητας κατά την περίοδο της μαθητείας τους, που κρατά πέντε χρόνια, ωσότου αποκτήσουν το δικαίωμα της εισόδου στον ενδότερο κύκλο των μυημένων και το πλεονέκτημα της προσωπικής επαφής με τον Πυθαγόρα. Η συμπεριφορά ενός Πυθαγορείου καθορίζεται από ένα σύνολο προτρεπτικών και απαγορευτικών κανόνων, που καλύπτουν ποικίλες πλευρές της καθημερινής ζωής. 
Πρόκειται για τα Πυθαγόρεια «ακούσματα», για προφορικές δηλαδή εντολές και αφορισμούς που αποστηθίζονταν από τα μέλη της κοινότητας και συνέβαλλαν στην ενιαία στάση τους. Τα περισσότερα «ακούσματα» καθορίζουν κανόνες αποχής: «Μην τρως κουκιά,» «Μη σηκώνεις ό,τι πέφτει από το τραπέζι,» «Μην τεμαχίζεις το ψωμί,» «Μην αγγίζεις άσπρο κόκορα.» Άλλα πάλι θυμίζουν λαϊκά γνωμικά: «Μη σκαλίζεις τη φωτιά με το μαχαίρι,» «Μη μαδάς το στεφάνι,» «Μην παραβιάζεις τη ζυγαριά.» Μια τρίτη τέλος κατηγορία δίνει επιγραμματικές απαντήσεις σε κρίσιμες ερωτήσεις: «Τι είναι το πιο σοφό; Ο αριθμός.» «Τι είναι το πιο δίκαιο; Το να θυσιάζεις.» «Τι είναι το πιο ωραίο; Η αρμονία.» 

Τα «ακούσματα» ονομάζονταν και «σύμβολα», γιατί, όπως φαίνεται από τα παραδείγματα που παραθέσαμε, κατά κανόνα έχουν αλληγορική σημασία και δεν είναι εύκολο να διακρίνει κανείς τον πραγματικό σκοπό της επιβολής τους. Το σίγουρο πάντως είναι ότι η τήρηση αυτών των εντολών ενίσχυε την εσωτερική συνοχή των πυθαγόρειων κοινοτήτων. Ποιο μπορεί να ήταν το κίνητρο ενός νέου για να υιοθετήσει τον τρόπο ζωής των Πυθαγορείων; Το κίνητρο αυτό πρέπει να ήταν ισχυρό, γιατί μόνο έτσι εξηγείται η γρήγορη ανάπτυξη και η μακροβιότητα των Πυθαγόρειων κοινοτήτων. 
Η ιστορική πείρα δείχνει ότι μόνο η θρησκευτική ανησυχία μπορεί να προκαλέσει τόσο άμεση και ολοκληρωτική μεταστροφή. Η διανοητική περιέργεια, αν δεν συνδυαστεί με κάποιας μορφής αποκαλυπτική γνώση που διασφαλίζει την ευτυχία ή τη σωτηρία του ατόμου, δεν μπορεί να λειτουργήσει ως συνεκτικός ιστός μιας κλειστής κοινότητας ομοϊδεατών. Η Πυθαγόρεια αδελφότητα έχει χαρακτηριστικά θρησκευτικής αίρεσης και τα μέλη της ακολουθούν καθορισμένους κανόνες λατρευτικής πρακτικής. Ο ίδιος ο Πυθαγόρας ενσαρκώνει για τους οπαδούς του τη μορφή ενός «Θείου Ανδρός». 
Του αποδίδονται Θεϊκή καταγωγή (λέγεται ότι ήταν γιος του Υπερβορείου Απόλλωνα) και υπερφυσικές ικανότητες. Έλεγαν ότι ήταν σε θέση να εμφανίζεται σε πολλά μέρη ταυτοχρόνως, ότι προφήτευε το μέλλον, επικοινωνούσε με τα ζώα και έκανε θαύματα. Ο θρύλος της μυθιστορηματικής ζωής του Πυθαγόρα θα πρέπει να καλλιεργήθηκε από τον ίδιο και να συντηρήθηκε από τους επιγόνους του, προκειμένου να έχουν τα νέα μέλη των πυθαγόρειων ομίλων ένα πρακτικό πρότυπο μίμησης. Ο Πυθαγόρειος επιζητεί τη διαφοροποίησή του από τους συνηθισμένους ανθρώπους. 
Είναι ηθικολόγος, υπερασπιστής των καθιερωμένων ηθικών αξιών, όπως ο σεβασμός της οικογένειας, η απαγόρευση της μοιχείας, η ευσέβεια και η πιστή τήρηση του τελετουργικού της θρησκείας - αλλά αυτό δεν αρκεί. Η διαφοροποίηση επιτυγχάνεται με τον ομαδικό τρόπο ζωής, που στηρίζεται στην προβολή της φιλίας, της αλληλεγγύης και της κοινοκτημοσύνης. Επιτυγχάνεται όμως κυρίως με την υιοθέτηση ενός ασκητικού ιδεώδους: η μύηση στην Πυθαγόρεια φιλοσοφία είναι μια διαδικασία κάθαρσης, μια πορεία εξαγνισμού της ψυχής, απελευθέρωσης από τις ανάγκες και τις δεσμεύσεις του σώματος. 
Αυτό μαρτυρούν οι απαγορεύσεις που επιβάλλονται στα μέλη της Πυθαγόρειας κοινότητας σχετικά με τη διατροφή, τις λατρευτικές πρακτικές και την καθημερινή συμπεριφορά τους. Παρά την ανομοιογένειά τους, οι απαγορεύσεις αυτές αναδεικνύουν τη διαφορετική μοίρα του σώματος και της ψυχής.
Η πυθαγόρεια  σχολή και φιλοσοφία
Οι πυθαγόρειοι  φιλόσοφοι
Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.Χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν σε ένα μεγάλο οίκημα, το Ομακοείον, όπου ο Πυθαγόρας δίδασκε τους -και των δυο φύλων- μαθητές του. Η διδασκαλία γινόταν με προφορικό τρόπο και οι προϋποθέσεις για την είσοδο των μαθητών ήταν αυστηρές. Ο μαθητής έπρεπε να υιοθετήσει έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο ζωής, να ασκηθεί στην εγκράτεια, να τηρεί απόλυτη σιωπή για κάποια έτη, να απέχει από συγκεκριμένες τροφές και να κάνει καθαρμούς.Οι γνώσεις μας για τους Πυθαγόρειους, όπως και για τον ίδιο τον Πυθαγόρα, αντλούνται αποκλειστικά από έργα μεταγενέστερων συγγραφέων, στους οποίους περιλαμβάνονται και οι λεγόμενοι «Νεοπυθαγόρειοι». Αναπόφευκτα λοιπόν, είναι αδύνατον να αποδειχθεί τι πραγματικά ανήκει στη σκέψη του ίδιου του Πυθαγόρα και τι στους μαθητές του.
Ιδεολογία Οι Πυθαγόρειοι απέδιδαν πολύ μεγάλη σημασία στα Μαθηματικά, πρεσβεύοντας ότι αυτά αποτελούν την οδό για την απελευθέρωση της ψυχής. Βάσει της πεποίθησης του Πυθαγόρα πως «τα στοιχεία των αριθμών είναι στοιχεία όλων των όντων», οι Πυθαγόρειοι απέδωσαν στην Αριθμητική μέγιστη σημασία, μελετώντας τις ιδιότητές της. Καθώς δε ο αριθμός είναι κάτι που δε γίνεται αντιληπτό μέσω της αίσθησης, αλλά μέσω της νόησης, οι Πυθαγόρειοι αναγκάστηκαν να παύσουν να θεωρούν την ουσία των όντων ως υλική και προσιτή στις αισθήσεις. 
Αντιθέτως η ουσία γίνεται αντιληπτή, κατά τους Πυθαγόρειους, μόνο μέσω της αφηρημένης σκέψης. Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν πως η ψυχή δε χάνεται με τον θάνατο, αλλά ακολουθεί μια συνεχή διαδικασία μετενσάρκωσης, σε κατώτερες ή ανώτερες μορφές ζωής κάθε φορά, έως ότου επιτευχθεί η τελική κάθαρση που οδηγεί τελικά στην αθανασία της. Γι' αυτό, τόσο με τα διδάγματα όσο και με τις ασκήσεις πειθαρχίας, καλλιεργούσαν τη φιλοσοφία της οποίας σκοπός είναι να καθαρίσει και να απελευθερώσει τον συσκοτισμένο νου από τα δεσμά του.

Πίστευαν ότι μόνον ο νους μπορεί να φθάσει στη γνώση της Αλήθειας για τους Θεούς και τον κόσμο. Και ότι για να συμβεί αυτό χρειάζεται να τιθασευτούν οι ορμές του σώματος και η ταραχή που προκαλούν τα ερεθίσματα των αισθήσεων, ώστε να φθάσει κάποιος σε σταθερή ευδιαθεσία και εγκράτεια, απαλλαγμένος από πάθη κι ελαττώματα. Η μουσική, δηλαδή η μελέτη των αριθμητικών αναλογιών της μουσικής κλίμακας (αρμονία), και η αριθμητική ερμηνεία της φύσης, ήταν οι κύριοι τομείς του έργου των Πυθαγορείων. 
Η διδασκαλία του Πυθαγόρα μπορεί να διακριθεί σε δύο είδη: Εκείνη με αντικείμενο την ηθική διαμόρφωση προς βελτίωση της ψυχής κι εκείνη με αντικείμενο την γεωμετρία και τα μαθηματικά προς μελέτη της περί ουρανίων σωμάτων επιστήμης.
Ηθική Φιλοσοφία 
Πρώτα τίμα τους αθάνατους θεούς, όπως κατά τον νόμο διάκεινται και να σέβεσαι τους όρκους.
Έπειτα τους λαμπρούς ήρωες και τους χθόνιους δαίμονες να σέβεσαι πράττοντας τα νόμιμα.
Και τους γονείς σου να τιμάς, καθώς και τους πλησιέστερους συγγενείς σου.
Από τους άλλους δε, με κριτήριο την αρετή να κάνεις φίλο σου τον άριστο.
Τα μετρημένα λόγια του να ακολουθάς, καθώς και τις ωφέλιμες πράξεις του.
Να μην μισήσεις δε τον φίλο σου για ασήμαντη αιτία
εφόσον μπορείς, διότι η δύναμη κατοικεί κοντά στην ανάγκη.
— Χρυσά Έπη

Στη συνέχεια παρότρυνε και τα εξής: να μην καταστρέφει κανείς ήμερο φυτό που παράγει καρπούς, ούτε να βλάπτει ζώο που απ' τη φύση του δεν είναι βλαβερό για τους ανθρώπους. Να διαφυλάσσει πιστά όχι μόνο τα χρήματα αλλά και τους λόγους που του εμπιστεύτηκαν. Να θεωρεί πως υπάρχουν τρεις κατηγορίες πραγμάτων που αξίζουν σπουδής και τα οποία πρέπει να επιζητεί και να χρησιμοποιεί. Και πρώτα υπάρχει η κατηγορία των ενδόξων και των καλών, έπειτα των πραγμάτων που είναι συμφέροντα στη ζωή και τελευταία η κατηγορία των ευχάριστων. 
Ο Πυθαγόρας δεν παραδεχόταν την προσφιλή στο λαό μα απατηλή πρόσκαιρη απόλαυση, αλλά εκείνη που είναι διαρκής, σεμνή και απαλλαγμένη από κάθε δόλο. Έλεγε πως υπάρχουν δύο κατηγορίες ηδονών. Αυτή που ενδίδει στις απαιτήσεις της κοιλιάς και που παρομοίαζε λόγω της τρυφηλότητας της με τις ανθρωποκτόνες ωδές των Σειρήνων και η άλλη που αναφέρεται στα καλά και τα δίκαια των αναγκαίων του βίου και που είναι και στο παρόν ευχάριστη και στο μέλλον βέβαιη. Την δεύτερη παρομοίαζε με τις αρμονικές ωδές των Μουσών και μόνον αυτή παραδεχόταν.Συνιστούσε να προσέχει κανείς ιδιαίτερα, δύο στιγμές της καθημερινής του ζωής. Όταν πήγαινε για ύπνο και όταν σηκωνόταν απ' τον ύπνο. Έλεγε μάλιστα, ποτέ να μην κοιμηθεί κάποιος αν δεν επισκοπήσει την ζωή του κατά τη διάρκεια της ημέρας εξετάζοντας: τι παρέβηκα, τι έκανα σωστό και τι έπρεπε να κάνω και δεν το έκανα. Πριν σηκωθεί δε από τον ύπνο, να εξετάζει πόσα και ποια έργα θα πράξει εντός της ημέρας που ακολουθεί.Προέτρεπε να λέει κάποιος την αλήθεια, γιατί μόνον αυτό θα τον κάνει να μοιάσει με τους θεούς. Πολλά από όσα δίδασκε τα έλεγε με τρόπο συμβολικό. Ο Πορφύριος αναφέρει μερικά από αυτά τα συμβολικά παραγγέλματα, μαζί με τις ερμηνείες που είτε ο ίδιος απέδιδε, είτε είχαν παραδοθεί μέχρι την εποχή του από άλλους:


  • Να μην υπερβαίνεις τον ζυγό (να μην πλεονεκτείς).
  • Να μην σκαλίζεις την φωτιά με μαχαίρι (να μην προκαλείς τον οργισμένο με λόγους οξείς).
  • Να μην μαδάς τον στέφανο (να μην κακομεταχειρίζεσαι τους νόμους, που είναι τα στέφανα της πόλεως).
  • Να μην τρως την καρδιά σου (να μην φθείρεις τον εαυτό σου με θλίψεις και στεναχώριες).
  • Να μην κάθεσαι πάνω σε "χοίνικα" (να μην ζεις σαν τεμπέλης).
  • Όταν αποδημείς να μην θέλεις να επιστρέψεις (να μην προσκολλάσαι στη ζωή όταν πεθαίνεις).
  • Να μην βαδίζεις στις λεωφόρους αλλά στα μονοπάτια (να μην ακολουθείς τις γνώμες των πολλών, αλλά τις γνώμες των λογίων και μορφωμένων).
  • Να μην δέχεσαι χελιδόνια στον οίκο σου (να μην κάνεις φίλους ανθρώπους φλύαρους και ακρατείς στην γλώσσα).
  • Σύνδραμε στο να σηκώσει κάποιος ένα φορτίο, μη συνδράμεις στο να το αποθέσει. (να μην παροτρύνεις κανέναν στην μαλθακότητα και την τεμπελιά, αλλά να συντελείς στην εργασία και την αρετή).
  • Κυάμων απέχου (να μην συμμετέχεις σε εκλογή με κυάμους -κουκιά- διότι στην δημοκρατία εκλέγονται λαοπλάνοι φαφλατάδες και όχι σοφοί άνθρωποι).
  • Τις εικόνες των Θεών, μην φοράς σε δακτυλίδια (την γνώμη και τους λόγους σου για τους Θεούς, μην τις κάνεις πρόχειρα και φανερά ούτε να τις προφέρεις μπροστά στους πολλούς).

Μεγάλη δε σημασία απέδιδε στην διατροφή με ελαφρές τροφές, όπως ο κρίθινος άρτος, τα λαχανικά, το μέλι, και οι φρέσκοι ή αποξηραμένοι καρποί. Έλεγε πως δεν πρέπει κανείς να τρώει το παράγον μαζί με το παραγόμενο (π.χ. κοτόπουλο και αυγό) και να αποφεύγει σχεδόν όλα γενικώς τα θαλασσινά. Δίδασκε την πλήρη αποχή από την κρεοφαγία με εξαίρεση το κρέας της ιεροθυσίας, δηλαδή κρέας από σφάγια που θυσιάστηκαν κι αυτό όχι από κάθε μέρος του ζώου αλλά να αποφεύγουν την μέση, τους όρχεις και τα αιδοία, τον μυελό, τα πόδια και το κεφάλι. 
Σπάνια δε ο ίδιος θυσίαζε έμψυχα και συχνότερα προσέφερε κριθάλευρο, πλακούντες, στεφάνους ανθέων και θυμιάματα. Ο Πορφύριος καταγράφει την παραδοθείσα εκδοχή ότι κάποια φορά που ο Πυθαγόρας θυσίασε βόδι από ζυμάρι, ανακάλυψε ότι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου έχει την ίδια δύναμη με τις πλευρές που την περιέχουν. Αυτό έμελλε να γίνει γνωστό ως Πυθαγόρειο θεώρημα και να χρησιμεύσει μεταξύ των Πυθαγορείων ως σημαντικό εργαλείο μελέτης των αρρήτων μεγεθών (αριθμοί που δεν εκφράζονται ως λόγος ακεραίων, όπως η τετραγωνική ρίζα του 2).
Έργο 
Οι Πυθαγόρειοι αντιλαμβάνονταν τους αριθμούς ως πλήθος ορισμένων αντικειμένων και τους απεικόνιζαν σε ψήφους. Με αυτό τον τρόπο παράστασης των αριθμών κατόρθωσαν να προβούν σε μια πρώτη βασική ταξινόμηση κατηγοριοποιώντας τους σε «άρτιους» και «περιττούς». Έτσι ένας άρτιος αριθμός απεικονιζόταν με μια σειρά ψήφων που μπορεί να χωριστεί σε δύο ίσα μέρη, ενώ το αντίθετο συνέβαινε με έναν περιττό. Μια άλλη θεωρία της αριθμητικής των Πυθαγορείων είναι αυτή των «παραστατικών αριθμών» όπου κάθε αριθμός (ως σύνολο ψήφων) μπορεί να απεικονίσει κάποιο γεωμετρικό σχήμα. 
Παραδείγματος χάριν, ο αριθμός 25 παριστάνει ένα τετράγωνο, ο αριθμός 21 ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ο αριθμός 30 ένα ορθογώνιο. Η μελέτη των παραστατικών αριθμών οδήγησε τους Πυθαγορείους στην ανακάλυψη της μεθόδου για την εύρεση των «πυθαγορείων τριάδων». Τέλος, η ανακάλυψη της ασυμμετρίας είναι, σύμφωνα με τον έγκυρο σχολιαστή Πάππο από την Αλεξάνδρεια, επίτευγμα που επίσης ανήκει στους Πυθαγόρειους.
Μεταφυσική 
Οι αριθμοί για τους Πυθαγόρειους είναι σύμβολα που εκφράζουν την ουσία των όντων και των φαινομένων. Έτσι, ο αριθμός 7 για παράδειγμα εκφράζει το νου, την υγεία και το φως, ο 4 την δικαιοσύνη, ο 3 το γάμο, ο 6 την εμψύχωση, ο 8 τον έρωτα και τη φιλία. Θεωρούσαν τους άρτιους αριθμούς ατελέστερους σε σχέση με τους περιττούς, εξαιτίας της άπειρης διαιρετότητας τους εν αντιθέσει με τους δεύτερους που εμφανίζουν μία απαρτισμένη ολότητα με αρχή, μέση και τέλος. Ο αριθμός 5 για παράδειγμα παρουσιάζει ολότητα διότι οι πρώτες δύο μονάδες παρουσιάζουν την αρχή, οι δύο τελευταίες το τέλος και η μεσαία μονάδα τη μεσότητα.
Μουσική 
Πολύ μεγάλη σημασία έδινε ο Πυθαγόρας στη μουσική την οποία μάλιστα κατέτασσε μαζί με την αστρονομία και τα μαθηματικά - γεωμετρία στις τρεις βασικές επιστήμες για την κατανόηση όλων των υπολοίπων και εν τέλει, της ίδιας της ζωής και των νόμων της φύσεως. Στον Πυθαγόρα οφείλεται η θεωρία της αρμονίας των ουρανίων σφαιρών, το πεντάγραμμο, οι διαβαθμίσεις των τόνων, οι μουσικοί φθόγγοι και γενικά ό,τι έχει να κάνει με την μουσική και την εξέλιξή της, ακόμη και αυτό το όνομά της, αφού πρώτος ο Πυθαγόρας θεώρησε ότι δεν είναι τυχαία η αναφορά των αρχαίων ποιητών όπως του Ησιόδου, του Ομήρου και του Ορφέως στις εννέα Μούσες και τον μουσηγέτη προστάτη τους θεό Απόλλωνα.


Πυθαγόρεια  σχολή 
Φιλοσοφική σχολή, οι βασικές αρχές της οποίας ανάγονται στη διδασκαλία του Σάμιου φιλοσόφου Πυθαγόρα. Ιδρύθηκε από τον ίδιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας και διατηρήθηκε για περισσότερους από δέκα αιώνες, διανύοντας περιόδους εξαιρετικής ακμής, αλλά και κατάπτωσης. Μεταξύ των πρωτοπυθαγορείων αναφέρονται οι Κέρκωψ (τον οποίο ο Αριστοτέλης θεωρεί συγγραφέα των έργων τα οποία οι Πυθαγόρειοι απέδιδαν στον Ορφέα), Πέτρων, Ίππασος, Έκφαντος, Βροντίνος, ο αστρονόμος Φιλόλαος (εισηγητής του μη γεωκεντρικού συστήματος), ο ιατρός Αλκμέων κ.ά. 
Μερικοί από τους Πυθαγόρειους, μετά τη διάλυση της σχολής στον Κρότωνα, όπου βρισκόταν η έδρα της, έφυγαν για την κυρίως Ελλάδα. Στη Θήβα, με τον Φιλόλαο και τους μαθητές του, Σιμμία και Κέβη (συνομιλητές του Σωκράτη στον Πλατωνικό διάλογο Φαίδων), και με τον Λύση, η σχολή γνώρισε νέα ακμή, έως την εποχή του Πλάτωνα (που είχε αρκετά στενές και γόνιμες σχέσεις με τον Πυθαγορισμό), με τον οποίο σταματάει η ιστορία του πρώτου Πυθαγορισμού. 
Η παράδοση, όμως, της σχολής συνεχίστηκε κατά τον 1ο αιώνα π.Χ. και έως τον 2ο αιώνα μ.Χ., οπότε παρουσιάστηκε αναγέννηση της σχολής με τους Νεοπυθαγόρειους, μεταξύ των οποίων αναφέρονται ο Νιγίδιος Φίγουλος, ο Μοδεράτος από τα Γάδειρα, ο Απολλώνιος ο Τυανεύς, ο Νικόμαχος εκ Γεράσων, ο Νουμίνιος, ο Φιλόστρατος κ.ά. 
Η πρώτη Πυθαγόρεια κοινότητα αναφέρεται ως θρησκευτική, πολιτική και επιστημονική οργάνωση, στην οποία εάν ήθελε να γίνει κάποιος δεκτός έπρεπε να περάσει από αυστηρή δοκιμασία. Ξεχωριστό ρόλο, επίσης, έπαιζε η σιωπή που επιβαλλόταν στους κατηχούμενους. 
Οι μαθητές έπρεπε να κρατούν μυστική τη διδασκαλία και η κοινολόγηση των θεωριών της σχολής μπορούσε να τους κοστίσει τη ζωή, όπως λέγεται ότι συνέβη στον Ίππασο (στον οποίο η παράδοση αποδίδει την ανακάλυψη της έννοιας των ασύμμετρων μεγεθών), που κρίθηκε ένοχος για την αποκάλυψη ενός μαθηματικού μυστικού. 
Στη σχολή, όπως αναφέρεται, επικρατούσε η κοινοκτημοσύνη των αγαθών, η αγαμία και σειρά εντολών που αποτελούσαν αληθινή κατήχηση στην πυθαγόρεια ζωή (αποχή από τα όσπρια, το κρέας, τα μάλλινα ενδύματα, συγκομιδή μόνο των καρπών εκείνων που έπεφταν στη γη, κατάρτιση κάθε πρωί του προγράμματος όλης της ημέρας και κάθε βράδυ έλεγχος συνείδησης κλπ.). Εκτός από τις εντολές αυτές, υπήρχε και μια σειρά ερωτημάτων, οι απαντήσεις στα οποία ήταν ειδικές αλήθειες που ονομάζονταν ακούσματα (για παράδειγμα «ποιο πράγμα είναι το σοφότερο;» – «ο αριθμός»). 
Είναι παραδεκτό ότι μέσα στη σχολή υπήρχε διάκριση μεταξύ ακουσματικών και μαθηματικών, που φαίνεται διαφορετική από τη διάκριση εξωτερικών, ή κατηχούμενων, και εσωτερικών, ή μυημένων· πιθανότατα, η πρώτη μαρτυρεί τη διάκριση, την οποία πραγματοποιούσαν κάποια ορισμένη στιγμή μεταξύ των ανθρώπων της πίστης, που δεσμεύονταν για ό,τι υπήρχε θρησκευτικό, μυητικό στη σχολή, και των ανθρώπων της επιστήμης, που είχαν την τάση να βγουν από τη μυστικιστική σιωπή για να αποδείξουν λογικά τις γνώσεις τους.

Η βασική θεωρία της σχολής συνίστατο στη βεβαίωση ότι η ουσία των όντων βρίσκεται στους αριθμούς και στις μαθηματικές σχέσεις, απ’ όπου και η σημασία μερικών αριθμών, κυρίως η τετρακτύς της δεκάδος (στην οποία συνήθιζαν να ορκίζονται), η παράσταση δηλαδή του αριθμού δέκα με σημεία σε πυραμιδική κατάταξη: 
Το 1 είναι η νόηση, το 2 είναι η γνώμη, το 4 ή το 9 (τετράγωνα του πρώτου άρτιου και του πρώτου περιττού) η δικαιοσύνη, το 5 είναι ο γάμος (ένωση του πρώτου άρτιου με τον πρώτο περιττό), και ιδιαίτερα σημαντικό είναι το 10, η μυστική δεκάδα στην οποία ορκίζονταν οι Πυθαγόρειοι και στο οποίο περιλαμβάνονται ο πρώτος αρτιοπέριττος, η μονάδα, ο πρώτος άρτιος, ο πρώτος περιττός και το πρώτο τετράγωνο. 
Η αντίθεση άρτιων και περιττών βρίσκεται στη βάση των σειρών των άλλων νέων βασικών αντιθέσεων (άπειρο - πεπερασμένο, πολλαπλάσιο - μονάδα, αρσενικό - θηλυκό κλπ.). Από τη σειρά αυτή των αντιθέσεων γεννιέται έπειτα η αρμονία εκείνη, η οποία είναι το χαρακτηριστικό όλου του κόσμου, αλλά που αποκαλύπτεται ιδιαίτερα στις μουσικές συγχορδίες. Αρμονία θεωρούσαν και την ψυχή, η οποία μέσα από μια σειρά καθάρσεων τείνει προς την ενατένιση της ουράνιας αρμονίας. 
Με βάση τις αντιλήψεις αυτές της αρμονίας, οι Πυθαγόρειοι οικοδόμησαν τη χαρακτηριστική τους κοσμολογία που συνοψίζεται ως εξής: γύρω από το κεντρικό πυρ περιστρέφονται τα δέκα ουράνια σώματα, στο εξωτερικό του βρίσκεται η περιοχή των απλανών αστέρων, στη μέση η περιοχή των πέντε πλανητών, του Ήλιου και της Σελήνης και, πιο κάτω, η υποσελήνια περιοχή, βασίλειο του γίγνεσθαι και της ατέλειας. 
Για συμπλήρωση της δεκαδικής σειράς οι πυθαγόρειοι εισήγαγαν την Αντιγή (Αντίχθων), που βρίσκεται ανάμεσα στη Γη και στο κεντρικό πυρ, με την οποία εξηγούσαν τις εκλείψεις, αφού ο Ήλιος και η Σελήνη αντανακλούν σαν καθρέφτες το κεντρικό πυρ.
Σημαντική θέση, τέλος, καταλαμβάνουν οι Πυθαγόρειοι στην ιστορία της αρχαίας ρητορικής: όπως η ιατρική θεραπεύει το σώμα, έτσι και η μουσική και η ρητορική θεραπεύουν, κατά την αντίληψή τους, την ψυχή. Και η τέχνη της ομιλίας είναι στην ουσία ψυχαγωγία, δηλαδή ανύψωση και οδηγός της ψυχής.
Ιστορικά Στοιχεία 
Η Πυθαγόρεια Σχολή ιδρύθηκε, όπως προδίδει και το όνομα της, από τον Πυθαγόρα. Ο Πυθαγόρας, υιός του Μνήσαρχου, γεννήθηκε στη Σάμο το 570 π. Χ. Σε κοντινή απόσταση προς τα ανατολικά, στην παράκτια πόλη της Μιλήτου ζούσε ο διάσημος φιλόσοφος Θαλής, ο πρώτος από τους μεγαλύτερους Έλληνες στοχαστές που διαμόρφωσαν τον πνευματικό κόσμο για τα επόμενα 1.000 χρόνια. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι ο νεαρός Πυθαγόρας ίσως είχε έρθει σε επαφή με τη σχολή της Μιλήτου, στην οποία πρωτοστατούσε ο Θαλής, γεγονός του εμφύτευσε το πάθος για τα μαθηματικά και τη φιλοσοφία. 
Επί πολλά χρόνια περιπλανήθηκε σε χώρες κυρίως της Ανατολής και λέγεται πως έμενε για ένα διάστημα στην Αίγυπτο και την Ινδία, όπου μελέτησε τα τεκταινόμενα στον επιστημονικό τομέα. Έπειτα γυρίζοντας στην Σάμο, λόγω της τυρρανίας του Πολυκράτη, μεταναστεύει στο Ελληνικό λιμάνι του Κρότωνα, στη νότια Ιταλία, όπου και ιδρύει την περίφημη Πυθαγόρεια Σχολή κάποια στιγμή μετά το 530 π.Χ., η οποία απέβλεπε όχι μόνο σε επιστημονική έρευνα αλλά και σε πολιτικοθρησκευτικό σκοπό.Οι λόγιοι του Κρότωνα υποδέχθηκαν τον Πυθαγόρα, σαν ένα δημόσιο ρήτορα, ο οποίος είχε μία αποστολή. Ο σκοπός του ήταν να μορφώσει το λαό του Κρότωνα και να αποτελέσει την αφορμή ή την αιτία να αλλάξει ο τρόπος ζωής των εύπορων πολιτών με ροπή από την πολυτέλεια στην νηφαλιότητα, κάτι το οποίο πέτυχε όπως προδίδει η φήμη του ως «Αρχιτέκτονα της Χρυσής Εποχής » στον Κρότωνα. Γίνεται κατανοητό ότι οι ομιλίες του Πυθαγόρα είχαν πολιτική και θρησκευτική χροιά , χωρίς να γίνεται καθαρός διαχωρισμός ανάμεσα στα δύο, «η πολιτική είναι θρησκεία και η θρησκεία πολιτική».Γι' αυτό κατηγορείται ο Πυθαγόρας ότι η σκοπιμότητα και η πιο σημαντική επίπτωση του στους πολίτες του Κρότωνα δεν ήταν η ανώτερη μόρφωση, όπως οι περισσότεροι έχουμε στο μυαλό μας! Βέβαια η μόρφωση για τον Πυθαγόρα ήταν εξέχουσας σημασίας, διότι θεωρούσε ότι διαρκεί για μία ζωή και ότι μπορούσε να καλλιεργεί την αιώνια φήμη. Συνδυάζοντας αυτό το στοιχείο με το θρησκευτικό δόγμα του περί μετεμψυχώσεων κατανοούμε την βαρύνουσα σημασία που είχε η μόρφωση για τον Πυθαγόρα, κάτι που αντικατοπτριζόταν στις ομιλίες του.
Χαρακτηριστικά αναφέρει ο W.K.C Gurthie :''Η ευφυΐα του Πυθαγόρα πρέπει να διέθετε τόσο λογική όσο και θρησκευτική ποιότητα, που σπάνια υπάρχουν στον ίδιο άνθρωπο''. Δεν προκαλεί έκπληξη ότι εκείνος και η σχολή του προσέλκυσαν δύο διαφορετικούς τύπους ανθρώπων, από τη μία ενθουσιώδεις για την προώθηση της μαθηματικής φιλοσοφίας και από την άλλη θρησκευόμενους, το ιδανικό των οποίων ο «Πυθαγόρειος τρόπος ζωής», η ζωή της θρησκευτικής σέκτας που μοιάζει πολύ με εκείνη των Ορφικών και δικαιολογεί τις πρακτικές της με ένα παρόμοιο σύστημα μυστικιστικών πεποιθήσεων». 
Ο Ορφισμός πρέσβευε ότι μέσω της έκστασης μπορούσε να επιτευχθεί η πνευματική ενόραση στη θεϊκή καταγωγή και τη φύση της ψυχής. Η Πυθαγόρεια Σχολή αποτελούσε μία ακαδημία για τη μελέτη κυρίως της φιλοσοφίας και των μαθηματικών αν και επεκτάθηκε και σε άλλους τομείς, όπως η αστρονομία και η μουσική. Αποτελούνταν από μία ομάδα ανθρώπων, οι οποίοι είχαν δεχθεί κάποιες αρχές, έπρατταν συλλογικά και λειτουργούσαν υπό άκρα μυστικότητα, βασικό χαρακτηριστικό της σχολής. 
Λέγεται ότι ο ίδιος ο Πυθαγόρας πίστευε ότι οι μυστικές και καλά οργανωμένες δυνάμεις μπορούσαν να έχουν σημαντικά αποτελέσματα, στοιχεία που δεν αναφέρεται μόνο στη μόρφωση αλλά σε όλα τα επίπεδα ( θρησκευτικό, πολιτικό ).
Η Δομή της Πυθαγόρειας Σχολής 
Η δομή της σχολής δεν αποτελούνταν κατά τα γνωστά από μαθητές και δασκάλους αλλά από τρεις διαφορετικές βαθμίδες. Κατ' αρχάς υπήρχαν οι υποψήφιοι, οι οποίοι περνούσαν από μία σειρά δοκιμασιών ώσπου να γίνουν δεκτοί στη σχολή, ενώ το επόμενο βήμα, με την αποδοχή τους στη σχολή, ήταν η ακρόαση των διδασκαλιών χωρίς να υπάρχει το δικαίωμα οπτικής επαφής με τον διδάσκαλο, οι λεγόμενοι ακουσματικοί ή ακροατές. Σε αντίθεση με τους ακουσματικούς υπήρχαν και οι εκλεκτοί, οι οποίοι είχαν το δικαίωμα να παρακολουθούν και να συζητούν με τον Πυθαγόρα, τους λεγόμενους Μαθηματικούς ή μαθητευόμενους.
Αυτά τα άτομα ασχολήθηκαν με τα θέματα της «μάθησης», δηλαδή της έρευνας, αναζητώντας περαιτέρω απαντήσεις προς την κατανόηση της αλήθειας. Σαφώς δεν πρέπει να παραλείψουμε ότι στον κύκλο των Πυθαγορείων αναδύεται και η λέξη «φιλόσοφος», δημιούργημα Ελληνικό, το οποίο θα παραμείνει περνώντας μέσα στους αιώνες και στους περισσότερους λαούς ως λέξη Ελληνική και συνήθως αμετάφραστη. Φαίνεται, κατά πολλούς, ότι υπήρχαν τέσσερα μέρη της Πυθαγόρειας διδασκαλίας, τα οποία αναφέρονται από τον Πλάτωνα στη «Πολιτεία» ως το δευτερεύων μέρος του προγράμματος σπουδών.
Αριθμητική, Γεωμετρία, Αρμονία (Μουσική) και Αστρονομία. Αυτό είναι το κλασσικό quadrivium , η βασική διδασκόμενη γνώση που κάθε μορφωμένο άτομο οφείλει να κατέχει. Κατά την διδασκαλία τους, η αρμονία είναι εκείνη που αποκαθιστά την ενότητα ανάμεσα στα αντιτιθέμενα μέρη και τα συγκροτεί σε κόσμο. Η αρμονία είναι θεία και συνίσταται από αριθμητικούς λόγους. Όποιος επιτυγχάνει να κατανοήσει πλήρως αυτή την αριθμητική αρμονία γίνεται ο ίδιος θείος και αθάνατος. Μουσική, αρμονία και αριθμοί είναι άρρηκτα ενωμένα στην διδασκαλία του Πυθαγόρα.Ακρογωνιαίος λίθος της φιλοσοφίας των Πυθαγορείων είναι ο αριθμός, αφού σύμφωνα με την κοσμολογία τους «τα πάντα είναι αριθμός». Στηρίζονταν στην υπόθεση ότι οι ακέραιοι αριθμοί είναι η αιτία των διαφόρων ποιοτήτων του ανθρώπου και της ύλης, ότι οι αριθμοί ρυθμίζουν το σύμπαν και ποιοτικά και ποσοτικά. Χαρακτηριστικά αναφέρει ο Αριστοτέλης ότι «ο αριθμός είναι η πρώτη αρχή, τον λαμβάνουν (οι Πυθαγόρειοι) ως ύλη των όντων όσο και ως αυτό που συνιστά τις ιδιότητες του και τις μόνιμες καταστάσεις του. Αυτή η εξύψωση των αριθμών οδήγησε στη βαθιά μελέτη τους. 

Βέβαια εκτός από την προαγωγή της επιστήμης των μαθηματικών, η ενασχόληση με τους αριθμούς κατείχε θέση και στη θρησκεία του Πυθαγορισμού. Οι Πυθαγόρειοι, επειδή οι αριθμοί δεν ήταν η πιο κατάλληλη βάση για να στηριχθεί η φιλοσοφία τους στράφηκαν προς τον συμβολισμό, συγχέοντας με αυτόν τον τρόπο τους αριθμούς με πράγματα και έννοιες. Η ιδέα ήταν ότι όλα τα πράγματα μπορούν να αναλυθούν σε αριθμούς και να επικυρωθούν από αυτούς. Την αντίθεση του στην συγκεκριμένη πλευρά της Πυθαγόρειας πίστης εξέφρασε ο Αριστοτέλης ρωτώντας «Πως είναι δυνατόν οι ιδιότητες – λευκό, γλυκό, ζεστό- να είναι αριθμοί;» 

Ενώ κάποιοι άλλοι, όπως παραδείγματος χάριν ο W.K.C Gurthie φαίνεται να υπερασπίζεται τους Πυθαγορείους λέγοντας «Κοιτάζοντας πίσω, φαίνεται λες και ο Αριστοτέλης ήταν εκείνος που οδήγησε την επιστήμη σε λάθος δρόμο. Σήμερα η επιστημονική περιγραφή όλων των πραγμάτων στον φυσικό κόσμο παίρνει την μορφή αριθμητικών εξισώσεων. Αυτό που αντιλαμβανόμαστε ως φυσικές ιδιότητες (χρώμα, θερμότητα, φως, ήχος) εξαφανίζονται και αντικαθίστανται από αριθμούς που εκπροσωπούν μήκη κύματος και μάζες.»

Περί  αριθμολογίας 
Πιο συγκεκριμένα, σύμφωνα με τον Burkert για τους Πυθαγορείους, η μονάδα αντιπροσωπεύει την ψυχή, την νοημοσύνη, το πνεύμα γιατί αυτό «δεν αλλάζει, είναι το ίδιο παντού, μία κυρίαρχη αρχή», το δύο υποδηλώνει την σκέψη, την άποψη, που ταλαντεύεται συνεχώς. Επειδή το «όλον» περιλαμβάνει τρία πράγματα «αρχή, μέση και τέλος» του έδωσαν τον αριθμό τρία , που είναι και ο αριθμός του σύμπαντος.Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη στα «Μετά τα Φυσικά» η έννοια της Δικαιοσύνης ήταν συνδεδεμένη με τον αριθμό 4 και 9, τους τετράγωνους αριθμούς, που προκύπτουν από τον πρώτο άρτιο (2) και τον πρώτο περιττό (3) αριθμό, δίνοντας βαρύτητα στην έννοια της αμοιβαιότητας. Ο αριθμός 5 αναπαριστούσε το γάμο, με το σκεπτικό ότι ενώνει τον πρώτο άρτιο αριθμό, που ήταν θηλυκός, και τον πρώτο περιττό αριθμό, που ήταν αρσενικό. Ο αριθμός 7 αντιπροσωπεύει τον σωστό χρόνο επειδή ο Ήλιος λέγεται ότι καταλαμβάνει την έβδομη θέση μεταξύ των ουράνιων σφαιρών και ο αριθμός 10, όπως φανταζόμαστε και από την ιερότητα που προσέδιδαν οι Πυθαγόρειοι, αντιπροσωπεύει την τελειότητα.

Κάνοντας όμως αυτή την αναφορά στην σημασιολογία των αριθμών στην Πυθαγόρεια συλλογιστική οφείλουμε να τονίσουμε ότι αυτού του είδους οι εικασίες ανήκουν στην αριθμολογία, τη μελέτη του νοήματος των αριθμών και όχι στα μαθηματικά, την μελέτη των αριθμητικών και γεωμετρικών σχέσεων. Πριν αναλύσουμε την ενασχόληση με τους αριθμούς και την πρόοδο των Πυθαγορείων στα μαθηματικά δεν πρέπει να παραλείψουμε βέβαια την χρήση των αριθμών από τους Βαβυλωνίους και άλλους ανατολικούς λαούς, χρήση που περιοριζόταν στο να τακτοποιούν τα πράγματα αριθμητικά. 
Ενώ είχαν φτάσει σε ένα υψηλό επίπεδο υπολογισμού, πολύ πριν από τους Έλληνες, τα αποτελέσματα εξυπηρετούσαν μόνο τρέχουσες ανάγκες. Κατά τον Ιάμβλιχο, ο Πυθαγόρας παρέμεινε για επτά έτη στη Βαβυλώνα κατά τη διάρκεια των οποίων διδάχθηκε από τους μάγους την θεωρία των αριθμών και έμαθε την «τελειότατη αναλογία» Α/Η=Ρ/Β όπου Η ο αρμονικός και Ρ ο αριθμητικός μέσος των Α και Β. Σημασία πολύ έχουν οι έρευνες των Πυθαγορείων επί των αναλογιών αριθμητικής, γεωμετρικής και αρμονικής, που προκύπτουν εάν θέσουμε τον λόγο (α-β)\(β-γ) και προκύπτουν οι ισοδύναμες σχέσεις:
  • β=(α+β)\2 αριθμητικός
  • β=α*γ γεωμετρικός
  • β=1\2*(1\α+1\γ) αρμονικός

Από την άλλη μεριά, οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν τον αριθμό σαν σύμβολο, που έχει μέσα του νόημα και ξεπερνά το ρόλο του σαν όριο μίας απλής αρίθμησης και υπολογισμού. Και σε αυτή ακριβώς την διαφορετική φιλοσοφία περί των αριθμών έγκειται η θεμελίωση των μαθηματικών σαν επιστήμη. Μάλιστα λέγεται ότι η λέξη «μαθηματικά» πρωτοχρησιμοποιήθηκε από τους Πυθαγορείους και τον Πλάτωνα σύμφωνα με μαρτυρία του Εύδημου, μαθητή του Αριστοτέλη(300 - 350 π.Χ.) και συγγραφέα βιβλίου περί της ιστορίας των μαθηματικών, το οποίο χάθηκε.


Περί  πυθαγόρειας  αριθμητικής 
Οι Πυθαγόρειοι θέλοντας να δώσουν πρωταρχική σημασία στην λειτουργία της όρασης αναπαριστούσαν τους αριθμούς ως πέτρες ή ψηφίδες και παρίσταναν έτσι γεωμετρικά σχήματα ενώ δεν χρησιμοποιούσαν συνεχή μεγέθη. Με αυτό τον τρόπο μπόρεσαν να προχωρήσουν στην αφαίρεση, κάτι στο οποίο υστερούσαν οι ανατολικοί λαοί. Διότι τα σχήματα ήταν τα πιο κατάλληλα για να δείξουν σχέσεις μεταξύ των αριθμών και η μόνη αίσθηση που μας επιτρέπει να αφαιρέσουμε ένα σχήμα ή ένα τύπο από ένα οποιοδήποτε αντικείμενο είναι η όραση. 
Με τον όρο αφαίρεση, στη συλλογιστική, εννοούμε την τέχνη να διακρίνει κανείς μία ή περισσότερες κοινές ιδιότητες σε διαφορετικά πράγματα και να σχηματίζει έτσι μία γενική ιδέα γι' αυτά. Έτσι λοιπόν ο οπτικός τύπος οδήγησε στην αφαίρεση και εξυπηρέτησε σημαντικά την μετάβαση από τον ειδικό στο γενικό και την ανάπτυξη των μαθηματικών σαν επιστήμη. Οι εικονικοί αυτοί αριθμοί ξεκινούν με τη μονάδα την αρχή, από την οποία προέρχονται με κάποιο ανεξήγητο τρόπο οι δύο αντιτιθέμενες αρχές του ορίου και του απείρου, του πεπερασμένου και του μη πεπερασμένου. 
Όπως εξηγεί ο Αριστοτέλης, όταν η μονάδα προστεθεί σε έναν άρτιο αριθμό τον κάνει περιττό ενώ όταν προστεθεί σε έναν περιττό τον κάνει άρτιο. Κάτι τέτοιο δε θα συνέβαινε αν η μονάδα δεν εμπεριείχε και τις δύο μορφές. Η μονάδα είναι η αρχή, από την οποία προέρχονται όλα τα πράγματα, ενώ η ίδια δεν προέρχεται από τίποτα και είναι αδιαίρετη. Δεν είναι ένας αριθμός, αλλά είναι η αρχή των αριθμών. Χρησιμοποιώντας για μία ακόμη φορά τον Αριστοτέλη και πηγή το έργο «Μετά τα Φυσικά» μαθαίνουμε ότι οι Πυθαγόρειοι ταυτίζουν το άρτιο με το άπειρο και το περιττό με το πεπερασμένο. 
Αυτό συμβαίνει διότι το περιττό αποτελεί σύνολο με αρχή μέση και τέλος ενώ ο άρτιος είναι διαιρετός επ' άπειρον. Αυτή τη θέση του Πυθαγορισμού εκφράζει ο Ηeidel στις εικόνες για την καλύτερη κατανόηση της ταύτισης του περιττού με το πεπερασμένο και του άρτιου με το άπειρο. Επιλέγοντας δύο αριθμούς, εκ των οποίων ο ένας άρτιος (12) και ο άλλος περιττός (13) τους παριστάνει με τη γνωστή Πυθαγόρεια παράσταση με ψήφους. Παρατηρούμε πως στην πρώτη περίπτωση ο άρτιος αριθμός διαιρείται σε δύο μισά ενώ ο περιττός αριθμός δεν μπορεί να διαιρεθεί διότι «μία μονάδα βρίσκεται στη μέση».

Αυτή η παρατήρηση μπορεί να συγκριθεί και με εκείνη του Νικόμαχου: ως προς τον άρτιο αριθμό «μονάδος μέσον μη παρεμπιπτούσης» και ως προς τον περιττό «δια την προειρημένην της μονάδος μεσιτείαν», αν και ο ίδιος δεν κάνει κάποια περαιτέρω εξήγηση. Επίσης στο ίδιο κείμενο του Αριστοτέλη, παρατίθεται ο Πυθαγόρειος πίνακας των δέκα αντιθετικών αρχών . Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, μία πυθαγόρεια δοξασία ήταν ότι ο κόσμος στηριζόταν σε δέκα αρχές. 
Αυτές τις αρχές τις συστοιχούσαν και τις εμφάνιζαν με τη μορφή εννοιολογικών διπόλων, ώστε τα μέρη των διπόλων, τα οποία άνηκαν στην ίδια συστοιχία, να αποτελούν μία απόλυτα συγγενική κλάση. Κατά τον Πυθαγόρα οι έννοιες αυτές ήταν πρωταρχικής σημασίας στην φιλοσοφία του, με σημαντικότερα ζεύγη τα πέρας - άπειρο και περιττό - άρτιο. Όταν επιβάλλεται ένα πέρας στο άπειρο και αόριστο, το αποτέλεσμα είναι η δημιουργία των αριθμών. Η μονάδα, όπως προείπαμε, περιλαμβάνει το πέρας και το άπειρο, το άρτιο και το περιττό.
Εφόσον το ένα δεν είναι ένας αριθμός παρά η πηγή των αριθμών, το πεπερασμένο και το άπειρο, που αυτό περιλαμβάνει, είναι οι έσχατες αρχές όλων των πραγμάτων. Η κοσμογονία των Πυθαγορείων είχε αριθμητικό χαρακτήρα. Σύμφωνα με αυτήν το σύμπαν δημιουργήθηκε από το ένα μετά από τη διαίρεση του, που πραγματοποιήθηκε από εισπνοή του απείρου. Το άπειρο εισβάλει στο αδιαφοροποίητο είναι, και το διασπά δημιουργώντας τη δυάδα. Ο κόσμος κυριολεκτικά δημιουργείται από το δίπολο «πέρας - άπειρο». Αρχικά υπήρχε το δίπολο. 
Το είναι ήταν αδιαφοροποίητο, ενιαίο πεπερασμένο για τους Πυθαγορείους ταυτόσημο με τον αριθμό ένα. Το μη είναι ήταν ισχυρότατα συνδεδεμένο με το κενό. Το πεπερασμένο αδιαφοροποίητο όν περιορίζεται από το κενό που επεκτείνεται επ' άπειρον. Αυτό το άπειρο εισβάλει στην αρχή της πυθαγόρειας κοσμογονίας και διασπά το πεπερασμένο είναι παρεμβαλλόμενο ανάμεσα στα δύο του κομμάτια. Δημιουργείται από τη μονάδα η δυάδα, από αυτήν η τριάδα κ.τ.λ. με τρόπο ώστε το πυθαγόρειο σύμπαν να αποτελεί ένα αντίγραφο αυτού που σήμερα θα λέγαμε σύνολο φυσικών αριθμών. 
Για τους Πυθαγορείους ήταν «φυσιολογικό» να αναμένουν να υπακούει ο κόσμος που αποτελείται από διακριτές ψηφίδες σε σχέσεις, νόμους και αρμονίες εκφράσιμες με λόγους της μορφής a/b όπου α, b φυσικοί αριθμοί και b όχι μηδέν.Ο πρώτος άρτιος αριθμός είναι το 2 (Διάς) ενώ ο πρώτος περιττός αριθμός το 3 (Σριάς). Το 4 είναι ο πρώτος τετράγωνος (τετραγωνικός) αριθμός, αφού σχηματίζοντας τον με ψηφίδες παίρνει την μορφή τετραγώνου. Το άθροισμα των παραπάνω αριθμών (1+2+3+4=10) έχει σαν αποτέλεσμα το δέκα, ο οποίος είναι για τους Πυθαγόρειους ιερός αριθμός. Παριστάνεται με ψηφίδες διατεταγμένες σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η επονομαζόμενη τετράκτυς.

Η τετράκτυς λέγεται ότι ονομάστηκε έτσι διότι στο τρίγωνο κάθε πλευρά έχει 4 ψηφίδες. Η τετράκτυς και ο αριθμός δέκα ήταν για τους Πυθαγορείους ιερές οντότητες. Ο Πυθαγόρειος όρκος με τον οποίο δεσμεύονταν τα μέλη της σχολής ήταν: «Μα τον Πυθαγόρα, που παρέδωσε στην γενεά μας την τετράκτυν, που περιέχει την ρίζα της αέναης φύσης, δεν θα προδώσω».Η τετράκτυς αποτελούσε και ένα από τα δύο σύμβολα που χαρακτήριζε τους Πυθαγόρειους.
Περί  πυθαγόρειων πολύεδρων Στον κατάλογο του ο Πρόκλος αποδίδει στον Πυθαγόρα την κατασκευή των κανονικών πολυέδρων. Ένα όμως σχόλιο του Ευκλείδη αναφέρει, ότι οι Πυθαγόρειοι γνώριζαν μόνο τρία κανονικά πολύεδρα (όπως και κατά τον Πάππο στη Συναγωγή) τον κύβο, το τετράεδρο και το δωδεκάεδρο και ότι εκείνος που ανακάλυψε πρώτος τα δύο άλλα ήταν ο Θεαίτητος. Οι έδρες του δωδεκαέδρου είναι κανονικά πεντάγωνα. Οι διαγώνιοι ενός τέτοιου πενταγώνου σχηματίζουν ένα αστεροειδές ως διακριτικό γνώρισμα των Πυθαγορείων, το δεύτερο χαρακτηριστικό σύμβολο τους.

Το είχαν θεσπίσει ως συνθηματικό σημείο αμοιβαίας αναγνώρισης, το αστεροειδές πεντάγωνον, το άλλως λεγόμενο και πεντάλφα ή πεντάγραμμο. Στον Σιμαίο του Πλάτωνα τα 5 κανονικά στέρεα αναφέρονται «κοσμικά στερεά» και από αυτά αποτελούνται όλα τα στοιχεία. Η αντιστοιχία ήταν η εξής: Έχοντας ως έναυσμα της ονομαστικής και όχι εννοιολογικής συνωνυμίας της λέξης «πεντάγραμμο», θα αναφερθούμε σε αυτό το σημείο στη μουσική και την αρμονία, που κατείχαν κεντρική θέση στη διδασκαλία του Πυθαγόρα.


Περί  της επιστήμης  της  μουσικής
Καταρχάς ο Πυθαγόρας ήταν αυτός που έθεσε τις βάσεις στην επιστήμη της Μουσικής με μία επιστημονικά θεμελιωμένη θεωρία της Μουσικής. Ανακάλυψε την σχέση ανάμεσα στο μήκος των χορδών και το τονικό ύψος (διάστημα) που δίνουν, χρησιμοποιώντας αρχικά ένα έγχορδο όργανο, που το δημιούργησε ο ίδιος το «Μονόχορδον». Το πλεονέκτημα του Πυθαγόρειου υπολογισμού των διαστημάτων είναι το ότι αποτελεί έναν τρόπο που να στηρίζεται σε αριθμητικές πράξεις και όχι στην εμπειρία, που βασιζόταν η μέθοδος και οι προτάσεις του Αριστόξενου του Σαραντινού (νεότερος του Πυθαγόρα περί το 375 π.Χ. ) .
Οι βασικοί φθόγγοι της τότε γνωστής μουσικής κλίμακας συνδεόταν με την τετράκτυν και οι λόγοι των συχνοτήτων που δόθηκαν για τους συγκεκριμένους αυτούς φθόγγους ήταν λόγοι μεταξύ των αριθμών 1, 2, 3, 4. Οι λόγοι, που βρέθηκαν, υπήρξαν αποτέλεσμα εμπειρικών παρατηρήσεων πάνω σε μήκη παλλόμενων χορδών ή πάνω στα βάρη συγκεκριμένων συμπαγών μεταλλικών αντικειμένων που χρησιμοποιούνταν για σφυριά από τους μεταλλουργούς της αρχαιότητας, σύμφωνα με την παράδοση. Μέχρι τον 16ο αιώνα ο Πυθαγόρειος υπολογισμός των διαστημάτων υπήρξε ο πυρήνας της τεχνικής χορδίσματος των οργάνων.Μία Πυθαγόρεια ιδέα, που σχετίζεται με τη μουσική, είναι γνωστή ως η «Αρμονία των Σφαιρών» ή εναλλακτικά η «Μουσική των Σφαιρών». Αυτή η θεωρία διασώζεται από τον Αριστοτέλη στο έργο του «Περί Ουρανού» και αναφέρεται στο σύνολο των ήχων, που παράγονται από την περιστροφή των πλανητών αλλά δεν γίνονται αντιληπτοί από τους ανθρώπους διότι συνεχίζονται αδιάκοπα και αδιατάραχτα. Επίσης το σύνολο των ήχων μεταβάλλεται ανάλογα με την απόσταση των πλανητών από τη γη και την ταχύτητα της κίνησης τους. 
Η απόσταση ανάμεσα στα αστρικά σώματα ήταν πολύ σημαντική, επειδή το καθένα ήταν τοποθετημένο σε συμφωνία με μία αριθμητική αναλογία που αντιστοιχούσε επακριβώς στα ποσοστά της μουσικής κλίμακας. Έτσι οι ήχοι, που κάνουν τα αστέρια ταιριάζουν μεταξύ τους, δηλαδή καταλήγουν σε αρμονία.


Περί  αστρονομίας 
Έχοντας παρατηρήσει την σημασία της τάξης και της αρμονίας για τους Πυθαγορείους είναι πολύ σημαντικό να αναφέρουμε ότι πρώτος ο Πυθαγόρας χρησιμοποίησε τη λέξη «κόσμος», αναφερόμενος στο σύμπαν, δηλαδή τάξη και αρμονία, αφού πίστευε πως το σύμπαν προήλθε από το χάος και απέκτησε μορφή με το μέτρο και την αρμονία. Ο Πυθαγόρας βέβαια δεν παρέμεινε μόνο στη μουσική και κοσμική αρμονία αλλά ασχολήθηκε και με θέματα αστρονομίας. 
Πιθανολογείται πως ήταν ο πρώτος που θεώρησε ότι η γη είναι στρογγυλή και ακόμα ότι περιφέρεται γύρω από το «κεντρικό πυρ». Στη συνέχεια οι Πυθαγόρειοι ανέπτυξαν αυτή τη θεωρία λέγοντας πως γύρω από το κεντρικό πυρ δεν περιστρεφόταν μόνο η γη αλλά και άλλες σφαίρες, μία με όλους τους απλανείς αστέρες, μία με τον Ήλιο και τη σελήνη και μία με τους γνωστούς πλανήτες (Άρης, Ζεύς, Κρόνος, Ερμής, Αφροδίτη). Για να συμπληρωθεί ο ιερός αριθμός 10 παραδέχτηκαν ότι υπάρχει και ένα ακόμη ουράνιο σώμα με κυκλική κίνηση γύρω από το κοινό κέντρο, η «Αντίχθων». 
Δικαιολόγησαν το γεγονός ότι το δέκατο ουράνιο σώμα δεν ήταν ορατό από τη Γη, διότι κατά την περιστροφή του βρισκόταν πάντα ακριβώς απέναντι από τη γη και έτσι βρισκόταν πάντα το κεντρικό πυρ ανάμεσα τους. Μετά την ανάλυση των επιτευγμάτων των Πυθαγορείων σε μουσική και αστρονομία επιστρέφουμε στο θεμελιώδες δόγμα της Πυθαγόρειας Σχολής, την τετράκτυ. Εξετάζοντας, με τη μέθοδο της αναπαράστασης των αριθμών με ψηφίδες, από την αρχή τους αριθμούς εξάγουμε σημαντικά συμπεράσματα για την τελειότητα της τετράκτυς.


Τα  πυθαγόρεια  μαθηματικά
Ο αριθμός 1 είναι γεωμετρικό σημείο, όπου γεωμετρικό σημείο ορίζεται ως «μονάδα εχούσης θέσιν» από τον Πυθαγόρα. Αν το συνδέσω με ένα ακόμη σημείο, η ένωση τους θα δημιουργούσε μία γραμμή. Αν προσθέσουμε ένα τρίτο σημείο και το συνδέαμε με τα άλλα δύο θα είχαμε ένα τρίγωνο, το πρώτο επίπεδο σχήμα. Και η σύνδεση ενός ακόμα, τέταρτου, σημείου με τα προηγούμενα μας δίνει την πρώτη στέρεα μορφή, την πυραμίδα.Με αυτό τον τρόπο συγχέονται τα αριθμητικά μεγέθη με τα γεωμετρικά δομημένα πράγματα και έτσι δεν είναι παράξενο πως η πορεία από την μονάδα στο 4 δεν σημαίνει απλά πως η μονάδα έδωσε τους τρεις αριθμούς αλλά τις τρεις επόμενες διαστάσεις. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι αν εξισώσουμε αριθμούς με γεωμετρικά σημεία και μετά δημιουργήσουμε κάθε σχήμα συνδέοντας τα μπορεί να φτάσουμε στο συμπέρασμα ότι τα πράγματα που θα προκύψουν από μία τέτοια δομή ουσιαστικά αποτελούνται από αριθμούς και προκαλούνται από αυτούς, προσεγγίζοντας έτσι την Πυθαγόρεια φιλοσοφία περί αριθμών.Σε αυτό το σημείο πρέπει να αναλύσουμε μια θεμελιώδη πρόταση, που έχει αναφερθεί προηγουμένως και έχει αποδοθεί στον Πυθαγόρα. Η πρόταση αυτή αναφέρεται στον διαχωρισμό των αριθμών μόνο σε άρτιους και περιττούς. Θέλοντας να αναπαραστήσουμε με την μέθοδο των Πυθαγορείων τους άρτιους και περιττούς αριθμούς, θα χρησιμοποιήσουμε το παράδειγμα του W.R.Knorr, ο οποίος καταφεύγει στην πιο απλή πυθαγόρεια αναπαράσταση των αριθμών, τοποθετεί τις ψηφίδες πάνω στην ίδια ευθεία.Άρτιοι αριθμοί είναι εκείνοι που χωρίζονται σε δύο ίσα μέρη και το μέσον δεν περιέχει ψηφίδα. Ενώ περιττοί είναι εκείνοι που στο μέσον τους υπάρχει ψηφίδα, χωρίζοντας τους σε δύο ίσα μέρη. Με αυτό τον απλό τρόπο αναπαράστασης των αριθμών, οι Πυθαγόρειοι ήταν σε θέση να βγάλουν αρκετά συμπεράσματα, τα οποία συγκεντρώθηκαν μετέπειτα από τον Ευκλείδη στα Στοιχεία. Οι πυθαγόρειοι ορισμοί, που αναφέρονται από τον Νικόμαχο, δεν διαφέρουν πολύ από εκείνους που αναφέρονται από τον Ευκλείδη στο Βιβλίο 7 των Στοιχείων και είναι οι εξής:
  • Άρτιος αριθμός είναι ο αριθμός, ο οποίος διαιρείται σε δύο ίσα μέρη και μπορεί να διαιρεθεί σε δύο άνισα μέρη, εκτός βέβαια από την θεμελιώδη δυάδα, η οποία διαιρείται μόνο σε 2 ίσα μέρη. 
  • Περιττός αριθμός είναι ο αριθμός, ο οποίος διαιρείται μόνο σε δύο άνισα μέρη, τα οποία είναι πάντα διαφορετικού είδους, το ένα άρτιο και το άλλο περιττό, και διαφέρει από άρτιο αριθμό κατά μία μονάδα. Σε αντίθεση με τους άρτιους αριθμούς, των οποίων τα μέρη πρέπει να είναι πάντα του ίδιου είδους.

Ξεκινώντας λοιπόν με το συλλογισμό, ότι όλοι οι αριθμοί είναι είτε άρτιοι είτε περιττοί, θα προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε το πρόβλημα του απείρου, που αντιμετώπιζαν οι Πυθαγόρειοι. Υπενθυμίζουμε ότι το άρτιο εξισώνεται με το άπειρο και το πέρας με το περιττό και επομένως οι αρχές άρτιο - περιττό δεν έχουν τη σημασία που φανταζόμαστε σήμερα. Επειδή η σειρά των αριθμών είναι ατελείωτη, δεν θα μπορούσε κανείς να εκτελεί διαδοχικές διαιρέσεις με το 2 και να σημειώνει αν το υπόλοιπο είναι 0 ή 1, άρα δεν αποδεικνύεται και η πρόταση ότι όλοι οι αριθμοί είναι είτε άρτιοι είτε περιττοί. 
Αυτός ο απεριόριστος αριθμός πράξεων δεν αποτέλεσε εμπόδιο για τους Πυθαγορείους αλλά τους οδήγησε σε άλλα μαθηματικά μονοπάτια. Βρήκαν τρόπο να αντιμετωπίσουν το πρόβλημα του απείρου χρησιμοποιώντας το γνώμονα. Ο γνώμονας είναι μία ράβδος τοποθετημένη κατακόρυφα σε υπαίθριο μέρος, έτσι ώστε το μήκος της σκιάς της κάθε φορά να δείχνει την ώρα της ημέρας. Αργότερα ο όρος χρησιμοποιείται και ως ονομασία ενός μηχανικού εργαλείου, κατάλληλου για την χάραξη ορθών γωνιών. 
Μετά από αυτή τη χρήση, ως φυσικό επακόλουθο του σχήματος του, έφτασε να σημαίνει το σχήμα που απομένει εάν από ένα τετράγωνο αφαιρεθεί από τη μία του γωνία ένα άλλο μικρότερο (ή το σχήμα που αν προστεθεί σε ένα τετράγωνο αυξάνει το μέγεθος του χωρίς να αλλάζει το σχήμα του). Με τη χρήση λοιπόν του γνώμονα οι Πυθαγόρειοι περιόρισαν το άπειρο βαθμηδόν. Ο περιορισμός όμως αυτός νοείται με ένα ειδικό σχήμα που αντιπροσωπεύει το περιττό. 
Η έννοια του περιττού ήταν συνδεδεμένη με την έννοια του πέρατος διότι η διαδικασία προσθήκης συνεχόμενων περιττών αριθμών στις πλευρές επάλληλων γνωμόνων οδηγεί πάντα στο ίδιο σχήμα, δηλαδή σε τετράγωνο. Ο λόγος των πλευρών είναι πάντα ίσος με τον αριθμό 1. Για παράδειγμα έστω γνώμονας α=9. Ξεκινούσαν με τον αριθμό 1, τον οποίο παρίσταναν με μία ψηφίδα. Τοποθετούσαν εν συνεχεία έναν γνώμονα που αναγκαστικά κάλυπτε δύο πλευρές του χώρου ολόγυρα από τις ψηφίδες. 
Μετά τοποθετούσαν 3 ψηφίδες, μία σε κάθε πλευρά του γνώμονα και μία στην κορυφή του και ακολουθούσε νέος γνώμονας, τις πλευρές του οποίου κάλυπταν με πέντε ψηφίδες, μία από τις οποίες τοποθετούνταν σε ένα νέο γνώμονα και ο αριθμός 7 παριστάνονταν με επτά ψηφίδες, τοποθετημένες ανά 3 στις δύο πλευρές του γνώμονα και μία στην κορυφή. Συνέχιζαν τοποθετώντας μία ακόμη φορά τον γνώμονα για να σχηματίσουν τον αριθμό 9, που είναι και το ζητούμενο.
1+3+5+7+9=5²

Γενικεύοντας λοιπόν έχουμε 1+3+5+7+….+(2ν-1)=ν², όπου (2ν-1) ο γνώμονας και ν η πλευρά του τετραγώνου.Αντιθέτως όταν συνεχόμενοι άρτιοι αριθμοί, ξεκινώντας από τον αριθμό 2 τοποθετούνται στις πλευρές επάλληλων γνωμόνων, έχουμε ως αποτέλεσμα ένα σχήμα, το οποίο δεν παραμένει σταθερό όπως συμβαίνει με το σχήμα των περιττών σχηματικών αριθμών. Το σχήμα αλλάζει μια και κάθε φορά η αναλογία του μήκους και του ύψους του μεταβάλλεται. Αυτή η μεταβολή είναι αναγκαστικά μη φραγμένη με την έννοια πως δεν υπάρχει άρτιος αριθμός Ν μετά τον οποίο να σταθεροποιείται ο λόγος των πλευρών του προκύπτοντος ορθογωνίου παραλληλογράμμου. 
Σε αυτό το σημείο πρέπει να τονίσουμε ότι ο λόγος των πλευρών του σχήματος που προκύπτει, υπολογίζεται ως ο λόγος των αριθμών των ψηφίδων που βρίσκονται στις αντίστοιχες πλευρές αφού εξαιρεθεί η ψηφίδα που έχει τοποθετηθεί στην κορυφή του αντίστοιχου γνώμονα. Γι’ αυτό άλλωστε συμπεριλαμβάνεται στον πίνακα των αντιθέτων το ζεύγος τετράγωνο - ετερομήκες. Το ετερομήκες αναφέρεται σε μια ορθή γωνία, στην οποία η μία πλευρά υπερέχει από την άλλη κατά μία μονάδα.
Περί  κατηγοριοποίησης  των αριθμών
  • Τέλειος θεωρείται ένας αριθμός που ισούται με το άθροισμα των διαιρετών του εκτός από τον ίδιο.
  • Φίλιοι ονομάζονται δύο αριθμοί, όταν ο καθένας τους είναι το άθροισμα των διαιρετών του άλλου εκτός από τον ίδιο των αριθμό.
  • Ισοϋπόλοιποι ονομάζονται δύο αριθμοί ως προς τον μ όταν εμφανίζουν το ίδιο υπόλοιπο διαιρούμενοι δια του μ.
  • Ελλιπής ονομάζεται ένας αριθμός, του οποίου το άθροισμα των παραγόντων του είναι μικρότερο του αριθμού.
  • Υπερτελής ονομάζεται ένας αριθμός, του οποίου το άθροισμα τωνπαραγόντων του είναι μεγαλύτερο του αριθμού.
  • Αρτιάκις άρτιος ονομάζεται ο αριθμός που μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ίσα μέρη και καθένα από τα μέρη αυτά είναι διαιρετό σε δύο ίσα μέρη και πάλι σε δύο ίσα μέρη μέχρι η διαίρεση των διαδοχικών υποδιαιρέσεων να φτάσει την αδιαίρετη μονάδα.
  • Περιττάκις περιττός ονομάζεται κάθε περιττός αριθμός που δεν είναι πρώτος.
  • Αρτιοπέριττος ονομάζεται ένας αριθμός που είναι άρτιος αλλά βρίσκεται σε αντιδιαστολή με τον αρτιάκις άρτιο γιατί επιδέχεται όπως και κάθε άρτιος την διαίρεση σε δύο ίσα μέρη αλλά τα δύο αυτά μισά δεν διαιρούνται σε δύο ίσα μέρη. Είναι δηλαδή οι αριθμοί της μορφής 2*(2ν+1).
  • Περισσάρτιος ονομάζεται ένας αριθμός που μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ίσα μέρη, τα οποία επίσης μπορούν να διαιρεθούν σε δύο ίσα μέρη και αυτή η διαδικασία να συνεχίζεται μέχρι ένα σημείο πριν μπορέσουμε και φτάσουμε στην μονάδα. 
  • Πρώτος και ασύνθετος ονομάζεται ένας αριθμός όταν είναι περιττός και δεν δέχεται άλλη διαίρεση εκτός από τον εαυτό του και την μονάδα .Ή σύμφωνα με τον Ευκλείδη49 πρώτος είναι ένας αριθμός ο οποίος μπορεί να μετρηθεί μόνο από τη μονάδα.
  • Δεύτερος και σύνθετος ονομάζεται ένας αριθμός όταν δεν είναι πρώτος ή εναλλακτικά όταν μπορεί να μετρηθεί από κάποιον αριθμό εκτός της μονάδας.
  • Πρώτοι προς αλλήλους ονομάζονται δύο αριθμοί όταν και οι δύο είναι δεύτεροι και σύνθετοι αλλά μεταξύ τους δεν έχουν κανένα κοινό μέτρο.




Περί  του αθροίσματαος  των γωνιών ενός  τριγώνου
Ο Ευτόκιος, στα σχόλιά του στα Κωνικά του Απολλώνιου, λέει ότι «οι αρχαίοι θεωρούσαν τις δύο ορθές γωνίες (τριγώνου) σε έκαστο είδος τριγώνου, πρώτα στο ισόπλευρο, κατόπιν στο ισοσκελές και τέλος στο σκαληνό. Οι μεταγενέστεροι ήταν που απέδειξαν το εξής καθολικότερο θεώρημα: το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου ισούται με δύο ορθές». Ο Ευτόκιος βέβαια γράφει στις αρχές του έκτου αιώνα μ.Χ. Ίσως όμως να αντλεί πληροφορίες από αρχαιότερες πηγές. 
Είναι όμως σημαντική η μαρτυρία του ότι η καθολική απόδειξη του θεωρήματος που βρίσκουμε στον Ευκλείδη δεν είναι η αρχική και ότι η αρχική απόδειξη προσέγγιζε το θεώρημα κατά περίπτωση. Ο Ευτόκιος δεν αναφέρει τους Πυθαγόρειους αλλά θα μπορούσαν οι ''αρχαίοι'' στους οποίους αναφέρεται να ήταν οι πρώιμοι Πυθαγόρειοι. Πάντως το θεώρημα κάλλιστα θα μπορούσε να τους ήταν γνωστό γιατί αποδεικνύεται εύκολα με στοιχειώδη τρόπο. Παραθέτουμε σε αυτό το σημείο έναν τρόπο απόδειξής του: 
Έστω τυχόν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιός του που το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα (μπορούμε εύκολα να δείξουμε την ισότητα μετρώντας ψήφους ή με την μέθοδο της εφαρμογής). Επειδή το άθροισμα των γωνιών του ορθογωνίου είναι τέσσερις ορθές γωνίες, το άθροισμα των γωνιών κάθε ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με δύο ορθές. Για σκαληνό τρίγωνο, μπορούμε να φέρουμε το ύψος του, χωρίζοντάς το έτσι σε δύο ορθογώνια τρίγωνα με άθροισμα γωνιών δύο ορθές το καθένα. Αφαιρώντας τις δύο ορθές γωνίες βγαίνει ότι το άθροισμα των γωνιών του σκαληνού τριγώνου είναι ίσο με δύο ορθές γωνίες.
Το κόσκινο του Ερατοσθένη
Η παράγωγη των πρώτων αριθμών έγινε από τον νέο - Πυθαγόρειο Ερατοσθένη (276 - 194 π.Χ.) με τη μέθοδο του κόσκινου, το επονομαζόμενο «Κόσκινο του Ερατοσθένη». Ο ίδιος ο Ερατοσθένης ονόμασε τη μέθοδο του έτσι διότι μέσω αυτής παίρνουμε τους περιττούς αριθμούς χωρίς διακρίσεις όλους μαζί και από αυτούς με τη μέθοδο παραγωγής ξεχωρίζουμε όπως με ένα κόσκινο, τους πρώτους και ασύνθετους και τους δεύτερους και σύνθετους. Η μέθοδος του κόσκινου είναι η εξής: Εκθέτουμε όλους τους περιττούς αριθμούς, ξεκινώντας από το 3, σε μία όσο το δυνατόν μακρύτερη σειρά. 
Μετά αρχίζοντας από τον πρώτο, τον αριθμό τρία, σημειώνουμε ανά τρείς τους αριθμούς παρατηρώντας ότι το τρία μπορεί να διαιρέσει κάθε αριθμό παραλείποντας δύο ενδιάμεσους. Αν θέλουμε να έχουμε και μία εικόνα για τους παράγοντες κάθε αριθμού μπορούμε να σημειώνουμε δίπλα σε κάθε αριθμό τον εκάστοτε διαιρέτη που εντοπίζουμε. Στη συνέχεια συνεχίζουμε με τον δεύτερο αριθμό, το πέντε και σημειώνουμε ανά πέντε αυτή τη φορά τους αριθμούς παρατηρώντας ότι το πέντε είναι παράγοντας των αριθμών που προκύπτουν αν μετρήσουμε αφήνοντας τέσσερις θέσεις κενές.Ανάλογα συνεχίζουμε χωρίς διακοπή έτσι ώστε οι αριθμοί να διαδέχονται ο ένας τον άλλο ως διαιρέτες σύμφωνα με την θέση τους στη σειρά. Αν σημειώσουμε τώρα τους αριθμούς με κατάλληλα σημάδια, όπως στον πίνακα, θα βρούμε ότι κανένας από τους όρους που μεταλαμβάνει τη θέση του διαιρέτη δεν διαιρεί πάντα τους ίδιους αριθμούς, ούτε όλοι οι αριθμοί θα δεχθούν έναν διαιρέτη, αλλά μερικοί διαφεύγουν να μετρηθούν από οποιονδήποτε αριθμό, κάποιοι διαιρούνται από έναν μοναδικό και κάποιοι από δύο ή περισσότερους.Αυτοί που δεν μετρούνται από κανέναν αριθμό είναι οι πρώτοι και ασύνθετοι και ξεχωρίζουν σαν να κοσκινίστηκαν με κόσκινο. Παρατηρούμε ότι, με βάση αυτής της εκδοχής του κόσκινου του Ερατοσθένη, στον πίνακα μας δεν παρουσιάζονται μόνο ποιοι είναι πρώτοι και ποιοι σύνθετοι αριθμοί αλλά και ποιοι είναι πρώτοι διαιρέτες κάθε σύνθετου αριθμού και με ποιο πηλίκο. Έτσι μπορούμε να δούμε αν δύο αριθμοί είναι πρώτοι προς αλλήλους ή όχι.


Η πυθαγόρεια  σκέψη
Η πυθαγόρεια σκέψη δομήθηκε μέσα από ένα κράμα θρησκευτικής πίστης και φιλοσοφίας. Κατά γενική ομολογία των μεταγενέστερων το πνεύμα του Ορφισμού διαπερνούσε την Πυθαγόρεια φιλοσοφία. Ή, για να το πούμε με άλλα λόγια, η φιλοσοφία του Πυθαγόρα υπήρξε η φιλοσοφική πραγμάτωση της Ορφικής πίστης.Το βασικότερο δόγμα του Πυθαγόρα ήταν η πίστη στην αθανασία της ψυχής,η οποία αναπτύσσεται διαρκώς και αλλάζει σώματα προκειμένου να λυτρωθεί τελικά από τη θνητή ζωή και καθαρή να λάβει τη θέση της μεταξύ των αθανάτων όντων. Δηλαδή, ήταν αποδεκτή η θεωρία της μετενσάρκωσης της ψυχής, η οποία μέσα από έναν κύκλο γεννήσεων απελευ­θερώνεται από το θνητό σώμα. Επομένως,ο άνθρωπος κατά τους Πυθαγόρειους έχει σαν σκοπό της ζωής του να αποτινάξει το ζυγό του θνητού σώματος και να γίνει καθαρό πνεύμα, οπότε θα ενωθεί με το συμπαντικό πνεύμα στο οποίο ανήκει.Ο Πυθαγόρας πιθανολογείται πως ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τον όρο «κόσμος» προκειμένου να υποδηλώσει το Σύμπαν σαν μια οργανωμένη τάξη. Το Σύμπαν διέπεται από μια τάξη και είναι οργανωμένο και έμψυχο. Δεν υπάρχει τίποτε άψυχο και κενό ζωής κατά τους Πυθαγόρειους. Με αυτόν τον τρόπο παρουσιάζεται η έννοια της «συγγένειας ολόκληρης της φύσης»· και όπως το Σύμπαν είναι «κόσμος» οργανωμένος, έτσι και ο άνθρωπος αποτελεί μια μικρογραφία αυτού του «κόσμου», ένα μικρόκοσμο. Μελετώντας αυτόν τoν μικρόκοσμο, ουσιαστικά σπουδάζουμε τις θεμελιώδεις δομές του Σύμπαντος.
Καταλαβαίνουμε, λοιπόν ότι για τους Πυθαγόρειους ο κόσμος δεν είναι ένα αντικείμενο έρευνας, πειραματισμού και επιβολής, αλλά μια ιερή τάξη γεμάτη δυνάμεις και η συμμετοχή σε αυτές δρα αποκαλυπτικά στη νόησή μας και διεγείρει βαθύτατα τον εσωτερικό μας κόσμο. Ένα άλλο σημαντικό στοιχείο της Πυθαγόρειας σκέψης είναι η έννοια του πέρατος ή ορίου.Από τη στιγμή που υφίσταται o κόσμος, η οργανωμένη τάξη στο Σύμπαν, προϋποθέτει την ύπαρξη ενός ορίου, καθώς οτιδήποτε δεν έχει προκαθορισμένα όρια είναι άμορφο και ταιριάζει στο χάος.Ο κόσμος δημιουργείται με την παρέμβαση του ορίου στο άπειρο, οπότε αποκαλύπτεται μια καθορισμένη ενότητα. Το καθορισμένο και το απροσδιόριστο αποτελούν τις δυο βασικές αντίθετες αρχές για τους Πυθαγόρειους, από τις οποίες η πρώτη είναι το καλό και η δεύτερη το κακό, αφήνοντας να φανεί η έννοια του δυϊσμού στη φιλοσοφία τους. Ο Αριστοτέλης παραθέτει έναν πίνακα του Αλκμαίωνα του Κροτωνιάτη με τα βασικά αντίθετα των Πυθαγορείων:


πέρας —άπειρον
περιττόν —άρτιον
εν —πλήθος
δεξιόν —αριστερόν
άρρεν —θήλυ
ηρεμούν —κινούμενον
ευθύ —καμπύλον
φως —σκότος
αγαθόν —κακόν
τετράγωνον —ετερομήκες

Εκείνο, όμως,που διαφοροποιεί εντελώς τη φιλοσοφική σκέψη του Πυθαγόρα από τους υπόλοιπους είναι ο τρόπος ή διαδικασία κάθαρσης και απελευθέρωσης της ψυχής. Πάνω στα μέσα για την επίτευξη αυτού του σκοπού οικοδομήθηκε ένα οικοδόμημα απέραντου πνευματικού ύψους. Ο Πυθαγόρας χρησιμοποιεί τα μαθηματικά για τη διείσδυση του στις πιο υψηλές περιοχές του νου και δεν το κάνει με κάποια δεισιδαιμονική αντιμετώπιση τους. Αντίθετα, θεμελιώνει τη μαθηματική επιστήμη και την ανάγει σε φιλοσοφική θεωρία .
Ξεφεύγει από τις μετρήσεις και τις λογιστικές ενασχολήσεις της και την αναβιβάζει σε επίπεδα ιδεών. Καθίσταται πρωτοπόρος του μαθηματικού στοχασμού, ανακαλύπτοντας νέες μαθηματικές θεωρίες και αρχές, που η εφαρμογή τους αποδείχθηκε διαχρονική. Το γνωστό σε όλους μας Πυθαγόρειο θεώρημα (το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών) αντλεί από εκείνες τις εποχές την καταγωγή του.
Αξιοσημείωτο επίσης είναι το ότι δε μελετούσαν τους αριθμούς αφηρημένα αλλά χρησιμοποιούσαν χαλίκια, με τα οποία σχημάτιζαν διάφορα σχήματα και εξέταζαν τις μεταξύ τους ανακύπτουσες σχέσεις .Όταν, για παράδειγμα, αναφέρονταν στους τριγωνικούς αριθμούς, δεν έκαναν τίποτε άλλο από το να μελετούν το σχήμα που δημιουργείται από την τοποθέτηση των αριθμών, Δηλαδή, ο τριγωνικός αριθμός 10 είναι η περίφημη τετρακτύς, ο τέλειος αριθμός, σχηματιζόμενος από το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων (1+2 +3+4=10).
Με τον ίδιο τρόπο μελετούσαν τους τετράγωνους αριθμούς,τους κύβους κ.λπ, καθώς επίσης αναζητούσαν τις συμμετρικές τους σχέσεις,τις αναλογίες τους. Οι ίδιοι ανακάλυψαν τους μαθηματικούς μέσους, δηλαδή τον αριθμητικό,το γεωμετρικό και τον αρμονικό. Αλλά όλα τούτα δε θα είχαν ίσως ποτέ ανακαλυφθεί εάν οι αριθμοί δε συνδέονταν με έννοιες και ποιότητες. Οι αριθμοί δεν είναι ποσότητες απλώς, αλλά αντιπροσωπεύουν ιδέες και αρετές και κάθε συσχέτισή τους οδηγεί την ανθρώπινη διάνοια σε συνειδησιακές ανακαλύψεις.
Μέσω αυτών παρέχεται μια δυνατότητα ανάπτυξης και βελτίωσης της ανθρώπινης οντότητας. Στην ουσία οι Πυθαγόρειοι εξομοίωσαν ολόκληρη τ η φύση με τους αριθμούς και υπέθεσαν ότι τα στοιχεία των αριθμών είναι στοιχεία όλων των όντων και όλος ο κόσμος είναι αρμονία και αριθμός. Η έννοια της ψυχής ως αρμονίας είχε πολύ ισχυρή επίδραση στη φιλοσοφία των Πυθαγορείων. Αλλά αυτή την έννοια κατά κανένα τρόπο δεν την ταύτιζαν με την εξισορρόπηση των δυνάμεων του φυσικού τους σώματος,αλλά με τον αριθμό.
Θεωρούσαν λοιπόν πως η αρμονία της ψυχής σχετίζεται με την τετρακτύν, τον τέλειο αριθμό. Δημιουργείται δε, μέσω της αρμονίας των πρώτων τεσσάρων αριθμών -1 ,2 ,3 , 4- καθώς αυτοί είναι οι ενσαρκωτές της. Σε τέτοιες βεβαίως ιδέες στηρίχθηκαν και χρησιμοποίησαν το μαθηματικό τους υπόβαθρο στο πεδίο της μουσικής. Ο ίδιος ο Πυθαγόρας ανακάλυψε ότι εκείνα τα διαστήματα της μουσικής κλίμακας που ονομάζονται τέλειες αρμονίες, μπορούν να διατυπωθούν αριθμητικά ως αναλογίες μεταξύ των αριθμών 1,2,3,4.
Για παράδειγμα, η αναλογία δύο προς ένα μας δίνει την ογδόη ή τη διαπασών συμφωνία, όπως την αποκαλούσαν. Συνεπώς, επιβεβαίωσε με ακρίβεια ότι υφίσταται μια αριθμητική οργάνωση μέσα στην ίδια τη φύση του ήχου και κάτι τέτοιο δεν είχε να κάνει μόνο με τη μουσική που ακουγόταν από κάποιο όργανο, αλλά με το ίδιο το Σύμπαν. Διότι η μουσική εξέφραζε ακριβώς την υφιστάμενη συμπαντική αρμονία και ήταν ένα μέσο προσέγγισης της μέσω του ίδιου του κάλλους της.Την αρμονία της τετρακτύος αναζήτησαν οι Πυθαγόρειοι και στον ουρανό, όπου διεπίστωσαν τις κανονικές κινήσεις των άστρων. Προκειμένου δε να δημιουργήσουν τη δεκάδα στο ηλιακό μας σύστημα, πρόσθεσαν και ένα δέκατο πλανήτη, την Αντιχθόνα, που δεν είναι ορατή από τη γη. Διακήρυτταν λοιπόν ότι η κίνηση των ουράνιων σωμάτων σίγουρα είχε σαν αποτέλεσμα να βγαίνει κάποιος ήχος, αφού κάτι τέτοιο συμβαίνει και με τα σώματα στη γη. Και αφού οι αποστάσεις μεταξύ τους είναι αναλογικές, επόμενο ήταν ότι θα παράγεται μουσική και αποκαλούσαν το φθόγγο των άστρων εναρμόνιο .Ο Πυθαγόρας συνήθιζε να λέει πως αφουγκράζεται τη μουσική των ουράνιων σφαιρών και τον ακολούθησαν και αρκετοί άλλοι μεταξύ των Πυθαγορείων. Η φιλοσοφία των Πυθαγορείων κινήθηκε σε ένα πολυδιάστατο επίπεδο. Χρησιμοποίησε τα μαθηματικά, τη μουσική, την αστρονομία, αλλά και την ιατρική, καθώς οι πηγές αναφέρουν ότι έδιναν ιδιαίτερη σημασία στη φυσική αγωγή και τη δίαιτα, προκειμένου να διατηρούνται υγιείς. Η εφαρμογή της φιλοσοφίας τους ήταν όντως ένας πλήρης τρόπος ζωής και ασκούσαν ουσιαστικά την ψυχή τους προκειμένου να ταυτιστεί με την αρμονία του κόσμου.


















Βασικές  αρχές  της πυθαγόρειας  φιλοσοφίας 

Ο Πυθαγόρας δημιούργησε ένα δικό του φιλοσοφικό σύστημα το οποίο έχει ομοιότητες και διαφορές από τα άλλα της εποχής του, το οποίο εξετάζει την εκπόρευση της Φύσεως, την εκπόρευση του Πνεύματος ως και την περαιτέρω εξέλιξη και πορεία του πνεύματος.

Το Δόγμα της Μετεμψύχωσης 

Ο Πυθαγόρας υπήρξε ηγέτης και εισηγητής ενός νέου τρόπου ζωής. Το συμπέρασμα αυτό εξάγεται με βεβαιότητα από τις διαθέσιμες μαρτυρίες. Αγνοούμε ωστόσο το ακριβές περιεχόμενο της θεωρητικής του διδασκαλίας. Αν κρίνουμε από τους μεταγενέστερους Πυθαγορείους, της κλασικής και της Ελληνιστικής εποχής, δύο είναι τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα της Πυθαγόρειας σχολής. Η πεποίθηση ότι οι αριθμοί είναι αρχές των όντων. Και το δόγμα της μετεμψύχωσης - η πίστη δηλαδή ότι η ψυχή είναι αθάνατη και ότι μπορεί να μεταβαίνει μετά τον θάνατο του σώματος σε άλλα ζωικά είδη.
Οι δύο αυτές αντιλήψεις συνυπήρχαν στην Πυθαγόρεια παράδοση, δεν θα πρέπει όμως να είχαν πάντοτε την ίδια βαρύτητα, όπως δείχνει η διαίρεση των Πυθαγορείων της κλασικής εποχής σε «μαθηματικούς» και σε «ακουσματικούς». Στους «μαθηματικούς» πρωτεύον ήταν το ενδιαφέρον για τη γεωμετρία, την αστρονομία και τη θεωρία της μουσικής, ενώ «ακουσματικοί» χαρακτηρίζονταν όσοι ήταν προσανατολισμένοι προς τον θρησκευτικό και μυστικιστικό πυρήνα του Πυθαγορισμού. Ποια όμως ήταν η συμβολή του ίδιου του Πυθαγόρα στη διαμόρφωση αυτών των ιδεών;Λένε ότι όταν κάποτε είδε να βασανίζουν ένα σκυλάκι, το συμπόνεσε και είπε: ''Σταμάτα, μην το χτυπάς, γιατί είναι η ψυχή κάποιου φίλου· την αναγνώρισα όταν άκουσα τη φωνή του''. Η ειρωνεία είναι έκδηλη στους στίχους αυτούς του Ξενοφάνη, όπου για πρώτη φορά στην αρχαία γραμματεία μνημονεύεται ο Πυθαγόρας. Για να γίνει όμως αντιληπτή η ειρωνεία στο κοινό του Ξενοφάνη, θα πρέπει να ήταν ήδη γνωστό ότι ο Πυθαγόρας πίστευε στη μετεμψύχωση. 
Η πεποίθηση ότι ο Πυθαγόρας κήρυσσε το δόγμα της μετεμψύχωσης, και μάλιστα ότι ήταν ο εισηγητής του στον Ελληνικό χώρο, είναι κοινός τόπος στους αρχαίους συγγραφείς. Ο Ηρόδοτος θεωρεί ότι αυτή η δοξασία έχει Αιγυπτιακή καταγωγή, αφού, κατά τα λεγόμενά του, οι Αιγύπτιοι είναι οι πρώτοι που υποστήριξαν ότι η ψυχή του ανθρώπου είναι αθάνατη και ότι συμπληρώνει έναν κύκλο διαδοχικών μετενσαρκώσεων σε άλλα ζωικά είδη, που διαρκεί 3.000 χρόνια, πριν επιστρέψει σε ένα νέο ανθρώπινο σώμα. 
Ο Πυθαγόρας, που είχε ιδιαίτερες σχέσεις με τους ανατολικούς πολιτισμούς, έφερε αυτή τη δοξασία στην Ελλάδα. Γύρω από τη μέριμνα για τη μεταθανάτια μοίρα της ανθρώπινης ψυχής οργανώθηκαν από τα τέλη του 6ου αιώνα ποικίλα θρησκευτικά κινήματα, σημαντικότερο από τα οποία αναδείχθηκε το κίνημα των Πυθαγορείων. Η ιδέα της μετεμψύχωσης είναι όντως νέα στην Ελλάδα, και το πιο λογικό είναι να υποθέσουμε ότι δεν την επινόησε ο Πυθαγόρας αλλά ότι την εισήγαγε από κάπου αλλού. Για τους αρχαίους Έλληνες η πηγή όλων των σεβαστών πνευματικών δανείων ήταν η Αίγυπτος. 
Στην Αιγυπτιακή ωστόσο θρησκεία δεν πιστοποιείται το δόγμα της μετεμψύχωσης. Κατά μία εκδοχή η δοξασία αυτή έφτασε στην Ελλάδα από τη Σκυθία διαμέσου των Ελληνικών αποικιών του Εύξεινου Πόντου. Ο Πυθαγόρας, κατά την εκδοχή αυτή, είναι κάτι αντίστοιχο με τους «Σαμάνες» της βορειοανατολικής Ευρώπης. Οι Σαμάνες είναι σεβάσμιες μορφές ανθρώπων οι οποίοι, μετά από σκληρή εξάσκηση και νηστεία, έχουν αποκτήσει Θεϊκές δυνάμεις και είναι σε θέση ακόμη και στη διάρκεια της ζωής τους να αποδεσμεύσουν τον Θεϊκό εαυτό τους από το σώμα τους. 
Κατά μία άλλη εκδοχή, οι Έλληνες γνώρισαν το δόγμα της μετεμψύχωσης από τους Ινδούς, με τους οποίους βρίσκονταν σε έμμεση επαφή από τους εμπορικούς δρόμους της Περσίας. Όπως και να έχουν τα πράγματα, το σημαντικό για μας δεν είναι η καταγωγή της πίστης στη μετεμψύχωση αλλά το γεγονός ότι ο Πυθαγόρας κατάφερε με επίκεντρο την πίστη αυτή να δημιουργήσει ένα νέο πνευματικό κίνημα στην Ελλάδα. Όποιος πιστεύει στη μετεμψύχωση θεωρεί ότι η ζωή συνεχίζεται και μετά τον θάνατο του σώματος. 
Βεβαίως η πίστη σε κάποια μορφή μεταθανάτιας ζωής αποτελεί κοινό κτήμα των ανθρώπων από πολύ παλιά, όπως μαρτυρούν τα ταφικά έθιμα πολλών γνωστών πολιτισμών. Στα Ομηρικά έπη μάλιστα έχουμε περιγραφές του Άδη, όπου οι ψυχές των νεκρών παρουσιάζονται ως σκιές ή φαντάσματα που έχουν αποδεσμευτεί από το σώμα τους. Το δόγμα της μετεμψύχωσης προϋποθέτει ακόμη τη μεταθανάτια τιμωρία ή ανταμοιβή: ο κύκλος των διαδοχικών μετενσαρκώσεων δεν μπορεί να είναι τυχαίος, αλλά θα πρέπει να εξαρτάται από τον τρόπο που έζησε κανείς τη ζωή του. 
Και η δοξασία αυτή θα πρέπει να προϋπήρχε στον Ελληνικό χώρο, αφού τα Ελευσίνια μυστήρια προετοίμαζαν τους πιστούς για μια καλύτερη ζωή στον Άδη ήδη από τον 7ο αιώνα π.Χ. Απέκτησε όμως πολύ μεγαλύτερη διάδοση κατά τον 5ο αιώνα, και είναι λογικό να υποθέσουμε ότι το Πυθαγόρειο ρεύμα έπαιξε κάποιο ρόλο σε αυτό. Ο πιστός ωστόσο που συμμετέχει στα Ελευσίνια μυστήρια ή σε παρόμοιες τελετές εκτελεί απλώς ένα θρησκευτικό καθήκον, χωρίς να εξαρτά τη σωτηρία του από μια ριζική αλλαγή της ζωής του. 
Για τον Πυθαγόρειο αντιθέτως η προσχώρηση σε έναν νέο ασκητικό τρόπο ζωής είναι ο μοναδικός δρόμος για να ξεκινήσει ευνοϊκά ο κύκλος των μετενσαρκώσεων της ψυχής του. Με την πρακτική του επιδιώκει την καταπόνηση του σώματος και τον εξαγνισμό της ψυχής του. Επομένως, η ανθρώπινη ψυχή θεωρείται κάτι το εντελώς διαφορετικό από το σώμα, είναι μια οντότητα αθάνατη και αυθύπαρκτη που μπορεί να ζήσει και μέσα σε διαφορετικά σώματα. Εδώ εντοπίζεται η θεωρητική επανάσταση του Πυθαγόρα.Για τον άνθρωπο της Αρχαϊκής εποχής η ψυχή και το σώμα αποτελούσαν ενότητα. Ακόμη και όταν με τη λυρική ποίηση διευρύνθηκε το φάσμα των ψυχικών διεργασιών και αναδείχθηκε η προσωπικότητα του ατόμου, η ψυχή εξακολουθούσε να βρίσκεται σε απόλυτη ισορροπία με το σώμα. Η διδασκαλία όμως του Πυθαγόρα διέρρηξε αυτή την ενότητα. Η ψυχή αυτονομείται, και η καλλιέργειά της γίνεται το πρωταρχικό καθήκον στις κοινότητες των Πυθαγορείων. 
Με τη σιωπή, τη νηστεία, το αυστηρό τελετουργικό, την ομαδική ζωή, τη μίμηση του «Θείου Ανδρός», με πρακτικές δηλαδή κατά βάση θρησκευτικές, οι μαθητές του Πυθαγόρα προσδοκούσαν τη σωτηρία της ψυχής τους. Και η Πυθαγόρεια φιλοσοφία; Αν η διδασκαλία του Πυθαγόρα περιορίζεται στην προετοιμασία της ψυχής για τις μεταθανάτιες μετενσαρκώσεις της, γιατί θεωρούμε τον Πυθαγόρα φιλόσοφο και δεν τον αντιμετωπίζουμε απλώς ως θρησκευτικό μεταρρυθμιστή; Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό θα πρέπει να εξετάσουμε την Πυθαγόρεια αντίληψη για τους αριθμούς.



Μυστικισμός και Μαθηματικά 
Στην εποχή του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη η θέση των Πυθαγορείων στην πνευματική σκηνή της Ελλάδας είναι πλήρως κατοχυρωμένη. Οι πιο σημαντικές επιτεύξεις στα μαθηματικά και την αστρονομία προέρχονται από τον κύκλο των Πυθαγορείων: το λεγόμενο Πυθαγόρειο θεώρημα, η ανακάλυψη των ασύμμετρων μεγεθών, η σφαιρικότητα του σύμπαντος, η κίνηση της Γης. Η θεωρία της μουσικής, προνομιακό πεδίο μελέτης των Πυθαγορείων, έχει αναδειχθεί σε αυτόνομο μαθηματικό κλάδο. 
Αλλά και στη φιλοσοφία όλοι αναγνωρίζουν την ιδιαιτερότητα της Πυθαγόρειας παράδοσης, χαρακτηριστικό γνώρισμα της οποίας είναι η πρωταρχική σημασία των αριθμών. Μιλώντας συλλογικά για τους «λεγόμενους Πυθαγορείους», ο Αριστοτέλης αναγνωρίζει τη συμβολή τους στη φιλοσοφική σκέψη και θεωρεί ότι «η συστηματική ενασχόλησή τους με τα μαθηματικά τούς οδήγησε στην πεποίθηση ότι οι αρχές των μαθηματικών είναι και αρχές όλων των όντων».
Βασικό στοιχείο της φιλοσοφίας των Πυθαγορείων είναι η σύλληψη όλου του σύμπαντος ως «αρμονίας και αριθμού», μια σύλληψη που, κατά τον Αριστοτέλη, προήλθε από την ανακάλυψή τους ότι «οι ιδιότητες και οι αναλογίες των μουσικών αρμονιών ανάγονται στους αριθμούς». Όσο για τον Πλάτωνα, κοινή είναι η πεποίθηση ότι είναι βαθύτατα επηρεασμένος από την Πυθαγόρεια κοσμοθεωρία: υιοθετεί την αθανασία της ψυχής και τη μετεμψύχωση, ταυτίζει τη μέθοδο της φιλοσοφίας με τη μέθοδο των μαθηματικών, προβάλλει τη γεωμετρική δομή του σύμπαντος και ιδρύει τη δική του σχολή (την πλατωνική Ακαδημία) στα πρότυπα της οργάνωσης των Πυθαγορείων.Εκατό χρόνια λοιπόν μετά τον Πυθαγόρα, η σχολή που αυτός ίδρυσε ως θρησκευτική αδελφότητα έχει στραφεί προς τη μαθηματική φιλοσοφία και έχει σημαντική συμβολή στην ανάπτυξη των βασικότερων κλάδων της Ελληνικής επιστήμης. Δεν έχουμε καμία ένδειξη ότι στην πορεία της εξέλιξής τους οι Πυθαγόρειες κοινότητες αποκαθήλωσαν την ιερή εικόνα του πνευματικού τους πατέρα ή ότι εγκατέλειψαν τα δόγματά του· εξακολουθούσαν να υπερασπίζονται τον ομαδικό τρόπο ζωής, φρόντιζαν για τον εξαγνισμό της ψυχής τους, διατηρούσαν τις πολιτικές τους βλέψεις. 
Πώς μπόρεσαν όμως οι Πυθαγόρειοι να συνδυάσουν δημιουργικά τη βαθιά θρησκευτικότητα με τη μαθηματική επιστήμη; Για τον σύγχρονο άνθρωπο αυτός ο συνδυασμός είναι αδιανόητος - η επιστήμη τοποθετείται στους αντίποδες της θρησκείας και του μυστικισμού. Αν παρακολουθήσουμε ωστόσο τη μακρά ιστορία της ανθρώπινης σκέψης, θα διαπιστώσουμε ότι αυτή η αντίληψη δεν είναι καθόλου αυτονόητη. Ειδικότερα τα μαθηματικά είχαν πάντοτε ιδιαίτερη αίγλη στους μυστικιστικούς κύκλους. 
Το οικοδόμημα της μαθηματικής σκέψης είναι προϊόν της μεγαλύτερης δυνατής αφαίρεσης. Το χαρακτηρίζει η αυστηρότητα, η εσωτερική συνέπεια, η πληρότητα, όλα εκείνα δηλαδή τα στοιχεία που απουσιάζουν από την καθημερινή ζωή των ανθρώπων. Αν σκεφτεί μάλιστα κανείς ότι τα μαθηματικά αναπτύχθηκαν αρκετά νωρίς στην Ελλάδα, καταλαβαίνει γιατί αποτέλεσαν το υπόδειγμα της τελειότητας σε έναν κόσμο που έμοιαζε ακόμη χαοτικός και ανεξερεύνητος. 
Όποιος αντιμετωπίζει με καχυποψία την καθημερινή ανθρώπινη εμπειρία και αναζητεί κάπου αλλού ένα σύμπαν σταθερότητας και αρμονίας (στην τελετουργική μέθεξη, στον εξαγνισμό της ψυχής του ή στις αμετάβλητες φιλοσοφικές έννοιες) είναι φυσικό να γοητεύεται από τη μαθηματική σκέψη. Μπορούμε να διακρίνουμε στο εσωτερικό της αρχαίας Ελληνικής φιλοσοφίας μια ισχυρή παράδοση που αξιοποιεί τη συγγένεια μαθηματικών και φιλοσοφίας. 
Η τάση αυτή ξεκινά από τον Αναξίμανδρο, περνά από τους Πυθαγορείους και τον Παρμενίδη και καταλήγει στον Πλάτωνα και τις ποικίλες μορφές του Πλατωνισμού. Τώρα ίσως αντιλαμβανόμαστε γιατί ο συνδυασμός μαθηματικής επιστήμης και μυστικισμού, που χαρακτηρίζει την Πυθαγόρεια φιλοσοφία, δεν είναι τόσο παράλογος.Οι Αριθμοί ως Αρχές των Όντων''Όλα τα πράγματα που γνωρίζουμε έχουν αριθμό· γιατί χωρίς τον αριθμό δεν είναι δυνατόν ούτε να σκεφτούμε ούτε να γνωρίσουμε τίποτε''.
Φιλόλαος, απόσπασμα 4''Η φύση συναρμόστηκε σε κοσμική τάξη από τα άπειρα και τα πεπερασμένα· και όλος ο κόσμος και όσα υπάρχουν μέσα σ' αυτόν''.
Φιλόλαος, απόσπασμα 1Τα παλαιότερα κείμενα που διαθέτουμε από την πυθαγόρεια παράδοση προέρχονται από τον Φιλόλαο, έναν σύγχρονο του Σωκράτη. Στα αποσπάσματα του Φιλόλαου τονίζεται η πρωταρχική σημασία του αριθμού, ο οποίος ανάγεται σε αρχή κατανόησης των πάντων. Αν τα υπάρχοντα πράγματα δεν είχαν αριθμητική δομή, δεν θα μπορούσαμε να τα γνωρίσουμε. Το ίδιο ισχύει και για όλο το σύμπαν, για την ίδια τη φύση. Το σύμπαν παράγεται από το πέρας και το άπειρο, τα οποία αποτελούν τα συστατικά στοιχεία των αριθμών. Η αρμονική τάξη της φύσης επιτρέπει την ουσιαστική της κατανόηση.Στα κείμενα αυτά διακρίνεται η συμφιλίωση της πυθαγόρειας φιλοσοφίας με τη φυσιοκρατική παράδοση των Ιώνων Προσωκρατικών. Έννοιες όπως «φύση», «κόσμος», «άπειρο» ανήκουν στο οπλοστάσιο της Προσωκρατικής σκέψης. Το νέο στοιχείο είναι η σύνδεση της κοσμικής τάξης με τους αριθμούς και τη μουσική αρμονία. Οι αριθμοί καθορίζουν τις συμφωνίες των τόνων που παράγουν το αρμονικό μουσικό αποτέλεσμα. Οι αριθμοί βρίσκονται πίσω από τις αρμονικές κινήσεις των ουρανίων σωμάτων, από τη δεδομένη τάξη του σύμπαντος. 
Άρα στην Πυθαγόρεια φιλοσοφία τα μαθηματικά, η μουσική και η αστρονομία συνδέονται στενά μεταξύ τους, αποτελούν «αδελφές επιστήμες», αφού σε όλες κυριαρχεί ο αριθμός (Πλάτων ''Πολιτεία''). Η μουσική θεωρία των Πυθαγορείων θεμελιώθηκε στην ανακάλυψη ότι βασικές μουσικές «αναλογίες», οι συμφωνίες δηλαδή των ήχων που παράγουν αρμονικό αποτέλεσμα, έχουν μορφή απλών αριθμητικών σχέσεων: 2/1 (η «οκτάβα»), 3/2 (η «πέμπτη»), 4/3 (η «τετάρτη»). Στις σχέσεις επομένως ανάμεσα στους τέσσερις πρώτους αριθμούς κρύβεται το μυστικό της μουσικής αρμονίας. 
Το άθροισμα των τεσσάρων αυτών αριθμών (1+2+3+4) δίνει τον αριθμό 10, τον οποίο οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τέλειο αριθμό - στο λεξιλόγιό τους ονομαζόταν και «τετρακτύς». Ο τέλειος αριθμός 10 εμφανίζεται και στην αστρονομία των Πυθαγορείων. Σύμφωνα με μια ιδιότυπη αστρονομική σύλληψη, που ανάγεται στον Φιλόλαο, η Γη δεν είναι ακίνητη αλλά περιφέρεται γύρω από το κεντρικό πυρ (την «ἑστία») που καταλαμβάνει το κέντρο του κλειστού σφαιρικού σύμπαντος. 
Γύρω από το κεντρικό πυρ κινούνται επίσης κυκλικά ο Ήλιος, οι υπόλοιποι γνωστοί πλανήτες και η σφαίρα των απλανών αστέρων. Έτσι όμως τα ουράνια σώματα ήταν εννέα - η Γη, ο Ήλιος, η Σελήνη, οι πέντε πλανήτες και οι απλανείς. Όπως λοιπόν μας εξηγεί ο Αριστοτέλης, οι Πυθαγόρειοι πρόσθεσαν άλλον έναν πλανήτη, έτσι ώστε ο αριθμός των ουρανίων σωμάτων να φτάσει στον τέλειο αριθμό 10 (Μετά τα φυσικά). Τον πρόσθετο πλανήτη τον ονόμασαν Ἀντίχθονα, δηλαδή αντι-Γη, γιατί βρίσκεται πάντοτε στους αντίποδες της Γης και δεν είναι ορατός από το κατοικημένο τμήμα της Γης.Το ευφάνταστο αυτό αστρονομικό μοντέλο δεν είχε πρακτική χρησιμότητα, αφού δεν μπορούσε να εξηγήσει τα γνωστά αστρονομικά φαινόμενα. Φαίνεται όμως ότι τον Φιλόλαο και τους Πυθαγορείους δεν τους απασχολούσε η επίλυση των αστρονομικών προβλημάτων και η πρακτική εφαρμογή. Αυτό που ήθελαν ήταν να δώσουν απλώς μια εικόνα της τάξης και της αρμονίας του ουρανού. Στη δική τους περιγραφή ο ουρανός παρουσίαζε στοιχεία τελειότητας: ήταν κλειστός, δηλαδή είχε όρια, είχε πέρας· είχε το τελειότερο σχήμα, το σφαιρικό· η κίνησή του ήταν η κυκλική.
Το κυριότερο όμως ήταν ότι ο ουρανός εμπεριείχε δέκα ουράνια σώματα, ενσωμάτωνε επομένως τις βασικές αριθμητικές αναλογίες, γινόταν «αρμονία και αριθμός». Από εδώ πρέπει να προέκυψε και η διαδεδομένη πεποίθηση ότι υπάρχει η «αρμονία των σφαιρών», μια ουράνια δηλαδή μουσική, την οποία μπορούν να ακούσουν μόνο οι μυημένοι στον ενδότερο κύκλο της πυθαγόρειας αδελφότητας. Είναι σίγουρο ότι ο ίδιος ο Πυθαγόρας δεν δίδαξε αυτές τις προωθημένες αντιλήψεις. Και μόνο το γεγονός ότι στην εποχή του Πυθαγόρα οι πλανήτες ήταν άγνωστοι στην Ελλάδα αρκεί για να μας πείσει. 
Είναι όμως εξίσου απίθανο να μην υπήρχε στην αυθεντική διδασκαλία του Πυθαγόρα τίποτε σχετικό με αυτές τις αντιλήψεις. Δεν μπορεί η θρησκευτική και μυστικιστική αδελφότητα των πρώτων Πυθαγορείων να μεταμορφώθηκε ξαφνικά και χωρίς αιτία σε κοινότητα μαθηματικών και αστρονόμων. Θα πρέπει να υπήρχε κάποιο ερέθισμα, κάποια αρχική ώθηση που έφερε αυτές τις εξελίξεις. Ένα ανέκδοτο για τον Πυθαγόρα, από μεταγενέστερη και όχι ιδιαίτερα αξιόπιστη πηγή (Ιάμβλιχος ''Περί του πυθαγορείου βίου''), ίσως μας δίνει το κλειδί της σωστής απάντησης. 
Λέγεται λοιπόν ότι κάποτε ο Πυθαγόρας περπατούσε έξω από ένα σιδεράδικο και άκουσε τους ήχους που έβγαιναν από τα χτυπήματα του σφυριού στο αμόνι. Κάποιοι ήχοι παρήγαγαν αρμονικούς συνδυασμούς, που του θύμιζαν γνωστά μουσικά μοτίβα, και κάποιοι όχι. Μπήκε στο σιδεράδικο και παρατήρησε ότι οι συνδυασμοί των ήχων είχαν σχέση με τα μήκη των ράβδων του σιδήρου που σφυρηλατούσε ο σιδεράς. Μάλιστα κατάλαβε ότι οι βασικές συμφωνίες των ήχων παράγονταν όταν τα σίδερα είχαν μήκη ανάλογα με τις απλές αριθμητικές σχέσεις 2/1, 3/2, 4/3. 
Έτσι έφτασε στην ανακάλυψη ότι η μουσική έχει άμεση σχέση με τους αριθμούς. Το ανέκδοτο αυτό δεν αποκλείεται να είναι κατασκευασμένο, μας δίνει όμως μια δυνατή εξήγηση για την ανάδειξη της σημασίας των αριθμών στην πυθαγόρεια φιλοσοφία. Ο Πυθαγόρας μπορεί όντως να έδωσε τη σωστή εξήγηση σε ένα εμπειρικό γεγονός με το οποίο όλοι οι οργανοπαίκτες της εποχής του ήταν εξοικειωμένοι.Το μήκος των χορδών της άρπας μειώνεται και αυξάνεται ανάλογα με το σημείο που θα τοποθετήσει ο μουσικός το χέρι του παίζοντας την κάθε συγχορδία. Η ανακάλυψη τώρα της σχέσης μουσικής και αριθμών είναι σημαντικό ερέθισμα για να σκεφτεί κανείς για τον γενικό ρόλο των αριθμών στον κόσμο. Από την οδό αυτή ένα πνεύμα επιρρεπές στην αφαίρεση αλλά και στον μυστικισμό μπορεί να φτάσει στη σύλληψη όλου του κόσμου ως «αρμονίας και αριθμού». 

Κοσμογονία 
Η κοσμογονία αναφέρεται στην εκπόρευση της Φύσεως εξ ενός Αυθύπαρκτου Αρχικού Αιτίου το οποίο για τους Πυθαγορείους είναι το Χάος και αυτό έγινε όταν υπήρξε μια Πρώτη Κίνηση στην ουσία του Χάους με αποτέλεσμα η ουσία του Χάους να αρχίσει γίνεται ουσία της Φύσεως και η ουσία της Φύσεως να ακολουθήσει μια ατελεύτητη εξελικτική πορεία. Αυθύπαρκτο Αρχικό Αίτιο (ΑΑΑ) είναι η αδημιούργητη αρχή από την οποία εκπορεύτηκε το Σύμπαν. Ο ορισμός ενός Αυθύπαρκτου Αρχικού Αιτίου ή Αδημιούργητης Αρχής αποτελεί μία αυθαιρεσία η οποία καθορίζεται ανάλογα με τα θρησκευτικά πιστεύω αυτού που την ορίζει. 
Ο ορισμός της αδημιούργητης αρχής θα πρέπει να είναι άποψη λογικοφανής και όχι αυθαίρετη (όπως συμβαίνει με τα θρησκευτικά δόγματα) ώστε να μπορεί να γίνει αποδεκτή από την επιστημονική κοινότητα. Το ΧΑΟΣ ως ΑΑΑ περιγράφεται αφαιρετικά και θεωρείται ότι είναι το Άμορφο Άπειρο, τοΑνεκδήλωτο Παν, η Άποιος κατάσταση του Σύμπαντος, το εν Δυνάμει Είναι της Φύσεως. Πριν προχωρήσουμε ας εξετάσουμε τις προαναφερθείσες εκφράσεις που περιγράφουν το Χάος. Έτσι: Άμορφο Άπειρο σημαίνει το χωρίς μορφική υπόσταση άπειρο. 
Ανεκδήλωτο Παν σημαίνει το Παν πριν οι ουσίες του εκδηλώσουν τους νόμους τους ώστε να συγκροτήσουν μορφικές υποστάσεις οι οποίες είναι κατανοητές από την ανθρώπινη διανόηση. Όποιος κατάσταση είναι εκείνη στην οποία δεν υπάρχει ποιοτική εκδήλωση των ουσιών του Χάους όπως π.χ. μεγαλύτερο - μικρότερο, θερμότερο - ψυχρότερο κλπ. Συνεπώς το ΧΑΟΣ θεωρείται ότι αποτελεί την «εν δυνάμει» κατάσταση των ουσιών της Φύσεως που σημαίνει ότι οι ουσίες της Φύσεως στο Χάος είχαν την δυνατότητα να εκδηλωθούν και να αποτελέσουν την Φύση εφόσον ενεργούσε επ’ αυτών μια «πρώτη κίνηση».
ΠΡΩΤΗ ΚΙΝΗΣΗ
Ήταν το αίτιο που προκάλεσε την έναρξη της ενεργοποιήσεως της ουσίας του Χάους ώστε από την «εν δυνάμει» κατάστασή της να αρχίσει η εκπόρευση της Φύσεως. Εδώ όμως τίθεται το ερώτημα πως προκλήθηκε αυτήν η πρώτη κίνηση; επ’ αυτού υπάρχουν δυο απόψεις: 
α) Η εκ του ΣΚΟΠΟΥ εξήγηση της πρώτης κινήσεως κατά την οποία η πρώτη κίνηση έγινε με σκοπό την δημιουργία της Φύσεως και η Φύση έγινε με σκοπό την εμφάνιση του πνεύματος. Η θεώρηση όμως της υπάρξεως σκοπού για την εκδήλωση αυτής της πρώτης κινήσεως προϋποθέτει βούληση και επομένως την προΰπαρξη κάποιου απολύτου εξωκοσμικού όντος το οποίο έκανε την πρώτη κίνηση.
β) Η εκ της ΤΑΣΕΩΣ ΠΡΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗ εξήγηση της πρώτης κινήσεως κατά την οποία η πρώτη κίνηση οφείλεται στην τάση προς μεταβολή της ενεργού ουσίας γιατί η τάση προς μεταβολή είναι μια γενική ιδιότητα τόσο της Ουσίας του Χάους όσο και της Φύσεως, η οποία (ιδιότητα) εκδηλώνεται αυθόρμητα χωρίς καμία έξωθεν επέμβαση από κάποιο απόλυτο ον και επομένως το αίτιο της εκπορεύσεως της Φύσεως είναι ενδογενές.
ΟΙ ΟΥΣΙΕΣ ΤΗΣ ΦΥΣΕΩΣ
Εκ του Χάους εκπορεύτηκαν δυο ουσίες που είναι: η Αόριστη Δυάδακαι η Μονάδα.α) ΑΟΡΙΣΤΗ ΔΥΑΔΑ είναι η Υλική Ουσία της Φύσεως ουσία η οποία κατά τους Πυθαγορείους είναι το άπειρο πλήθος των Ατόμων της ατομικής ουσίας τα οποία συγκροτούν όλες τις υλικές μορφές της φύσεως. Η ατομική ουσία είναι η ΜΗΤΕΡΑ των Κόσμων, το θήλυ της δημιουργίας και ο παθητικός παράγων των κόσμων γιατί υπόκειται στις ενεργητικές επιδράσεις της άλλης ουσίας προκειμένου να συγκροτηθούν οι μορφές.Τα Άτομα της ατομικής ουσίας δεν έχουν καμιά σχέση ως όρος με τα άτομα που περιγράφει η φυσική, γιατί τα μεν γνωστά από την φυσική άτομα δεν είναι άτμητα αλλά συγκροτούνται από ταστοιχειώδη σωματίδια, ενώ τα Άτομα της μεριστής ουσίας είναι άτμητα και προφανώς αποτελούν την εσωτερική δομή των στοιχειωδών σωματιδίωνβ) ΜΟΝΑΔΑ είναι η συνεχής ουσία η οποία με το Είναι της αποτελεί τον ουσιαστικό χώρο μέσα στον οποίο κινούνται και ενεργούν τα Άτομα της ατομικής ουσίας και συνεπώς είναι το άπειρο περιέχον του Σύμπαντος εντός του οποίου τα πάντα γίνονται. Η συνεχής ουσία είναι η πάντα συνεχής προς τον εαυτό της και το γεγονός αυτό δίνει την έννοια του χώρου, γιατί δεν είναι δυνατόν να νοηθεί χώρος χωρίς να έχει συνέχεια. 
Η συνεχής ουσία είναι ο Λόγος και ΠΑΤΕΡΑΣ των Κόσμων, είναι το άρρεν της δημιουργίας και ο ενεργητικός παράγων των κόσμων, γιατί με τη δράση του επί της άλλης ουσίας της ατομικής προκαλεί την συγκρότηση των μορφών αλλά και την αποσύνθεση αυτών και συνεπώς αποτελεί το Λόγο της υπάρξεως των μορφών. Την συνεχή ουσία οι ΟΡΦΙΚΟΙ την αποκαλούσαν ΑΙΘΕΡΑ, ο Ησίοδος την αποκαλούσε ΕΡΩΤΑ για να καταδείξει την γο­νιμοποιό του ικανότητα, ο Ηρά­κλειτος και οι Στωικοί ΛΟΓΟ με την έννοια του αιτίου για να καταδείξουν ότι είναι το αίτιο της συνθέσεως και αποσυνθέσεως των μορφών του απείρου (Συνθετικός και Αποσυνθετικός Λόγος).
Συνεπώς ΜΟΝΑΔΑ ή ΣΥΝΕΧΗΣ ΟΥΣΙΑ είναι ο πανταχού παρών και τα πάντα πληρών, ο Λόγος της δημιουργίας και υπάρξεως των μορφών του απείρου, η Ανάγκη η οποία περικυκλώνει τον Κόσμο (κατά τον Πυθαγόρα), την οποία ούτε οι Θεοί αντιμάχονται (κατά τον Πιττακό), καθώς όλα κατ' ανάγκη γίνονται (κατά τον Δημόκριτο). Είναι, τέλος, το παγκόσμιο Πυρ από το οποίο όλη η Φύση αναγεννιέται.
Πνευματογονία 
Πνευματογονία, είναι η γένεση του πνεύματος. Η λέξη πνεύμα έχει πάρα πολλές έννοιες εμείς όμως θα σταθούμε στην έννοια της γενέσεως και εκδηλώσεως της νοητικής Φύσεως. Κατά τον Νάγο «Το όλον της Φύσεως στον σπουδάζοντα αυτή εμφανίζει δυο μεγάλες και διακεκριμένες μεταξύ τους κατηγορίες: την Νοητική Φύση και την Μη Νοητική Φύση. Η Νοητική Φύσις γίνεται από την Μη Νοητική κατόπιν εκδηλώσεως νόμων οι οποίοι υπήρχαν σ’ αυτήν σε δυναμική όμως κατάσταση».Διευκρινίζεται ότι Νοητική Φύση είναι οι ψυχικές ατομικότατες που υπάρχουν στην Φύση, ενώ Μη Νοητική Φύση είναι το σύνολο της υλικής ουσίας η οποία απλώς μετέχει στην συγκρότηση των μορφών της Φύσεως. Εκείνο όμως που, από την προαναφερθείσα διατύπωση, αποτελεί πρωτοποριακή για τα κοινωνικά και θρησκευτικά καθιερωμένα ιδέα είναι, ότι 
α) Η Νοητική Φύση προέρχεται από την Μη Νοητική Φύση, που σημαίνει ότι είναι προϊόν εξελίξεως της υλικής ουσίας και 
β) Ότι η εξέλιξη αυτή της υλικής ουσίας είναι αποτέλεσμα της εκδηλώσεως νόμων, οι οποίοι υπάρχουν στην υλική ουσία σε λανθάνουσα κατάσταση. Συνεπώς κανένα εξωτερικό αίτιο δεν παρεμβαίνει σε αυτές τις διεργασίες της γενέσεως του πνεύματος και τα πάντα είναι εκδήλωση φυσικών νόμων.
Η ΨΥΧΗ
Στην συνέχεια θα εξεταστεί το θέμα της ψυχής, για το οποίο έχουν διατυπωθεί πολλές απόψεις και μάλιστα συγκρουόμενες μεταξύ τους όμως εδώ θα αναφερθούμε μόνον στην άποψη των Πυθαγορείων η οποία, κατά την γνώμη μας, είναι η περισσότερο τεκμηριωμένη και σύννομη με την λογική. Η ΛΕΞΗ ΨΥΧΗ, σύμφωνα με τα λεξικά, σημαίνει: πνοή, αναπνοή, ζωτική δύναμη, πνεύμα κλπ. Οι ορισμοί αυτοί όμως δεν επαρκούν για να κατανοήσουμε τι είναι ψυχή, πως συγκροτή­θηκε η ψυχή, ποιο είναι το περιεχόμενο της κλπ.Κατά τους Πυθαγορείους η ψυχή είναι ένα άτομο της ατομικής ουσίας στο οποίο έχει εισδύσει εντός του η Συνεχής Ουσία με αποτέλεσμα να έχει συνέχεια με το Άπειρο. Εκείνο που πρέπει να προσέξουμε είναι ότι το άτομο της ατομικής ουσίας που γίνεται ψυχικό άτομο είναι άτομο το οποίο έφθασε στο ανώτερο εξελικτικό του επίπεδο γι αυτό είναι ενδιαφέρον να δούμε ποία είναι αυτά τα εξελικτικά επίπεδα. Τα άτομα της ατομικής ουσίας με την συμμετοχή της συνεχούς ουσίας σχηματίζουν όλες τις μορφές του Απείρου. 
Οι λειτουργίες των μορφών αυτών είναι τέτοιες ώστε να συντελούν στην εξέλιξη, δηλαδή στον πολλαπλασιασμό των ενεργειών των ουσιών που τις συγκροτούν. Η χωρίς διακοπή εκδήλωση δυνάμεων εκ των ουσιών προκαλεί την εκδήλωση μορφών με τελειότερη σύνθεση. Κατ’ αυτόν τον τρόπο τα άτομα της ατομικής ουσίας εξελίσσονται διερχόμενα δια τεσσάρων καταστάσεων ή «ριζωμάτων», όπως τα χαρακτήριζε ο Εμπεδοκλής. Οι καταστάσεις αυτές έχουν μεν τις ονομασίες στερεά, υγρά, αέρια και πυρώδης. 
Ο χαρακτηρισμός των τεσσάρων ριζωμάτων με αυτές τις ονομασίες είναι συμβολικός και οι ονομασίες αφορούν τέσσερα εξελικτικά στάδια των ατόμων της ατομικής ουσίας. Σε κάθε μία αυτών των καταστάσεων τα Άτομα της Ατομικής ουσίας επέτυχαν ορισμένη εξέλιξη που σημαίνει την εκδήλωση ορισμένων δυνάμεων και κατόπιν αυτού με την αλληλεπίδραση τους με την Συνεχή Ουσία μετατρέπονται σε άλλη κατάσταση την πέμπτη κατάσταση, ευρισκομένη πέραν των γνωστών σε μας τεσσάρων εξελικτικών καταστάσεων του φυσικού Κόσμου.Η μετατροπή στην πέμπτη κατάσταση γίνεται ως εξής: Η Συνεχής ουσία επιδρά στα Άτομα της Ατομικής ουσίας που βρίσκονται στην τετάρτη κατάσταση και εξ αυτής της επιδράσεως μετατρέπονται αυτά σε μία νέα κατάσταση (η οποία είναι ενδιάμεση μεταξύ τετάρτης και πέμπτης) στην οποία τα άτομα αυτά δεν μετέχουν πλέον σε συγκρότηση μορφών, αλλά είναι ανεξάρτητα. Στην νέα κατάσταση των ατόμων της ατομικής ουσίας η Κίνηση (νόμος της κινήσεως) εμφανίζεται ως συστολή τους και η Ζωή (νόμος της ζωής) ως διαστολή τους. 
Επειδή όμως η συστολή και η διαστολή δεν βρίσκονται σε ισοδυναμία, λόγω της αυξήσεως της δυναμικής τους ενέργειας πέραν αυτής που απόκτησαν στην τετάρτη κατάσταση, τα άτομα αυτά βρίσκονται σε αστάθεια. Τότε η Συνεχής ουσία εισέρχεται εντός αυτών των ατόμων και κα­τα­λαμβάνει θέση μεταξύ του κέντρου και της πε­ριφέ­ρειάς τους, κα­τορθώνοντας να φέρει την συστολή και την διαστολή των ατόμων σε ισοδύναμη κατάσταση και έτσι δημιουρ­γούνται άτομα πέμπτης καταστάσεως τα οποία είναι πλέον ΨΥΧΙΚΑ ΑΤΟΜΑ ή άλλως οι ΨΥΧΙΚΕΣ και συνεπώς είναι το τρίτο αυτό είδος ουσίας που αναφέρει ο Πλάτωνας στον Τίμαιο. 
Στις προηγούμενες καταστάσεις τα Άτομα της Ατομικής ουσίας δεν είχαν συνέχεια προς το Άπειρο, βρίσκονταν μόνον εντός της συνεχούς ουσίας, ενώ στην πέμπτη κατάσταση έχουν συνέχεια προς το Άπειρο, λόγω της Συνεχούς ουσίας που έχουν εντός τους. 

Η Αποθέωση
Κατά τους Πυθαγορείους η ψυχική ατομικότητα από της συγκροτήσεώς της εξελίσσεται αενάως. Θα περάσει αρχικά από τέσσερα εξελικτικά επίπεδα: το επίπεδο των ερπετών, το επίπεδο των ιχθύων, το επίπεδο των πτηνών και τέλος το επίπεδο των θηλαστικών. Εκ του επιπέδου των θηλαστικών θα έλθει στο ανθρώπινο επίπεδο όταν αποκτήσει την λογική νόηση το οποίο είναι εξελικτικό άλμα στην εξελικτική πορεία της φύσεως. Εις το ανθρώπινο επίπεδο η ψυχή θα περάσει τέσσερα εξελικτικά στάδια ώστε να επιτύχει την άνοδό του σε Θειότερους κόσμους δηλαδή την αποθέωσή της. 
Η αποθέωση είναι ο τελικός στόχος του εξελιγμένου ανθρωπίνου πνεύματος που έχει αποκτήσει πνευματικό οργανισμό ο οποίος δεν υπόκειται στην διαδικασία της φθοράς και απο­σύν­θεσης του υλικού οργανισμού. Με την αποθέωσή του ο άνθρωπος γίνεται Θεός με την έννοια που δίδουν οι Έλληνες και όχι οι οπαδοί των βιβλικών θρησκειών και κατακτά την Αιώνια Ζωή δηλαδή ζωή η οποία να μην διέρχεται δια της διαδικασίας του θανάτου. Στο σημείο αυτό είναι ενδιαφέρον να δούμε τι είναι Θεοί γιατί στο θέμα αυτό υπάρχει μεγάλη παραπληροφόρηση. 
Κατά την Ελληνική παράδοση οι Θεοί είναι αποτέλεσμα εξέλιξης του ανθρωπίνου πνεύματος και τα λειτουργήσαντα μυστήρια απέβλεπαν στο να δείξουν στους μύστες τους την οδό προς την αποθέωση. Όπως ο άνθρωπος με την διάνοια και τις δυνατότητες που του εξασφαλίζει η οργανική του φύση γίνεται κύριος και ρυθμιστής των φυσικών δυνάμεων του περιβάλλοντός του και επομένως κυρίαρχος αυτών, έτσι και οι Θεοί είναι κύριοι νόμων και δυνάμεων των φυσικών και προπαντός των πνευματικών κόσμων και όχι μόνο σύμβολα των μεγάλων εικόνων της Φύσεως. 
Συνεπώς οι Θεοί (πνεύματα) είναι συνειδήσεις οι οποίες επιτέλεσαν τον αναμορφω­τικό εκείνο κύκλο από τον οποίο μπόρεσαν να αντλήσουν αιώνιο οργανικό μέσο και έτσι κυριάρχησαν ως συνειδήσεις του Απείρου που έχουν θεία Θέληση. Όλες οι συνειδήσεις της Φύσεως είναι προι­κισμένες να προαχθούν στις σφαίρες της καθαρής γνώ­σεως και να καταστούν Θείες Συνειδήσεις με ατελεύτητη εξέλιξη στον άπειρο χρόνο. Η σχέση του Θεού πνεύματος προς τα κατόπιν αυτού ερχόμενα νοητικά όντα διέπεται υπό ενός αρμονικού νόμου, του Νόμου της Αγάπης.
Συνεπώς ο άνθρωπος οφείλει προς τους Θεούς πνεύματα μόνον αγάπη και επειδή διέπεται από τον αυτόν αρμονικό νόμο με τους άλλους ανθρώπους, οφείλει την ίδια αγάπη να εκδηλώνει και προς τους συ­ναν­θρώπους του. Οσονδήποτε και αν θεωρηθεί εξελιγμένη η νοητική προσωπι­κότητα (ακόμα και αν έχει διανόηση πολύ υπέρτερη της ανθρώπινης) οι ακτίνες ενέργειας της δια­νοήσεώς της δεν είναι δυνατόν να διέρχονται το άπειρον και να εκτείνονται εις αυτό άνευ ορίου.
Οι ακτίνες της διανοήσεως των Θεών (που είναι νοητικές προσωπικότητες), ενεργούν επί ορισμένου κόσμου και έχουν σχέσεις μόνον προς αυτόν, συνεπώς δεν έχουν καμία ταύτιση με το Αίτιο Εκπορεύσεως της φύσεως δηλαδή με τον Δημιουργό όπως επικράτησε να λέγεται.
Η Πυθαγόρεια  φιλοσοφία  για  τη μουσική και τα μαθηματικά
Αριθμητική και Γεωμετρία 
Για τον Πυθαγόρα η μουσική και τα μαθηματικά γίνεται άσκηση με σκοπό την υπέρβαση των σωματικών περιορισμών και την κάθαρση της ψυχής, για να μπορέσει η τελευταία να απελευθερωθεί από τον κύκλο της μετενσάρκωσης για να φτάσει τελικά στη θεότητα από την οποία προέρχεται. Όπως στον άνθρωπο υπάρχουν η ψυχή και το σώμα, έτσι και στον κόσμο δύο αρχές βρίσκονται σε αντίθεση, το όριο (το πέρας) και το άπειρο. Στην περίπτωση αυτή η σύγκρουση είναι φαινομενική, γιατί στην πραγματικότητα το πέρας είναι αυτό που διοικεί και οργανώνει τον κόσμο. 
H ύψιστη έκφραση του πέρατος είναι ο αριθμός, ο οποίος αποτελεί κλειδί για την κατανόηση της τάξης που βάζει το πέρας στον κόσμο. Η θεωρία των αριθμών είναι το πιο χαρακτηριστικό στοιχείο του Πυθαγορισμού. Τα αντικείμενα «είναι» αριθμοί ή «ομοιάζουν» με αριθμούς. Ο Πυθαγόρας «συνέλαβε» τους αριθμούς κατά την προσπάθειά του να βρει μια πρωταρχική, άυλη, αναλλοίωτη αρχή των όντων. Οι αριθμοί είναι αυτοί λοιπόν που αποτελούν την πρώτη αρχή, την προσδιοριστική δύναμη του κόσμου και στη σχέση ανάμεσά τους βρίσκεται η ουσία των όντων. 
Για το λόγω του ότι είναι αυτή η ίδια η ουσία του κόσμου και όχι απλώς σύμβολα ποσοτικών σχέσεων, οι αριθμοί θεωρούνται «ιεροί». Ακόμη και οι αφηρημένες έννοιες στον Πυθαγορισμό συνδέονται με τους αριθμούς. Π.χ. η δικαιοσύνη συνδέεται με τον αριθμό 4 δηλαδή με τον πρώτο τετραγωνικό αριθμό και ο γάμος με τον αριθμό 5. Ο άνθρωπος παριστάνεται με τον αριθμό 250 κ.λ.π. Οι ψυχολογικοί συνειρμοί που λειτούργησαν εδώ δεν έχουν αποσαφηνιστεί. 
Κοσμική Αρμονία: στον Πυθαγορισμό κοσμική σημασία έχει η «ιερή δεκάδα»: η μυστική της ονομασία, τετρακτύς της δεκάδας, συνεπάγεται ότι 1+2+3+4=10, αλλά μπορεί να νοηθεί και ως το «τέλειο τρίγωνο». Όπως είπαμε η ουσία των όντων σύμφωνα με τον Πυθαγόρα είναι οι αριθμοί. Επιπλέον πίστευε ότι το σύμπαν προήλθε από το χάος και απέκτησε μορφή με το μέτρο και την αρμονία, γι' αυτό και πρώτος το ονόμασε «Κόσμο», δηλαδή τάξη και αρμονία. Αρμονία όμως για το σώμα είναι η ψυχή, η οποία διατηρεί κάποια συμμετρία ανάμεσα στο υλικό και το πνευματικό στοιχείο του ανθρώπου. 
Η ψυχή έχει τις ιδιότητες της ταυτότητας, της ετερότητας, της στάσης και της κίνησης. Αυτή είναι η «τετρακτύς» για την ψυχή. Αυτές οι φιλοσοφικές του αντιλήψεις επηρέασαν τον Πλάτωνα, ο οποίος αργότερα θεωρεί ότι η αρμονία της μουσικής καθρεφτίζει την αρμονία της ψυχής. Σύμφωνα με τον Πυθαγόρα το σύμπαν βρίσκεται σε διάταξη αρμονίας και η θεωρία του, η θέασή του, είναι αυτή που φέρνει την κάθαρση. Αυτό οδήγησε στη θεωρία του Πυθαγόρα για την «Αρμονία των σφαιρών». Το σύνολο των ήχων, δηλαδή, που παράγονται από την περιστροφή των πλανητών, ανάλογα πάντα με την απόστασή τους από τη γη, και οι οποίοι, όμως, δεν ακούγονται.Στην αριθμητική η συμβολή του Πυθαγόρα δεν ήταν τόσο σημαντική όσο η συμβολή του στην επιστήμη της Γεωμετρίας. Παρόλα αυτά ο Πυθαγόρας είναι αυτός που δημιούργησε τον Πυθαγόρειο Πίνακα ή Άβακα, τον πασίγνωστο σε όλους μας πίνακα πολλαπλασιασμού ή αλλιώς προπαίδεια. Είναι δηλαδή ο πίνακας που δίνει τα γινόμενα των δέκα πρώτων ακέραιων αριθμών. Στη Γεωμετρία η συμβολή του είναι αξιοσημείωτη αφού είναι αυτός που ανακάλυψε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών. 
Αυτή η θεωρία του σήμερα ονομάζεται στην επιστήμη της γεωμετρίας «Πυθαγόρειο Θεώρημα». Σήμερα σκεφτόμαστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα ως αλγεβρική σχέση a2 + b2 = c2 , από την οποία το μήκος μιας πλευράς ενός ορθογωνίου τριγώνου μπορεί να βρεθεί, λαμβάνοντας υπόψη τα μήκη των άλλων δύο πλευρών. Αλλά ο Πυθαγόρας δεν την αντιλήφθηκε έτσι. Γι’ αυτόν ήταν μια γεωμετρική δήλωση για τα εμβαδά. Και μόνο με την ανάπτυξη της σύγχρονης άλγεβρας, περίπου το 16ο αιώνα, το Θεώρημα εξοικειώθηκε στην αλγεβρική του μορφή.Είναι σημαντικό να αντέξει αυτό στο μυαλό, εάν πρόκειται να επισημάνουμε την εξέλιξη του Θεωρήματος κατά τη διάρκεια των 2.500 ετών από τότε που ο Πυθαγόρας υποθετικά το απέδειξε πρώτος και το έκανε αθάνατο. Και δεν ήταν ούτε καν ο πρώτος που ανακάλυψε το Θεώρημα. Ήταν γνωστό στους Βαβυλώνιους και ενδεχομένως στους Κινέζους, τουλάχιστον χίλια έτη πριν από αυτόν.
Μουσική διάστημα  Η σχέση μεταξύ δύο αριθμών, αυτό δηλαδή που ονομάζεται σήμερα στην αριθμητική και στη γεωμετρία λόγος, στη μαθηματική θεωρία της Μουσικής του Πυθαγόρα ονομάζεται «Διάστημα».
Θεωρία της Μουσικής Στη θεωρία της Μουσικής μάλιστα η λέξη διάστημα είχε διπλή σημασία. Διότι αφενός μεν ονομαζόταν διάστημα η αριθμητική σχέση με την οποία εκφραζόταν ο λόγος του μουσικού διαστήματος, αφετέρου δε αυτή η λέξη ήταν σύμφωνη με την καθημερινή έννοιά της και το «τμήμα ευθείας», δηλαδή την απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Το μουσικό διάστημα, που εκφραζόταν ως «σχέση δύο αριθμών προς αλλήλους» στη θεωρία της Μουσικής του Πυθαγόρα ονομαζόταν αρχικά διάστημα = απόσταση δυο σημείων απ' αλλήλων. Το «διάστημα» αυτό είχε πράγματι δύο συνοριακά σημεία (πέρατα, όρους), τα οποία δινόντουσαν ως αριθμοί.Πιο συγκεκριμένα ο Πυθαγόρας ήταν αυτός που πρώτος έθεσε τις βάσεις της επιστήμης της Μουσικής με μια επιστημονικά θεμελιωμένη θεωρία της Μουσικής. Ανακάλυψε τη σχέση ανάμεσα στο μήκος των χορδών και το τονικό ύψος που δίνουν. Για να το πετύχει αυτό χρησιμοποίησε ένα έγχορδο όργανο, που το δημιούργησε ο ίδιος, το «Μονόχορδο». Με άλλα λόγια οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν μια σχέση απόλυτα σταθερή ανάμεσα στο μήκος των χορδών της λύρας και των βασικών συγχορδιών (1/2 για την όγδοη, 3/2 για την πέμπτη και 4/3 για την τέταρτη). 
H θαυμαστή ιδιότητα αυτών των αρμονικών σχέσεων έγκειτο στο ότι περιλάμβαναν τους τέσσερις πρώτους φυσικούς αριθμούς (1, 2, 3, 4), το άθροισμα των οποίων ισούται με το 10, τον ιερό αριθμό των Δελφών (Τετρακτύς). Σε αυτή την αντίληψη για τις ιδιότητες των αριθμών, οι οποίοι εκφράζουν επιστημονικούς όρους της πραγματικότητας και αναπαριστούν συμβολικά τη θεία τάξη, έχει τις ρίζες της όλη η ανάπτυξη των πυθαγόρειων μαθηματικών, τα οποία ήταν ταυτόχρονα και επιστήμη και αριθμητικός μυστικισμός. 
Όταν είχαν σχέση με το δεύτερο, οι αριθμοί άρχισαν να εκλαμβάνονται ως σύμβολα της ζωής, των αρετών και των αξιών – π.χ., το 4, δηλαδή το δύο στο τετράγωνο, ήταν το σύμβολο της δικαιοσύνης (πυθαγόρεια αριθμολογία). Είναι φανερό ότι ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που εισήγαγε στην Ελλάδα αυτές τις αντιλήψεις. Τα ιδιαίτερα διαφέροντα του Πυθαγόρα ήταν πρώτα και κύρια τα μαθηματικά. Μπορούμε να θεωρήσουμε βέβαιο πως αυτό δεν σημαίνει απλώς ότι έτρεφε δεισιδαιμονίες περί τους αριθμούς, αλλά ότι έκαμε πραγματικές και σημαντικές προόδους στα μαθηματικά. Οι ανακαλύψεις που έκανε ήταν ολοκληρωτικά και εκπληκτικά καινούριες.H πιο εκπληκτική του ανακάλυψη, και αυτή που λένε ότι άσκησε την ευρύτερη επίδραση πάνω στη σκέψη του και ότι υπήρξε το θεμέλιο της μαθηματικής του φιλοσοφίας, αφορούσε το πεδίο της μουσικής. Ανακάλυψε ότι αυτά τα διαστήματα της μουσικής κλίμακας που ακόμη και τώρα ονομάζονται τέλειες αρμονίες μπορούν να διατυπωθούν αριθμητικά ως αναλογίες μεταξύ των αριθμών 1,2,3 και 4. Οι αριθμοί αυτοί προστιθέμενοι μας δίνουν το 10, αριθμό που, σύμφωνα με τον περίεργο πυθαγόρειο συνδυασμό μαθηματικών και μυστικισμού, ονομαζόταν τέλειος αριθμός.

Γραφικά παριστανόταν με το σχήμα το καλούμενο "τετρακτύς", δηλαδή: Η Τετρακτύς αποτελούσε την ουσία της διδασκαλίας των Πυθαγορείων. Είναι το άθροισμα των πρώτων τεσσάρων φυσικών αριθμών (1+2+3+4=10) που συνδέονται μεταξύ τους με διάφορες σχέσεις. Από αυτούς τους τέσσερις αριθμούς, είναι δυνατόν να κατασκευασθούν οι αναλογίες της τέταρτης, της πέμπτης και της ογδόης αρμονικής. Οι αναλογίες αυτές δημιουργούν την Αρμονία που για τους Πυθαγόρειους είχε σημασία κυριολεκτικά κοσμική. Οι Πυθαγόρειοι χρησιμοποιούσαν την Τετρακτύν για να ορκισθούν, επικαλούμενοι τον Πυθαγόρα σαν κάποιο Θεό.H αναλογία 2:1 μας δίνει την ογδόη, η αναλογία 3:2 την πέμπτη και η αναλογία 4:3 την τετάρτη. Αν τώρα κάποιος δεν γνώριζε αυτό το πράγμα, δεν ήταν κάτι που θα το αντιμετώπιζε καθώς θα έπαιζε τη λύρα και θα κτυπούσε τις χορδές με μια κάποια πιθανότητα να κάμει και σφάλματα . H ανακάλυψη ήταν ότι υφίσταται μια σύμφυτη τάξη, μια αριθμητική οργάνωση μέσα στην ίδια τη φύση του ήχου, και η ανακάλυψη παρουσιαζόταν σαν αποκάλυψη σχετική με τη φύση του Σύμπαντος.Χάρη στην ανακάλυψη του Πυθαγόρα, η μουσική παρουσίαζε στους οπαδούς του το καλύτερο παράδειγμα της πρακτικής εφαρμογής αυτής της αρχής. Την ορθότητα της αρχής τόνιζε η ομορφιά της μουσικής, προς την οποία ο Πυθαγόρας -όπως και οι περισσότεροι Έλληνες- ήταν ευαίσθητος, γιατί η λέξη "κόσμος" σήμαινε για τον Έλληνα και την ομορφιά και την τάξη. Το πέρας ταυτιζόταν με την ομορφιά, και άλλη μια απόδειξη αυτής της αρχής ήταν το ότι, αν την εφαρμόζαμε στο πεδίο των ήχων, από τη δυσαρμονία γεννιόταν η ομορφιά. 
Επομένως το όλο πεδίο του ήχου, που εκτεινόταν απεριόριστα και προς τις δύο αντίθετες κατευθύνσεις, υψηλά ή χαμηλά, αποτελούσε παράδειγμα του απείρου. Το πέρας αντιπροσωπεύεται από το αριθμητικό σύστημα των αναλογιών ανάμεσα στις αρμονικές νότες, σύστημα που επιβάλει την τάξη στο σύνολο. Το σύστημα αυτό οριοθετείται με βάση ένα κατανοητό σχέδιο. Το σχέδιο αυτό δεν το επινόησε ο άνθρωπος, αλλά υπήρχε ανέκαθεν και περίμενε τον άνθρωπο να το ανακαλύψει. Αυτή η διαδικασία, που την συναντούμε εδώ σε ένα μοναδικό, εκπληκτικό παράδειγμα, οι Πυθαγόρειοι πίστευαν πως αποτελούσε την κύρια αρχή που λειτουργεί μέσα στο Σύμπαν ως σύνολο.Δεν είναι λοιπόν απορίας άξιο (αν συλλογιστούμε ότι η φιλοσοφία τότε βρισκόταν στο αρχικό της στάδιο και απουσίαζε κάθε συστηματική μελέτη της λογικής, ακόμα και της γραμματικής) το γεγονός ότι οι Πυθαγόρειοι εξέφρασαν την καινοφανή τους πεποίθηση με τη φράση ότι "τα όντα είναι οι αριθμοί". Έτσι, αυτή η φράση μας δίνει την κύρια γραμμή της σκέψης τους. Μαθηματικά και μουσική. Τα μαθηματικά και η μουσική είναι δυο επιστήμες που έχουν πολύ μεγάλη σχέση μεταξύ τους. Από την αρχαιότητα ακόμη οι δύο τέχνες αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και η αλληλεπίδραση αυτή φτάνει ως τις μέρες μας...Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο. 
Όπως φαίνεται από το όνομά του, το μονόχορδο ήταν ένα όργανο με μία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται.που από αρκετούς μελετητές τοποθετείται στην οικογένεια του λαούτου δηλαδή με βραχίονα, χέρι. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομάζονταν και "Πυθαγόρειος κανών" γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα. 
Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί εργάσθηκαν για τον υπολογισμό των μουσικών διαστημάτων πάνω στον κανόνα, όπως ο Αρχύτας (εργάσθηκε στις αναλογίες των διαστημάτων του τετραχόρδου στα τρία γένη, διατονικό, χρωματικό και εναρμόνιο και ανακάλυψε το λόγο της μεγάλης τρίτης στο εναρμόνιο γένος), ο Ερατοσθένης ο Δίδυμος (σ΄ αυτόν αποδίδεται ο καθορισμός του "κόμματος του Διδύμου", που είναι η διαφορά μεταξύ του μείζονος τόνου (9/8) και του ελάσσονος (10/9 δηλαδή 81/80).Όμως, πώς ακριβώς πειραματίστηκαν οι Πυθαγόρειοι στο μονόχορδο,. για την ανάδειξη των σχέσεων μαθηματικών και μουσικής; Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο μονόχορδο. Για παράδειγμα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη μέση τη χορδή, και όχι περίπου στη μέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα που απορρέει από έναν αρμονικό ήχο. Αν μειώσουμε λοιπόν το μήκος μιας χορδής ακριβώς στο μισό, τότε ο ήχος που παράγεται είναι ακριβώς μία οκτάβα υψηλότερος (μία οκτάβα είναι ένα ντο, ρε, μι, φα, σολ, λα, σι, ντο) - μας δίνει, δηλαδή, ένα ντο πιο πάνω. 
Αν μειώσουμε το μήκος της χορδής κατά 1/3, τότε τα 2/3 της χορδής που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της πέμπτης (δηλαδή από το ντο στο λα). Κι αν μειώσουμε το μήκος κατά 1/4, τότε τα 3/4 που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της τετάρτης (από το ντο στο σολ). Ήταν ξεκάθαρο, λοιπόν, σ’ αυτό το επίπεδο της παρατήρησης ότι τα μαθηματικά "κυβερνούν" τη μουσική. Το γεγονός ότι από τους ήχους αυτών των διαφορών δημιουργείται ένα ευχάριστο συναίσθημα στον ακροατή, οδήγησε τους Πυθαγορείους στο συμπέρασμα ότι οι ακέραιοι και τα κλάσματα ελέγχουν όχι μόνο τον άψυχο αλλά και τον έμψυχο κόσμο μέσω της μουσικής.Για τους Πυθαγορείους, αυτή η άμεση και ακριβής σχέση μαθηματικών, μουσικής και ευχάριστου ψυχικού συναισθήματος αποτελούσε τη μέγιστη απόδειξη ότι η αλήθεια, στο ύψιστο επίπεδό της, εκφράζεται με μαθηματικές σχέσεις. Πίστευαν, μάλιστα, ότι η ψυχή, μέσα από τα μαθηματικά και τη μουσική, μπορούσε να εξυψωθεί ώσπου να ενωθεί με το σύμπαν και ότι ορισμένα μαθηματικά σύμβολα έχουν αποκρυφιστική σημασία.
Στις αρχές της αρμονίας των Πυθαγορείων βασίστηκε η Ευρωπαϊκή μουσική μέχρι, τουλάχιστον, τη στιγμή που ο Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ, μέσω της σύνθεσής του "Καλοσυγκερασμένο Κλειδοκύμβαλο" πρότεινε την υποδιαίρεση της οκτάβας σε δώδεκα ημιτόνια - κάτι, παρεμπιπτόντως, που είχε προτείνει δύο χιλιάδες χρόνια πριν από τον Μπαχ ο Αριστόξενος, όμως δεν εισακούστηκε

Συμπερασματικά, παρά τον ηθικοθρησκευτικό χαρακτήρα της διδασκαλίας του, ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του διαμόρφωσαν φιλοσοφικές αρχές που επηρέασαν την Πλατωνική και Αριστοτελική διανόηση, κυρίως όμως συνέβαλαν στην ανάπτυξη των μαθηματικών, της μουσικής και της δυτικής φιλοσοφίας. Καθιέρωσαν την αντίληψη ότι η πραγματικότητα -συμπεριλαμβανομένης της μουσικής και της αστρονομίας- είναι στο βαθύτερο επίπεδό της μαθηματικής φύσης .Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τον αριθμό 10 τέλειο.Κατά τον Θέωνα το Σμυρναίο υπάρχουν έντεκα τετρακτύες που η κάθε μια εκφράζει ένα τομέα της φιλοσοφικής σκέψης στην αρχαιότητα. Ενδεικτικά αναφέρω ότι η 4η τετρακτύς δηλώνει τα τέσσερα απλά στοιχεία φωτιά, αέρα, νερό και γη, η 6η αναφέρεται στα γεωμετρικά σχήματα: με 1 εκφράζεται το σημείο, με 2 το μήκος, με 3 η επιφάνεια και με 4 το στερεό, η 8η δίνει τα συστατικά του ζώου: τα 1,2,3 αντιστοιχούν με το λογιστικό, το θυμικό και το επιθυμητικό, δηλαδή εκφράζουν την ψυχή, ενώ το 4 το σώμα.
Η μουσική κλίμακα του Πυθαγόρα κατασκευάζεται με βάση τις αναλογίες του κύβου, ο οποίος εκφράζεται με τον αριθμό 4 της 5ης τετρακτύος (1 = τετράεδρο, 2 = οκτάεδρο, 3 = εικοσάεδρο, 4 = κύβος) και συμβολίζει τη γη και το συνδυασμό των στοιχείων της. Ο κύβος έχει 6 έδρες, 8 κορυφές και 12 ακμές. Οι αριθμοί 12 και 6 δίνουν την αναλογία 2/1, οι 8 και 6 την αναλογία 4/3 ενώ οι 12 και 8 την αναλογία 3/2. Επίσης ο αριθμός 8 είναι το αρμονικό μέσο των 6 και 12, ενώ το αριθμητικό μέσο των αριθμών αυτών είναι ο 9.
Ο αρμονικός και αριθμητικός μέσος δίνουν την αναλογία 9/8. Έτσι προκύπτουν οι μαθηματικές αναλογίες βάση των οποίων κατασκευάζεται η μουσική κλίμακα κατά τους Πυθαγόρειους. Οι αναλογίες αυτές αποδείχθηκαν και στην πράξη από τα πειράματα που έκανε ο Πυθαγόρας πάνω στο μονόχορδο το οποίο διαίρεσε σε 12 ίσα τμήματα (όσες και οι ακμές του κύβου). Με τη χορδή «ανοιχτή» δηλαδή σε θέση να μπορεί να ταλαντώνεται όλο το μήκος της (λόγος 1, συχνότητα 1), έκρουσε και άκουσε ένα μουσικό τόνο. 
Στη συνέχεια περιόρισε το μέρος της χορδής που ταλαντώνεται στο μισό της μήκος, και βρήκε ότι ο ήχος που ακούστηκε είναι η διαπασών, αυτό που σήμερα ονομάζουμε οκτάβα. Το ύψος λοιπόν του ήχου επηρεάζεται από το μήκος της χορδής και μάλιστα όταν η αναλογία του μήκους είναι 1/2 (συχνότητα 2/1) έχουμε το διάστημα της οκτάβας. Έτσι ορίστηκαν τα άκρα της μουσικής κλίμακας, η υπάτη και η νήτη. 
Στη συνέχεια μετακινώντας τον καβαλάρη σε διάφορα σημεία, βρήκε ότι αν ταλαντωνόταν τα 3/4 της χορδής (συχνότητα 4/3) προέκυπτε ο τέταρτος φθόγγος από τους οκτώ μιας μουσικής κλίμακας, η μέση, ενώ αν ταλαντωνόταν τα 2/3 της χορδής (συχνότητα 3/2) προέκυπτε ο πέμπτος φθόγγος, η παραμέση. Οι υπόλοιποι φθόγγοι της κλίμακας κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας το λόγο 9/8 ως εξής: 


  • Ο δεύτερος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πρώτου (υπάτη) αν τον πολλαπλασιάσουμε με 9/8: 1 x 9/8 = 9/8 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 8/9 της χορδής.
  • Ο τρίτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του δεύτερου (9/8) αν και πάλι πολλαπλασιαστεί με 9/8: 9/8 x 9/8 = 81/64 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 64/81 της χορδής.
  • Ο έκτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πέμπτου (παραμέση) που πολλαπλασιάζεται με 9/8: 1:2/3 x 9/8 = 27/16 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 16/27 της χορδής.
  • Τέλος, ο έβδομος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του έκτου και πάλι πολλαπλασιαζόμενου με 9/8: 1:16/27 x 9/8 = 243/128 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 128/243 της χορδής.

Πέρα από το μονόχορδο, ο Πυθαγόρας πειραματίστηκε και με άλλα υλικά και τις ιδιότητές τους που συνθέτουν τα μουσικά διαστήματα, όπως η τάση χορδών ίσου μήκους και πάχους, το μήκος ηχητικού σωλήνα κ.τ.λ. Ο χωρισμός και καθορισμός των μουσικών διαστημάτων που πέτυχε, ήταν ένα τεράστιας σημασίας επίτευγμα τόσο για τη μουσική και τη θεωρία της όσο και για τα μαθηματικά και τη δύναμή τους να ερμηνεύουν τον κόσμο με αριθμούς όπως εξάλλου δίδασκε και ο Πυθαγόρας. Πέρα από τη μεγάλη σημασία για τη θεωρία της μουσικής, ο υπολογισμός του έδωσε την ευκαιρία να κατασκευαστούν μουσικά όργανα με μεγαλύτερη ακρίβεια από πριν. 

Με το πέρασμα του χρόνου, η Πυθαγόρεια μουσική κλίμακα τροποποιήθηκε είτε για πρακτικούς είτε για καθαρά φιλοσοφικούς λόγους, όμως ο Πυθαγόρας είχε δείξει έναν δρόμο που και οι σύγχρονες μουσικές κλίμακες ακολουθούν. Ακόμα και σήμερα υπολογίζουμε μαθηματικά τα μουσικά διαστήματα τα οποία βέβαια έχουν διαφοροποιηθεί σημαντικά από τότε. Ο Αριστόξενος, νεότερος του Πυθαγόρα (περί το 375 π.Χ.) υπήρξε φιλόσοφος και σημαντικότατος θεωρητικός της μουσικής και του δόθηκε μάλιστα η ονομασία «ο Μουσικός». Η μέθοδός του ήταν κυρίως εμπειρική. 
Το σύστημα διδασκαλίας του βασίζεται σε αντίθεση με τον Πυθαγόρα, στην ικανότητα του αυτιού να αντιλαμβάνεται την αρμονική σχέση των μουσικών τόνων. Δεν ερευνά τις αριθμητικές σχέσεις μέσα στην οκτάβα, όμως καθορίζει τον ολόκληρο και τον μισό τόνο και κατασκευάζει μια κλίμακα με βάση το ένα δωδέκατο του τόνου. Ο Ευκλείδης από την άλλη, έχει μια γεωμετρική πρόταση για τα μουσικά διαστήματα. Θεωρεί ότι αντιστοιχούν σε ευθείες γραμμές, με μία όμως διαφορά: ενώ οι ευθείες γραμμές που παράγονται ως αριθμοί, ορίζονται με δύο γράμματα ένα στην αρχή και ένα στο τέλος τους, τα μουσικά διαστήματα δηλώνονται με ένα γράμμα.Στη σημερινή πραγματικότητα, τόσο η μουσική θεωρία, όσο και η μουσική πράξη, ερμηνεύονται με φυσικούς νόμους, που με τη σειρά τους διατυπώνονται με μαθηματικές σχέσεις. Στην ακουστική (στον ιδιαίτερο κλάδο της φυσικής που έχει ως αντικείμενο τον ήχο και τις ιδιότητές του) ένα μουσικό διάστημα εκφράζεται σαν ο λόγος δύο συχνοτήτων. Σε ορισμένες περιπτώσεις ο λόγος είναι απλής μορφής όπως για παράδειγμα οι γνωστοί μας λόγοι της καθαρής πέμπτης (3/2), της καθαρής τετάρτης (4/3), της οκτάβας (2/1) κ.λ.π. 
Σε άλλες περιπτώσεις, ελλείψει μεγίστου κοινού διαιρέτη, οι όροι του λόγου είναι μεγάλοι αριθμοί όπως στο διάσχισμα (2048/2025). Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα ότι είναι δύσκολη, αν όχι αδύνατη, η σύγκριση δύο μουσικών διαστημάτων. Η απλούστευση στην παράσταση των μουσικών διαστημάτων επήλθε με τη βοήθεια της λογαριθμικής σχέσης μέγεθος μουσικού διαστήματος = k * log(f2/f1)/log2 στην παραπάνω σχέση, όπου f1, f2 οι συχνότητες των φθόγγων του μουσικού διαστήματος και f2>f1. Το k είναι μια σταθερά η τιμή της οποίας καθορίζει και ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων. Ανάλογα με τις τιμές της σταθεράς k (οι οποίες αφορούν διαίρεση της οκτάβας σε τόσα τμήματα όσο η αντίστοιχη τιμή), έχουμε κι ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων. Οι πιο γνωστές και χαρακτηριστικές τιμές της σταθεράς k, αναφέρονται στη συνέχεια.Τιμή Σταθεράς και Ονομασία Μονάδας των Μουσικών Διαστημάτων
12..................Συγκερασμένο Ευρωπαϊκό ημιτόνιο
53 .................Κόμμα του Μερκάτορα
68 .................Αραβική μονάδα, βυζαντινό ηχομόριο
72 .................Βυζαντινό ηχομόριο
301 ...............Savart
665 ...............Delfi unit
1200 .............Cent




Τα  πυθαγόρεια  μυστήρια

Κέντρο του Πυθαγορικού συστήματος και δεσμού είναι τα Πυθαγόρεια Μυστήρια, αποκαλούμενα από τον Ηρόδοτο ''Όργια''. Δεν είχαν περιορισμένο σκοπό με ορισμένα μυστικά δόγματα, όπως το δόγμα της μετεμψύχωσης, αλλά ο σκοπός τους ήταν ευρύτερος. Η ηθικότητα, η αγνότητα, η εγκράτεια και η τάση για ότι οδηγεί στη σωματική και πνευματική υγεία ήταν βασικές απαιτήσεις, αλλά χωρίς την καλλιέργεια της τέχνης και επιστημονικής ενέργειας, οι μαθητές δεν προάγονταν σε ανώτερο βαθμό.Τα Πυθαγόρεια Μυστήρια ιδρύθηκαν στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας τον 5ο αιώνα π.Χ. από τον ίδιο τον Πυθαγόρα. Αρχικά οι δοκιμασίες ήταν εύκολες και κατά τη συνέχεια δυσκόλευαν αρκετά. Εκτός από τις δοκιμασίες, αντικείμενο εξέτασης ήταν ο προηγούμενος βίος των δοκίμων και ειδικότερα οι ενασχολήσεις και οι φιλίες τους, οι επιθυμίες και οι ορέξεις τους. Ο Πυθαγόρας πολύ δύσκολα παραδεχόταν τους δοκίμους. Παρακολουθούσε τις κινήσεις του σώματος τους, τα λόγια τους, τις χειρονομίες τους, το βάδισμά τους, τη φιλομάθεια τους και τα παρόμοια.Δοκιμάζονταν επίσης η αντοχή τους στη σιωπή και στη μοναξιά κι αν ήταν προπαρασκευασμένοι να καταπνίγουν τις τιμές και τον εγωισμό τους. Αφού ολοκληρώνονταν οι δοκιμασίες παρακαλούνταν οι δόκιμοι να γυρίσουν σπίτι τους ή γίνονταν δεκτοί και δέχονταν τα συγχαρητήρια των συμμαθητών τους, γιατί από εκείνη τη στιγμή ήταν μέλη του Πυθαγορικού συνδέσμου, έπαιρναν τον Α’ Βαθμό και κατοικούσαν στο Μικρό Αστύ, αφού παρέδιδαν τα υπάρχοντά τους στους κοινούς ταμίες τους, τους ''οικονόμους της εταιρείας'' καθόσον ο Πυθαγόρας πίστευε ότι : ''Κοινά τα των φίλων''.Κατά το μαθητή του Ιάμβλιχο: Όταν έρχονταν νέοι που ήθελαν να ζήσουν δίπλα του, δεν τους δεχόταν αμέσως κοντά του μέχρι να τους δοκιμάσει και να τους κρίνει. Αρχικά ζητούσε να μάθει πως συναναστρέφονταν με γονείς, συγγενείς, έπειτα παρατηρούσε τη σιωπή και κυρίως την ομιλία τους. Κοίταζε το παράστημα, το βάδισμα, την όλη κίνηση του σώματος και με τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα της φύσης τους, διέκρινε καθαρά τον αθέατο χαρακτήρα και το ήθος τους. Και όποιον δοκίμαζε έτσι, του επέβαλλε να απομονωθεί τρία χρόνια, για να εξετάσει αν έχει σταθερότητα και αληθινή φιλομάθεια.
Έπειτα, διέταζε τους μαθητές του πενταετή σιωπή, προσπαθώντας να μάθει πόσο εγκρατείς είναι, καθώς αυτή είναι η δυσκολότερη απ’ όλες τις εγκράτειες. Κατά αυτό το χρονικό διάστημα τα υπάρχοντα του καθενός, γίνονταν κοινά, αφού δίνονταν στους αποδεδειγμένα ικανούς προς τούτο Πυθαγόρειους, που ονομάζονταν πολιτικοί και που ήταν μερικά οικονομικοί (έμπειροι στα οικονομικά) και νομοθετικοί (στα νομοθετικά πράγματα).Έπειτα από τη πενταετή σιωπή οι υποψήφιοι κρινόμενοι από τη ζωή (τους) και την υπόλοιπη συμπεριφορά τους, γίνονταν στο εξής ''εσωτερικοί'' και άκουγαν και έβλεπαν προσεχτικά τον Πυθαγόρα μέσα σε παραπετάσματα. Σε περίπτωση απόρριψης υποψηφίου, αυτός παραλάμβανε την περιουσία που είχε προσφέρει διπλή, και σ' αυτόν σα να ήταν νεκρός ύψωναν μνήμα ο ''ομάκοοι'' συνακροατές, γιατί έτσι λέγονταν οι όλοι γύρω από τον Πυθαγόρα.Στις Πυθαγορικές θεωρίες ιδιαίτερα επίδραση άσκησαν τα Ορφικά και Καβείρια Μυστήρια. Γενικά, υπάρχει ο ισχυρισμός ότι ο Πυθαγόρας έγινε ζηλωτής του τρόπου έκφρασης του Ορφέα. Η Ορφική “αίρεση” είχε μεγάλη συγγένεια και αναλογία με το Πυθαγορικό σύστημα από θεωρητικής και φιλοσοφικής άποψης. Τόσο που στα χρόνια του Πεισίστρατου ήταν αδύνατο να ξεχωρίσουν τα γνήσια Ορφικά από τα Πυθαγόρεια. 
Επίσης, όσοι μυούνταν στα Ορφικά Μυστήρια τηρούσαν με θρησκευτική ευλάβεια μυστικές διατάξεις, οι οποίες είχαν μεγάλη ομοιότητα με τις Πυθαγορικές αρχές. Κατά την άποψη του Σπ. Νάγου αποτελούνταν από εννέα βαθμούς, όσες και οι αριθμητικές μονάδες. Διαιρούνταν σε τρεις κατηγορίες.
  • Σ’ αυτά που είχαν σχέση με τη διαμόρφωση του ανθρώπου και καταδείκνυαν την προέλευσή του.
  • Σ’ αυτά που δίδασκαν δυνάμεις που αποτελούν τις μορφές της φύσεως και τις ποικιλίες των οργάνων των διαφόρων μορφών και
  • Στα μεγάλα και ιερά, για τα οποία δεν επιτρεπόταν στους μύστες να αναφέρουν λέξη για την ύπαρξή τους.

Στην πρώτη ομάδα μυούνταν άντρες και γυναίκες και υποβάλλονταν σε πενταετή σιγή, ενώ στη δεύτερη μυούνταν μόνο εξαγνισμένοι σε σώμα και νου και καθαροί από ανομήματα. Τέλος, στην τρίτη η μύηση επιτρεπόταν μόνο σε φωτισμένους και εμπνευσμένους νέους και αγνές κοπέλες με ψυχικό κάλλος. Στον Κρότωνα το 504 π.Χ. προκλήθηκε στάση κατά την οποία οι στασιαστές έκαψαν τους ναούς των Πυθαγορείων και σκότωσαν πολλούς μαθητές του Πυθαγόρα. Έκτοτε τα Πυθαγόρεια σταμάτησαν.
Μύηση
Απόκρυφες τελετές παρόμοιες μ' αυτές που γίνονταν στα Αιγυπτιακά και Ινδικά Μυστήρια κάλυπταν τη διδασκαλία και τη μύηση στους διάφορους βαθμούς. Η είσοδος στη σχολή δεν επιτρεπόταν στους βέβηλους και οι γνώσεις ήταν αποκλειστικό προνόμιο των μυστών και απαγορεύονταν να τις γράφουν και να τις μεταδίδουν, κυρίως τις μαθηματικές.
Σύμβολα
Κατά τον Πλούταρχο, ο Πυθαγόρας στην Αίγυπτο είχε δάσκαλο τον Οινοφέα τον Ηλιοπολίτη. Και επειδή, θαύμαζε τους ιερείς, μιμήθηκε τη συμβολική και μυστηριώδη γλώσσα και συνδύασε τα δόγματά του με αλληγορίες. Τα ιερογλυφικά γράμματα διαφέρουν ελάχιστα από τα Πυθαγόρεια παραγγέλματα, όπως είναι π.χ. να μην κάθεσαι πάνω σε φοίνικα, να μη σκαλίζεις τη φωτιά με μαχαίρι στο σπίτι σου κτλ. Ο Ιάμβλιχος παράλληλα υποστηρίζει πως αξιόλογος τρόπος της Πυθαγορικής διδασκαλίας ήταν και αυτός με τα σύμβολα. Αυτός ο τρόπος καλλιεργούνταν απ' όλους σχεδόν τους Έλληνες επειδή ήταν παλιός. 
Εκτός από τον Πυθαγόρα και άλλοι Πυθαγόρειοι, λόγω του περιορισμού της εχεμύθειας, έκαναν χρήση των συμβόλων και μ' αυτά κάλυπταν τις μεταξύ τους διαλέξεις και συγγραφές. Μετά τον θάνατο του μεγάλου διδασκάλου μερικοί από τους μαθητές του έδωσαν περιλήψεις των δογμάτων του. Παρόλα αυτά, παραμένουν αρκετά σύμβολα καθώς και η εσωτερική του διδασκαλία ανερμήνευτα.
Δάμων και Φιντίας
Ήταν και οι δύο Πυθαγόρειοι από τις Συρακούσες στα χρόνια του Διονυσίου του Νεώτερου. Η φιλία τους ήταν παρομοιώδης. Κατά την παράδοση που υπάρχει, όταν ο Φιντίας καταδικάστηκε σε θάνατο ο Δάμωνας προσφέρθηκε να φυλακιστεί αντί του φίλου του. Ο τύραννος Διονύσιος δέχτηκε, αλλά επειδή την καθορισμένη για την εκτέλεση μέρα ο Φιντίας δεν είχε εμφανιστεί, αποφάσισε να θανατώσει τον Δάμωνα. Την τελευταία, όμως, στιγμή έφτασε τρέχοντας ο Φιντίας για να πάρει τη θέση του. Ο Διονύσιος συγκινήθηκε και τους άφησε ελεύθερους. 
''Τι η παρέβην; Τι δ’ ερεξα; Τι μοι δέον ουκ ετελέσθη;''
(Τι κακό έκανα; Τι καλό έκανα; Τι έπρεπε να κάνω και δεν το έκανα;)
Η κούπα  του Πυθαγόρα
Η κούπα του Πυθαγόρα είναι ίσως το πιο γνωστό «κεραμικό» της Σάμου, ένα πήλινο ποτήρι που αδειάζει κατά έναν «μαγικό» τρόπο όταν εκείνος που το κρατάει αποδειχτεί… πλεονέκτης και θέλει να πιει περισσότερο απ’ όσο πρέπει. Είναι κύπελλο ειδικής κατασκευής που βασίζεται στην εφαρμογή μιας απλής υδραυλικής αρχής. Εσωτερικά έχει μία γραμμή που ορίζει ως που πρέπει να γεμίσει. Μία σταγόνα παραπάνω και η κούπα αδειάζει όλο τον οίνο της από μία κρυφή οπή στη βάση. Κατά την τοπική παράδοση της Σάμου, ο φιλόσοφος έφτιαξε την κούπα για να πίνει με μέτρο τον οίνο.Η «κούπα του Πυθαγόρα» ή αλλιώς «δίκαιη κούπα» που κατασκεύασε ο Σάμιος φιλόσοφος, μαθηματικός, γεωμέτρης και θεωρητικός της μουσικής είχε ως στόχο την υπόδειξη και την τήρηση του μέτρου, «μέτρον άριστον». Καλείται επίσης "κούπα του δικαίου" διότι πλην της υδραυλικής, αντανακλά και μία από τις βασικές αρχές του δικαίου, αυτήν της Ύβρεως και Νεμέσεως. Όταν το όριο ξεπερνιέται (ύβρις), δεν χάνονται μόνον όσα έχουν ξεπεράσει το όριο, αλλά και όλα τα προηγούμενα που είχαν αποκτηθεί (νέμεσις).Η «δίκαιη κούπα», η οποία χρονολογείται περίπου από τον 6ο αιώνα π.Χ., είναι ένα αριστούργημα της υδραυλικής τεχνολογίας των αρχαίων Ελλήνων, αλλά και ένα μέσο διδαχής. Πέρα από τον περιορισμό της κατανάλωσης κρασιού μέσα από ένα «έξυπνο ποτήρι», ο Πυθαγόρας ήθελε να διδάξει στους μαθητές του την εγκράτεια και την τήρηση του μέτρου. Όταν ξεπερνιέται το μέτρο πρόκειται για «ύβρις», η οποία έχει ως αποτέλεσμα την τιμωρία, «τίσις». Όλοι οι άνθρωποι οφείλουν να απολαμβάνουν με μέτρο όσα τους παρέχονται δίχως να επιζητούν εναγωνίως περισσότερα.Διά της απλής εφαρμογής μιας υδραυλικής αρχής, ο φιλόσοφος Πυθαγόρας μας διδάσκει από τα βάθη του χρόνου, να δεχόμαστε το άριστο μέτρο και να απολαμβάνουμε τον οίνο που ήδη έχουμε στην κούπα μας αντλώντας την μέγιστη ωφέλεια. Εάν κάποιος αντί να δεχθεί την άριστη ποσότητα (αυτή που του αναλογεί και που αρκεί για να τον ικανοποιήσει), υπερβεί έστω και λίγο τα όρια, η κούπα ξεχειλίζει, χύνοντας στο έδαφος όλη την προϋπάρχουσα ποσότητα. 
Μη απολαμβάνοντας αυτό που ήδη υπάρχει και ζητώντας κάτι παραπάνω από τα επιτρεπτά όρια, φεύγει μέσα από τα χέρια του και αυτό που θα έπρεπε να τον είχε ευχαριστήσει αλλά που δεν το κατεδέχθη, ζητώντας το πέραν των ορίων επιπλέον.


Λειτουργία
Στο εσωτερικό της υπάρχει χαραγμένη μία γραμμή, η οποία οριοθετεί την ποσότητα του κρασιού. Αν ο χρήστης δεν υπερβεί τη γραμμή, τότε μπορεί να απολαύσει το «ποτό» του. Ωστόσο, αρκεί μία παραπάνω σταγόνα για να ξεπεράσει τα όρια της γραμμής και τότε η κούπα να αδειάσει, χύνοντας όλο το κρασί από τη βάση της.
Ο Μηχανισμός 
Στο κέντρο της κούπας υπάρχει μία στήλη που είναι τοποθετημένη πάνω από έναν σωλήνα που οδηγεί στο κάτω μέρος της. Όσο γεμίζει η κούπα, παράλληλα η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης. Από τη στιγμή που το υγρό δεν ξεπερνά την οριοθετημένη γραμμή δεν δημιουργείται κανένα πρόβλημα. Μόλις, όμως το υγρό υπερβεί τη γραμμή, τότε τα μόριά του παρασύρουν το ένα το άλλο, έχοντας ως αποτέλεσμα το άδειασμα της κούπας. 
Η υδροστατική πίεση δημιουργεί ένα σιφόνι στον εσωτερικό σωλήνα, το οποίο αδειάζει όλο το περιεχόμενο της κούπας από την οπή που υπάρχει. Η κατασκευή του Πυθαγόρα ακολουθεί το νόμο που ανέπτυξε ο Pascal αιώνες αργότερα για τα συγκοινωνούντα δοχεία. Πρόκειται για την απλή αρχή του σιφονιού. H κούπα αυτή όντως χρησιμοποιήθηκε κατά την εκσκαφή του Ευπαλίνειου ορύγματος, προκειμένου να ελέγχεται η ποσότητα του νερού που μοιραζόταν στους δούλους, αλλά και στα μεγάλα θαλάσσια ταξίδια των Σαμιωτών εμπόρων, για τον ίδιο σκοπό.

ΑΠΟΦΘΕΓΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΑ 
  • Η Αρχή είναι το ήμισυ του παντός.
  • Ο άνθρωπος είναι θνητός με τους φόβους του, και αθάνατος με τις επιθυμίες του.
  • Άσε τους μεγάλους δρόμους και πάρε τα στενά.
  • Όσο ο Άνθρωπος συνεχίζει να είναι ο άσπλαχνος καταστροφέας των κατώτερων ζώντων όντων δεν θα γνωρίσει ποτέ υγεία και ειρήνη. Γιατί όσο οι άνθρωποι κατασφάζουν τα ζώα, θα σκοτώνουν ο ένας τον άλλο. Πράγματι, αυτός που σπείρει τον καρπό του φόνου και του πόνου δεν μπορεί να δρέψει χαρά και αγάπη.
  • Είναι αδύνατο να θεωρείται ελεύθερος αυτός που είναι δούλος στα πάθη του και κυριαρχείται από αυτά.
  • Αν λέγεται κάποιο ψέμα, να το αντιμετωπίζεις με ηρεμία
  • Να κάνεις αυτά που νομίζεις πως είναι σωστά, έστω κι αν κάνοντας αυτά πρόκειται να σε κακολογήσουν. Γιατί ο όχλος είναι κακός κριτής κάθε καλού πράγματος
  • Ποτέ να μην κάνεις τίποτα αισχρό, ούτε μαζί με άλλον, ούτε μόνος σου. Περισσότερο απ’ όλους να ντρέπεσαι τον εαυτό σου
  • Ο κόσμος είναι αριθμοί. 
ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΚΟ ΥΛΙΚΟ 






Β΄ ΜΕΡΟΣ
Θεωρητική  αριθμητική των Πυθαγόρειων 

Σχετικά με την Προτεραιότητα της Αριθμητικής

Η Αριθμητική πρέπει να διδάσκεται πρώτη από τις μαθηματικές επιστήμες, διότι έχει τη σχέση της πρώτης αιτίας και μητέρας προς τις άλλες. Προηγείται όλων των άλλων, όχι μόνο επειδή ο δημιουργός του σύμπαντος τη χρησιμοποίησε ως το πρώτο υπόδειγμα της κατανεμημένης νόησης του και συγκρότησε όλα τα πράγματα σύμφωνα με τον αριθμό· αλλά και για έναν άλλο λόγο. Όποτε εκείνο που είναι φύσει προηγούμενο ανατρέπεται, αυτό που είναι μεταγενέστερο ανατρέπεται την ίδια ώρα - αλλά όταν εξαφανίζεται το μεταγενέστερο, το προηγούμενο δεν υφίσταται καμία ουσιαστική αλλαγή της προγενέστερης κατάστασης του.
Αν επομένως εξαλείψεις το ζώο, η φύση του ανθρώπου αμέσως καταστρέφεται· εξαλείφοντας όμως τον άνθρωπο, το ζώο δε θα εξαφανιστεί. Και αντιθέτως, μεταγενέστερα είναι πάντοτε εκείνα τα πράγματα που εισάγουν μαζί τους κάτι άλλο· ενώ έχουν προτεραιότητα υπόστασης εκείνα που, όταν διατυπώνονται, τα ίδια δεν εισάγουν τίποτε μεταγενέστερης φύσης. Έτσι, αν μιλήσεις για τον άνθρωπο, θα παρουσιάσεις την ίδια ώρα το ζώο, εφόσον ο άνθρωπος είναι ένα ζώο. Αλλά αν μιλήσεις για το ζώο, δε θα παρουσιάσεις την ίδια ώρα το είδος άνθρωπος· διότι το ζώο δεν είναι ίδιο με τον άνθρωπο. 
Το ίδιο πράγμα φαίνεται να συμβαίνει με τη γεωμετρία και την αριθμητική. Αν δηλαδή αφαιρέσουμε τους αριθμούς, πώς θα υφίσταται το τρίγωνο ή το τετράγωνο, ή οτιδήποτε άλλο είναι το υποκείμενο της γεωμετρίας; Όλα ορίζονται με αριθμούς. Ενώ, αν αφαιρέσεις το τρίγωνο και το τετράγωνο, και ολόκληρη η γεωμετρία ανατραπεί, το τρία και το τέσσερα, και οι επωνυμίες των άλλων αριθμών δε θα πάψουν να υφίστανται. Όταν γίνεται αναφορά σε οποιοδήποτε γεωμετρικό σχήμα, δε συνδέεται την ίδια ώρα με κάποια αριθμητική ονομασία; Όταν όμως αναφέρονται αριθμοί, δεν παρουσιάζεται ταυτόχρονα γεωμετρικό σχήμα.Ομοίως η προτεραιότητα των αριθμών σε σχέση με τη μουσική καταδεικνύεται ιδιαίτερα, επειδή όχι μόνο τα ίδια τα πράγματα που υφίστανται αφ' εαυτού τους είναι εκ φύσεως προηγούμενα από εκείνα που αναφέρονται σε κάτι άλλο· αλλά η ίδια η μουσική μετατόνιση αποτυπώνεται με αριθμητικές επωνυμίες. Συμβαίνει δηλαδή το ίδιο πράγμα που έχει ήδη αναφερθεί για τη γεωμετρία. Γιατί οι συμφωνίες δια τεσσάρων, δια πέντε και δια πασών ονομάζονται με βάση τα προγενέστερα ονόματα των αριθμών. Ομοίως η αναλογία των ήχων μεταξύ τους ανακαλύπτεται μόνο με αριθμούς.Γιατί ο ήχος που υπάρχει στη δια πασών συμφωνία εκφράζεται με το λόγο δύο. Η συμφωνία δια τεσσάρων περιέχει το λόγο 4 προς 3. Και αυτό που αποκαλείται συμφωνία δια πέντε συνδέεται από το λόγο 3 προς 2. Αυτό που με αριθμούς είναι επόγδοο είναι στη μουσική ένας τόνος. Εν ολίγοις, η προτεραιότητα της αριθμητικής σε σχέση με τη μουσική θα αποδειχθεί αναμφίβολα στην πορεία της παρούσας μελέτης. Αλλά εφόσον η γεωμετρία και η μουσική είναι προηγούμενες της αστρονομίας, τότε συνάγεται ότι η αστρονομία είναι σε μεγαλύτερο βαθμό μεταγενέστερη της αριθμητικής. 
Διότι σε αυτή την επιστήμη, ο κύκλος, η σφαίρα, το κέντρο, οι παράλληλοι κύκλοι και οι άξονες εξετάζονται όλα σε σχέση με τη γεωμετρία. Επίσης, η ανώτερη δύναμη της γεωμετρίας αποδεικνύεται από το ότι κάθε κίνηση έπεται της ακινησίας και κάθε σταθερότητα προηγείται πάντοτε εκ φύσεως της κινητικότητας. Αλλά η αστρονομία είναι η θεωρία των κινητών ενώ η γεωμετρία των ακίνητων φύσεων. Ομοίως η κίνηση των άστρων υμνείται ως συνοδευόμενη από αρμονικές μετατονίσεις. Από αυτό επίσης φαίνεται ότι η δύναμη της μουσικής προηγείται σε αρχαιότητα της πορείας των άστρων. 
Και δεν μπορεί να αμφισβητηθεί ότι η αριθμητική εκ φύσεως υπερέχει της αστρονομίας, εφόσον φαίνεται ότι είναι αρχαιότερη από τη γεωμετρία και τη μουσική που προηγούνται της αστρονομίας. Διότι με αριθμούς σημειώνουμε την ανατολή και τη δύση των άστρων, την ταχύτητα και τη βραδύτητα των πλανητών, τις εκλείψεις και πολυάριθμες μεταβολές της σελήνης.
Σχετικά με τον Ορισμό του Αριθμού και της Μονάδας
Ο Θαλής όρισε τον αριθμό σύμφωνα προς το δόγμα των Αιγυπτίων από τους οποίους διδάχθηκε ως άθροισμα μονάδων. Αλλά ο Πυθαγόρας τον όρισε ως την επέκταση και ενέργεια των σπερματικών λόγων που περιέχονται στη μονάδα. Ή άλλως, ως εκείνο το οποίο, προηγούμενο όλων των πραγμάτων, υφίσταται στη θεία διάνοια, με το οποίο όλα τα πράγματα διευθετήθηκαν και παραμένουν σε μια αδιάρρηκτη τάξη. Άλλοι όμως από τους μαθητές του τον όρισαν ως πρόοδο από τη μονάδα με το δικό της μέγεθος. 
Και ο Εύδοξος ο Πυθαγόρειος λέει ότι αριθμός είναι ορισμένο πλήθος, διακρίνοντας το είδος από το γένος. Οι μαθητές του Ίππασου, που ονομάζονταν Ακουσματικοί, έλεγαν ότι αριθμός είναι το πρώτο υπόδειγμα συγκρότησης του κόσμου και ότι είναι το όργανο κρίσης του θεού, που είναι ο δημιουργός του σύμπαντος. Ο δε Φιλόλαος λέει ότι ο αριθμός είναι ο πιο εξαίρετος και αυτογενής δεσμός της αιώνιας διάρκειας των εγκόσμιων φύσεων. Η μονάδα αποτελεί το ελάχιστο μιας ασυνεχούς ποσότητας, ή το πρώτο και κοινό μέρος αυτής, ή η αρχή της. 
Σύμφωνα με το Θυμαρίδα, είναι η περιορισμένη ποσότητα- εφόσον η αρχή και το τέλος κάθε πράγματος καλείται όριο. Σε κάποια πράγματα όμως, όπως στον κύκλο και τη σφαίρα, όριο καλείται το μέσο. Οι μεταγενέστεροι ορίζουν τη μονάδα ως εκείνο σύμφωνα προς το οποίο κάθε πράγμα που υπάρχει ονομάζεται ένα. Στον ορισμό όμως αυτό χρειάζεται να προστεθούν οι λέξεις «καθ' οιονδήποτε τρόπο συγκεντρωμένο και αν είναι». Οι οπαδοί του Χρυσίππου ισχυρίζονται ασαφώς ότι η μονάδα είναι ένα πλήθος, εφόσον αυτή μονάχα αντιτίθεται στο πλήθος. 
Και κάποιοι από τους Πυθαγόρειους έλεγαν ότι η μονάδα είναι το όριο του αριθμού και των μερών διότι από αυτήν, όπως από ένα σπόρο και μια αιώνια ρίζα, οι λόγοι αυξάνονται και μειώνονται αντιστρόφως· κάποιοι μειώνονται επ' άπειρον, διαιρούμενοι πάντοτε με ένα μεγαλύτερο αριθμό· άλλοι, αυξανόμενοι επ' άπειρον, μεγεθύνονται πάλι. Ομοίως, κάποιοι έχουν ορίσει τη μονάδα ως είδος ειδών, επειδή εμπεριέχει εν δυνάμει (δηλ. αιτιωδώς) όλες τις αιτίες που υπάρχουν στον αριθμό. Εξετάζεται δε κατ' αυτόν τον τρόπο, επειδή είναι πλήρες το υπόλοιπο του λόγου προς τον εαυτό της· όπως το ίδιο συμβαίνει και με άλλα τέτοια πράγματα που υπάρχουν μέσω της μονάδας.Η μονάδα επομένως είναι η αρχή και το στοιχείο των αριθμών, η οποία, ενώ το πλήθος ελαττώνεται με την αφαίρεση, στερείται η ίδια κάθε αριθμού και παραμένει σταθερή και αμετάβλητη· εφόσον δεν είναι δυνατόν η διαίρεση να προχωρήσει πέραν της μονάδας. Εάν διαιρέσουμε το ένα, το οποίο είναι στα αισθητά σε μέρη, πάλι το ένα γίνεται πλήθος και πολλά· και με αφαίρεση καθενός από τα μέρη, καταλήγουμε στο ένα. Αν πάλι διαιρέσουμε αυτό το ένα σε μέρη, τα μέρη θα γίνουν πλήθος· και με αφαίρεση (πάλι) καθενός από τα μέρη, θα φτάσουμε τελικά στην ενότητα. Έτσι ώστε το ένα καθώς είναι ένα, είναι αμέριστο και αδιαίρετο.Διότι, πράγματι, όταν ένας άλλος αριθμός διαιρεθεί, μειώνεται και διαιρείται σε μέρη μικρότερα του εαυτού του. Για παράδειγμα, το 6 μπορεί να διαιρεθεί σε 3 και 3, ή σε 4 και 2, ή σε 5 και 1. Αλλά το ένα στα αισθητά, αν όντως διαιρεθεί, ως σώμα μειώνεται και με τον καταμερισμό διαιρείται σε μέρη μικρότερα του εαυτού του, αλλά ως αριθμός αυξάνεται - διότι αντί του ενός γίνεται πολλά. Άρα σύμφωνα με αυτό το ένα είναι αδιαίρετο. Διότι τίποτε (στα αισθητά) το οποίο διαιρείται, δε διαιρείται σε μέρη μεγαλύτερα από τον εαυτό του - αλλά εκείνο που διαιρείται σε μέρη μεγαλύτερα από το σύνολο, και σε μέρη ίσα προς το σύνολο, διαιρείται ως αριθμός. 
Έτσι, εάν το ένα το οποίο υπάρχει στα αισθητά, διαιρεθεί σε έξι μέρη ίσα προς το σύνολο, ως αριθμός πράγματι θα διαιρεθεί σε ίσα προς το σύνολο, δηλαδή σε 1, 1, 1, 1, 1, 1 και επίσης σε μέρη μεγαλύτερα του συνόλου, δηλαδή σε 4 και 2· διότι 4 και 2 είναι ως αριθμοί μεγαλύτεροι από το ένα. Έτσι η μονάδα ως αριθμός είναι αδιαίρετη. Και αποκαλείται μονάδα, επειδή παραμένει αμετάβλητη και δεν παρεκκλίνει από τη φύση της· διότι όποτε η μονάδα πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό της, παραμένει μονάδα· εφόσον μια φορά το ένα είναι ένα· και αν πολλαπλασιάσουμε τη μονάδα επ' άπειρον, αυτή συνεχίζει να είναι η μονάδα. 
Ή ονομάσθηκε μονάδα, επειδή είναι χωριστή και παραμένει μόνη της, χωριστά από το υπόλοιπο πλήθος των αριθμών. Εφόσον επομένως ο αριθμός είναι ο συνδετικός δεσμός όλων των πραγμάτων, είναι αναγκαίο να παραμένει στην κατάλληλη ουσία του, με μια αιώνια αμετάβλητη ομοιότητα ύπαρξης· και να συντίθεται, αλλά όχι από πράγματα διαφορετικής φύσης. Γιατί τι θα μπορούσε να συνενώσει την ουσία του αριθμού, εφόσον το υπόδειγμα του συνένωσε όλα τα πράγματα. Φαίνεται δε να είναι σύνθετος από μόνος του. 
Τίποτε όμως δε συντίθεται από όμοια, ούτε και από πράγματα συνδεδεμένα χωρίς αναλογία, ουσιαστικά χωρισμένα το ένα από το άλλο. Άρα είναι φανερό, εφόσον ο αριθμός είναι συνδεδεμένος, ότι ούτε συνενώνεται από όμοια, ούτε από πράγματα που δε συνενώνονται με κάποια αναλογία. Επομένως οι πρωταρχικές φύσεις από τις οποίες απαρτίζεται ο αριθμός είναι η άρτια και η περιττή, οι οποίες μέσω μιας κάποιας θείας δύναμης, μολονότι είναι ανόμοιες και αντίθετες, ρέουν από μία πηγή και ενώνονται σε μια σύνθεση και συμφωνία.


Σχετικά με τη Διαίρεση των Αριθμών και τους Ορισμούς του Άρτιου και του Περιττού
Η πρώτη διαίρεση του αριθμού λοιπόν είναι σε άρτιο και περιττό.
  • Άρτιος είναι εκείνος ο αριθμός που μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ίσα μέρη, χωρίς την παρέμβαση της μονάδας στο ενδιάμεσο. 
  • Περιττός είναι εκείνος που δεν μπορεί να διαιρεθεί σε ίσα μέρη, χωρίς να παρεμβαίνει στο ενδιάμεσο η μονάδα. 

Αυτοί είναι οι κοινοί και γνωστοί ορισμοί του άρτιου και του περιττού. Αλλά ο ορισμός τους σύμφωνα με την Πυθαγόρεια διδασκαλία είναι ο ακόλουθος:
  • Άρτιος αριθμός είναι εκείνος που με την ίδια διαίρεση μπορεί να διαιρεθεί σε μεγαλύτερο και μικρότερο- μεγαλύτερο ως προς το διάστημα και μικρότερο ως προς την ποσότητα, σύμφωνα προς τις αντίθετες ροπές αυτών των δύο ειδών. 
  • Περιττός αριθμός είναι εκείνος στον οποίο αυτό δε μπορεί να συμβεί και η φυσική διαίρεσή του είναι σε δύο άνισα μέρη. Για παράδειγμα, αν οποιοσδήποτε άρτιος αριθμός διαιρεθεί, δεν υπάρχει κανένα τμήμα μεγαλύτερο του μισού όσον αφορά το διάστημα της διαίρεσης, αλλά όσον αφορά την ποσότητα, δεν υπάρχει άλλη διαίρεση μικρότερη από εκείνη σε δύο μέρη. 

Έτσι, αν ο άρτιος αριθμός 8 διαιρεθεί σε 4 και 4, δε θα υπάρχει καμιά άλλη διαίρεση που να παράγει μεγαλύτερα μέρη, δηλαδή στην οποία και τα δύο μέρη να είναι μεγαλύτερα. Επίσης δε θα υπάρχει καμιά άλλη διαίρεση που να διαιρεί όλο τον αριθμό σε μικρότερη ποσότητα, διότι δεν υπάρχει διαίρεση μικρότερη από την κατάτμηση σε δύο μέρη. 

Γιατί, όταν ένα όλο διαιρείται σε τρία μέρη, το διάστημα ελαττώνεται, αλλά ο διαιρέτης αυξάνεται. Ως ποσό, αρχίζοντας από έναν όρο, επιδέχεται άπειρη αύξηση προόδου, αλλά ως πηλικότητα μπορεί να ελαττωθεί απεριόριστα το αντίθετο συμβαίνει στη διαίρεση του άρτιου αριθμού, γιατί εδώ η διαίρεση είναι μεγαλύτερη σε διάστημα, αλλά μικρότατη σε ποσότητα. Με άλλα λόγια, τα μέρη της πηλικότητας είναι μεγαλύτερα, αλλά το ποσό είναι το μικρότερο δυνατό.Ομοίως, σύμφωνα προς έναν αρχαιότερο τρόπο, υπάρχει άλλος ένας ορισμός του άρτιου αριθμού, ο ακόλουθος: άρτιος αριθμός είναι εκείνος που μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ίσα και σε δύο άνισα μέρη, με τέτοιο τρόπο που σε καμία διαίρεση, ούτε η ισότητα θα αναμιχθεί με την ανισότητα, ούτε η ανισότητα με την ισότητα. Εξαιρείται μόνο η δυάδα, η αρχή της ισότητας, που δεν επιδέχεται άνισο μερισμό, επειδή αποτελείται από δύο μονάδες. Για παράδειγμα, ένας άρτιος αριθμός όπως το 10 μπορεί να διαιρεθεί σε 5 και 5, που είναι δύο ίσα, μπορεί επίσης να διαιρεθεί σε άνισα μέρη, όπως σε 3 και 7. 
Ισχύει ωστόσο ο εξής όρος, όταν το ένα μέρος της διαίρεσης είναι άρτιο, το άλλο επίσης είναι άρτιο. Και όταν το ένα μέρος είναι περιττό, το άλλο μέρος είναι επίσης περιττό, όπως είναι φανερό στον ίδιο αριθμό 10. Γιατί, όταν αυτό χωρίζεται σε 5 και 5, ή σε 3 και 7, και τα δύο μέρη σε κάθε διαίρεση είναι περιττά. Αλλά, εάν αυτός, ή οποιοσδήποτε άλλος άρτιος αριθμός, διαιρεθεί σε ίσα μέρη, όπως το 8 σε 4 και 4, και επίσης σε άνισα μέρη, όπως το ίδιο 8 σε 5 και 3, στην πρώτη διαίρεση και τα δυο μέρη είναι άρτια, ενώ στη δεύτερη είναι περιττά. 
Ούτε είναι ποτέ δυνατόν το ένα μέρος της διαίρεσης να είναι άρτιο και το άλλο περιττό, ούτε το ένα περιττό και το άλλο άρτιο. Ενώ περιττός αριθμός είναι εκείνος που σε κάθε διαίρεση διαιρείται πάντοτε σε άνισα μέρη, έτσι ώστε πάντοτε να επιδεικνύει και τα δύο είδη αριθμού. Ούτε υφίσταται ποτέ το ένα είδος χωρίς το άλλο, αλλά το ένα ανήκει στην ισότητα και το άλλο στην ανισότητα. Έτσι, αν το 7 διαιρεθεί σε 3 και 4, ή σε 5 και 2, το ένα μέρος είναι άρτιο και το άλλο περιττό. Και το ίδιο πράγμα φαίνεται να συμβαίνει σε όλους τους περιττούς αριθμούς. 
Ούτε στη διαίρεση του περιττού αριθμού μπορούν αυτά τα δύο είδη, τα οποία εκ φύσεως συγκροτούν τη δύναμη και την ουσία του αριθμού, να είναι το ένα χωρίς το άλλο. Μπορεί επίσης να ειπωθεί ότι περιττός αριθμός είναι εκείνος ο οποίος διαφέρει από τον άρτιο κατά τη μονάδα, είτε με αύξηση είτε με μείωση. Και ότι άρτιος είναι εκείνος ο οποίος διαφέρει από τον περιττό κατά τη μονάδα, είτε με αύξηση είτε με μείωση. Γιατί, εάν η μονάδα αφαιρεθεί ή προστεθεί στον άρτιο αριθμό, γίνεται περιττός- εάν πάλι το ίδιο πράγμα γίνει στον περιττό αριθμό, αυτός αμέσως γίνεται άρτιος.Κάποιοι από τους αρχαίους επίσης είπαν ότι η μονάδα είναι ο πρώτος από τους περιττούς αριθμούς, διότι ο άρτιος αριθμός είναι αντίθετος στον περιττό. Και όμως η μονάδα είναι είτε άρτιος είτε περιττός. Δεν μπορεί ωστόσο να είναι άρτιος, γιατί δεν μπορεί να χωριστεί σε ίσα μέρη, ούτε εν ολίγοις επιδέχεται οποιαδήποτε διαίρεση. Επομένως, η μονάδα είναι περιττός. Επίσης, εάν ο άρτιος προστεθεί στον άρτιο, το σύνολο γίνεται άρτιο, όμως αν η μονάδα προστεθεί σε έναν άρτιο αριθμό, παράγει σύνολο περιττό. Άρα, η μονάδα δεν είναι άρτιος, αλλά περιττός. 
Ο Αριστοτέλης, όμως, στην πραγματεία Περί των Πυθαγορείων, παρατηρεί ότι το ένα ή μονάδα συμμετέχει και στις δύο αυτές φύσεις, εφόσον προστιθέμενη στον περιττό παράγει τον άρτιο, ενώ προστιθέμενη στον άρτιο παράγει τον περιττό· πράγμα που δε θα ήταν δυνατό να προκαλέσει, εάν δε συμμετείχε και στις δύο αυτές φύσεις. Για τούτο το ένα καλείται αρτιοπέρισσο. Ο Αρχύτας επίσης είναι της ίδιας άποψης. Η μονάδα επομένως είναι η πρώτη ιδέα του περιττού αριθμού, ακριβώς όπως οι Πυθαγόρειοι αποδίδουν τον περιττό αριθμό σε εκείνο που είναι ορισμένο και τακτικό μέσα στον κόσμο. 
Η αόριστη δυάδα είναι η πρώτη ιδέα του άρτιου αριθμού· και για αυτό οι Πυθαγόρειοι αποδίδουν τον άρτιο αριθμό σε εκείνο που είναι αόριστο, άγνωστο και άμετρο στον κόσμο. Επίσης, η δυάδα καλείται αόριστη, επειδή δεν είναι ορισμένη όπως είναι η μονάδα. Οι όροι όμως που ακολουθούν, σε συνεχή σειρά από τη μονάδα, αυξάνονται κατά μια ίση προσθήκη, επειδή καθένας τους υπερβαίνει τον προηγούμενο αριθμό κατά τη μονάδα. Και καθώς αυξάνονται, οι λόγοι του ενός προς τον άλλο φθίνουν. 
Έτσι, στους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, 6, ο λόγος του 2 προς το 1 είναι δύο, αλλά του 3 προς το 2 είναι ημιόλιος, του 4 προς το 3 είναι επίτριτος, του 5 προς το 4 επιτέταρτος, του 6 προς το 5 επίπεμπτος. Ο τελευταίος όμως λόγος είναι μικρότερος από τον επιτέταρτο, ο επιτέταρτος από τον επίτριτο, ο επίτριτος από τον ημιόλιο, και ο ημιόλιος από το λόγο δύο. Και το ίδιο συμβαίνει στους υπόλοιπους αριθμούς. Επίσης, οι περιττοί και οι άρτιοι αριθμοί, όταν παρατηρούνται σχετικά με τη μονάδα, ακολουθούν διαδοχικά οι μεν τους δε.
Σχετικά με την Υπεροχή της Μονάδας
Κάθε αριθμός είναι το μισό του αθροίσματος των δύο αριθμών που τον περιβάλλουν σε μια φυσική ακολουθία Ομοίως, είναι το μισό του αθροίσματος των αριθμών που περιβάλλουν αυτούς τους δύο- κι ακόμη το μισό του αθροίσματος των αριθμών που περιβάλλουν αυτούς τους τελευταίους δύο, και ούτω καθεξής, έως ότου η πρόοδος σταματήσει στη μονάδα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 βρίσκεται ανάμεσα στους αριθμούς 6 και 4, ο πρώτος βρίσκεται εμπρός και ο τελευταίος πίσω του. Αυτοί επομένως, αν προστεθούν, δίνουν άθροισμα 10, του οποίου το μισό είναι 5. Και οι αριθμοί που βρίσκονται μπροστά και πίσω από το 6 και το 4, είναι το 3 και το 7. 
Και αυτών επίσης το ήμισυ του αθροίσματος είναι 5. Και πάλι, το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται εμπρός και πίσω από το 3 και το 7, είναι ομοίως το διπλάσιο του 5· γιατί αυτοί είναι το 8 και το 2. Και το ίδιο θα συμβαίνει σε όλους τους αριθμούς σε μια φυσική ακολουθία, μέχρι να φθάσουμε στο όριο της μονάδας. Διότι μόνο η μονάδα δε βρίσκεται ανάμεσα σε δύο όρους, και για αυτό είναι το μισό μονάχα εκείνου του αριθμού που έπεται αυτής. Έτσι, είναι φανερό ότι η μονάδα είναι ο πρώτος από όλους τους αριθμούς σε μία φυσική ακολουθία και ότι επάξια αναγνωρίζεται ως πηγή κάθε πλήθους, ανεξάρτητα από το πόσο εκτείνεται.
Η φιλοσοφική μέθοδος των ΠυθαγόρειωνΣχετικά με τους Αριθμούς
Οι Πυθαγόρειοι, παρακάμπτοντας τα μονοπάτια των αδαών και παραδίδοντας τη φιλοσοφία τους με μυστικότητα σε εκείνους μονάχα που ήταν άξιοι να τη λάβουν, την παρουσίασαν σε αυτούς με μαθηματικούς όρους. Έτσι αποκάλεσαν τις μορφές αριθμούς, επειδή πρόκειται για τα αρχικώς αποχωριζόμενα τμήματα μιας αδιαίρετης μονάδας· διότι οι φύσεις που είναι υπεράνω μορφών, είναι υπεράνω διαχωρι­σμού. 
Το καθ' όλα τέλειο πλήθος των μορφών, επομένως, υποδήλωσαν ασαφώς μέσω της δυάδας· αλλά υπέδειξαν πως οι πρώτες μορφικές αρχές, που όρισαν ως μονάδα και δυάδα, δεν είναι αριθμοί· ενώ η πρώτη τριάδα και τετράδα είναι οι πρώτοι αριθμοί, η μία περιττή και η άλλη άρτια· με την πρόσθεση όλων γεννιέται η δεκάδα, καθώς το άθροισμα των 1, 2, 3 και 4, είναι δέκα. Πέρα από τους αριθμούς, σε δευτερογενείς και πολυποίκιλες ζωές, τα γεωμετρικά μεγέθη προηγούνται των φυσικών επίσης, ανέφεραν ότι οι αριθμοί είναι οι ουσιώδεις αιτίες και αρχές αυτών.
Θεώρησαν το σημείο ως αδιαίρετο από τη μονάδα, ενώ τη γραμμή ως το πρώτο διάστημα που αποδίδεται στη δυάδα· κατ' ακολουθία, η επιφάνεια συνδέεται με την τριάδα και το στερεό με την τετράδα. Επίσης ονόμαζαν, σύμφωνα με τη μαρτυρία του Αριστοτέλη, το πρώτο μήκος δυάδα· διότι δεν είναι απλώς μήκος, αλλά το πρώτο μήκος, υποδηλώνοντας κατ' αυτό τον τρόπο την αιτία. Κατά έναν όμοιο τρόπο ονόμασαν το πρώτο πλάτος τριάδα και το πρώτο ύψος τετράδα. Αναφέρθηκαν επίσης στις βασικές αρχές όλης της ψυχικής γνώσης. 
Τη διανοητική γνώση, βεβαίως, επειδή συνδέεται με την αδιάσπαστη ενότητα, τη συσχέτισαν με τη μονάδα- αντίθετα την επιστημονική γνώση, επειδή εξελίσσεται και προχωρά από την αιτία στο αιτιατό μέσω των σταθερών και αμετάβλητων πραγμάτων, τη συσχέτισαν με τη δυάδα- και τη γνώμη με την τριάδα, επειδή η δύναμή της δεν κατευθύνεται πάντοτε στο ίδιο πράγμα, αλλά άλλοτε ρέπει προς την αλήθεια και άλλοτε προς το λάθος. Συσχέτισαν δε την αίσθηση με την τετράδα, διότι αυτή έχει αντίληψη των σωμάτων. 
Γιατί είναι γεγονός πως στη δυάδα υπάρχει ένα διάστημα από τη μια μονάδα ως την άλλη, ενώ στην τριάδα υπάρχουν δυο διαστήματα από τη μια μονάδα προς τις επόμενες και στην τετράδα υπάρχουν τρία. Συσχέτισαν, επομένως, με τις αρχές κάθε πράγμα γνωστό, δηλαδή τα όντα και τις γνωστικές δυνάμεις αυτών. Διαχώρισαν όμως τα όντα, όχι σύμφωνα με το πλάτος, αλλά σύμφωνα με το ύψος, σε νοητά, αντικείμενα της επιστήμης, αντικείμενα της γνώμης και αισθητά. Αντίστοιχα χώρισαν τη γνώση σε διάνοια, επιστήμη, γνώμη και αίσθηση. 
Το άκρο επομένως της νοητής τριάδας, ή το ίδιο το ζώο, όπως ονομάζεται από τον Πλάτωνα στον Τίμαιο, εκλαμβάνεται από το χωρισμό των αντικειμένων γνώσης, εκδηλώνοντας τη νοητή τάξη στην οποία περιέχονται οι ίδιες οι μορφές, δηλαδή οι πρώτες μορφές και οι αρχές τους, η ιδέα του ίδιου του ένα, του πρώτου μήκους, που είναι η ίδια η δυάδα, καθώς και οι ιδέες του πρώτου πλάτους και του πρώτου ύψους (διότι ο όρος πρώτος ταιριάζει σε όλα αυτά), δηλαδή η ίδια η τριάδα και η τετράδα αντιστοίχως.Οι Πυθαγόρειοι και ο Πλάτωνας δεν ονόμασαν την ιδέα από ένα πράγμα και τον ιδεατό αριθμό από ένα διαφορετικό. Εφόσον ο ισχυρισμός ότι όλα τα πράγματα μοιάζουν με τους αριθμούς είναι κατ' εξοχήν αληθινός, είναι φανερό ότι ο αριθμός -και ιδιαίτερα κάθε ιδεατός αριθμός- ονομάστηκε έτσι εξαιτίας της παραδειγματικής ιδιαιτερότητάς του. Αν όμως κάποιος θελήσει να το κατανοήσει αυτό από την ίδια την ονομασία, είναι εύκολο να συμπεράνει ότι η ιδέα ονομάστηκε έτσι εξαιτίας της όμοιας προς αυτή αναπαράστασης των συμμετεχόντων και της απόδοσης σε αυτούς μορφής, τάξης, ομορφιάς και ενότητας. 
Και αυτό σε ακολουθία με την αιώνια διατήρηση της ίδιας μορφής, διευρύνοντας την ίδια της τη δύναμη στο άπειρο των μερικών και διερευνώντας με το ίδιο είδος τα αιώνια συμμετέχοντα σε αυτήν. Η ονομασία αριθμός δόθηκε επειδή παρέχει αναλογία και εύρυθμη διάταξη σε όλα τα πράγματα, Σύμφωνα με τη μαρτυρία του Συριανού οι αρχαίοι απέδιδαν την έννοια συναρμόζω και συνθέτω με το ρήμα αραρίσκω (απρμφ. άρσαι), από το οποίο προέρχεται ο αριθμός. Οπότε ανάρσιον οι Έλληνες αποκαλούσαν το ασύνθετο. Μάλιστα υπάρχουν και διάφορες ελληνικές εκφράσεις όπως, θα συναρμόσει το ζυγό, έθεσαν τον αριθμό μαζί τους και αριθμός και φιλία. 
Για αυτό το λόγο υιοθέτησαν οι Έλληνες την ονομασία αριθμός, καθώς μετράει και θέτει σε κανονική διάταξη όλα τα πράγματα, και τα ενώνει σε φιλική συμμαχία. Επιπλέον, κάποιοι από τους Πυθαγόρειους πραγματεύθηκαν μόνο τους αδιαχώριστους αριθμούς, δηλαδή τους αριθμούς που δε διαχωρίστηκαν από τις επίγειες φύσεις, ενώ κάποιοι άλλοι αυτούς που υφίστανται χωριστά από το σύμπαν, στους οποίους είδαν να περιέχονται ως υπόδειγμα εκείνοι οι αριθμοί που τελειοποιούνται από τη φύση. 
Άλλοι, κάνοντας διάκριση ανάμεσα στους δυο, αφηγήθηκαν το δόγμα τους με έναν περισσότερο σαφή και τέλειο τρόπο. Αν είναι όμως αναγκαίο να μιλήσουμε σχετικά με τη διαφορά αυτών των μονάδων και την έλλειψη διαφοράς τους, πρέπει να πούμε ότι οι μονάδες που υπάρχουν σε ποσότητα δεν πρόκειται με κανένα τρόπο να επεκταθούν σε ουσιώδεις αριθμούς. Όταν όμως ονομάζουμε ουσιώδεις αριθμούς τις μονάδες, πρέπει να βεβαιώσουμε ότι όλες τους απέχουν αμοιβαία μεταξύ τους εξαιτίας της ίδιας της διαφοράς και ότι στερούνται διαφοράς εξαιτίας της ομοιότητας. 
Είναι επίσης φανερό ότι αυτές που ανήκουν στην ίδια τάξη, περιέχονται μέσω αμοιβαίας σύγκρισης περισσότερο στην ομοιότητα παρά στη διαφορά, ενώ εκείνες που βρίσκονται σε διαφορετικές τάξεις, αναφέρονται κυρίως στην ανομοιότητα μέσω της κυριαρχίας της διαφοράς. Επιπροσθέτως, οι Πυθαγόρειοι ισχυρίζονταν ότι η φύση παράγει τα αισθητά από τους αριθμούς· αυτοί όμως οι αριθμοί δεν ήταν μαθηματικοί, αλλά φυσικοί - και καθώς μιλούσαν συμβολικά, δεν είναι απίθανο να εξηγούσαν κάθε ιδιότητα των αισθητών με μαθηματικούς όρους. 
Εν τούτοις, λέει ο Συριανός, το να θεωρήσουμε ότι οι Πυθαγόρειοι κατείχαν μόνο τη γνώση των αισθητών αριθμών, δεν είναι μόνο γελοίο, αλλά και ασεβές. Διότι αυτοί όντως έλαβαν από τη θεολογία του Ορφέα τις αρχές των νοητών και διανοητικών αριθμών, τους προσέδωσαν πλούσια ανάπτυξη και επέκτειναν την επικράτεια τους μέχρι τα ίδια τα αισθητά. Έτσι έμεινε χαρακτηριστικό των Πυθαγορείων το ρητό, «όλα τα πράγματα εξομοιώνονται με τον αριθμό». Για αυτό ο Πυθαγόρας στον Ιερό Λόγο λέει με σαφήνεια ότι «αριθμός είναι ο κυβερνήτης των μορφών και των ιδεών και είναι η αιτία θεών και δαιμόνων». 
Επίσης υποθέτει ότι για τον αρχαιότατο και με τέχνη κυβερνώντα θεό, ο αριθμός είναι ο κανόνας και ο τεχνικός λόγος, και η διάνοια και η μη παρεκκλίνουσα ισορροπία της σύνθεσης και γένεσης όλων των πραγμάτων». (Αυτός μεν Πυθαγόρας, έν τώ ιερώ λόγω, διαρρήδην μορφών και ιδεών κράντορα τον αριθμόν έλεγεν είναι, και θεών και δαιμόνων αίτιον και τώ πρεσβυτάτω και κρατιστεύοντι τεχνίτη θεώ κανόνα, καί λόγον τεχνικόν, νουν τε και σταθμάν ακλινέσταταν τον αριθμόν υπείκε συστάσιος και γενέσεως των πάντων).Ο Συριανός προσθέτει: «Και ο Φιλόλαος διακήρυξε ότι ο αριθμός είναι ο κυβερνών και αυτογέννητος δεσμός της αιώνιας διατήρησης των επίγειων φύσεων». (Φιλόλαος δέ, της των κοσμικών αιωνίας διαμονής την κρατιστεύουοαν και αυτογενή συνοχήν είναι απεφήνατο τον αριθμόν). «Και ο Ίππασος, και όλοι εκείνοι που προορίζονταν για την πενταετή σιωπή, ονόμαζαν τον αριθμό όργανο του δημιουργού του σύμπαντος ικανό να κρίνει, και το πρώτο παράδειγμα της επίγειας δημιουργίας».(ΟΙ δέ περί Ίππασον ακουσματικοί είπον κριτικόν κοσμουργού θεού όργανον, και, παράδειγμα πρώτον κοσμοποιΐας.) Πώς θα ήταν δυνατόν επομένως να μιλήσουν με τόσο θαυμάσια λόγια για τον αριθμό, αν δε θεωρούσαν ότι κατέχει μια ουσία χωριστή από τις αισθήσεις και μια δημιουργική υπερβατικότητα, που είναι ταυτόχρονα και παραδειγματική;
Σχετικά με το Μαθηματικό και το Φυσικό Αριθμό
Όπως σε κάθε πράγμα, συμφωνά με το δόγμα του Αριστοτέλη, ένα μέρος αντιστοιχεί στην ύλη και ένα άλλο στη μορφή, έτσι και σε κάθε αριθμό- όπως για παράδειγμα στην πεντάδα, οι πέντε μονάδες της, δηλαδή η ποσότητά της, και ο αριθμός που είναι το υποκείμενο συμμετοχής πηγάζουν από την ίδια τη δυάδα- αλλά η μορφή της, δηλαδή η ίδια η πεντάδα, προέρχεται από τη μονάδα- διότι κάθε μορφή είναι μια μονάδα και ενώνει την υποκείμενη της ποσότητα. 
Η πεντάδα η ίδια, επομένως, ως μονάδα, προερχόμενη από την αρχική μονάδα, αυτή που κατατάσσεται ως η ύψιστη αρχή μετά το άρρητο ένα, συγκροτεί την υποκείμενη ποσότητα της, η οποία είναι άμορφη, και τη συνδέει με τη δική της μορφή. Διότι υπάρχουν δύο αρχές μαθηματικών αριθμών στις ψυχές μας- η μονάδα, που περικλείει μέσα της όλες τις μορφές των αριθμών και αντιστοιχεί με τη μονάδα στις διανοητικές φύσεις, και η δυάδα, που είναι μια γενεσιουργός αρχή άπειρης δύναμης και που -όντας η εικόνα της ανεξάντλητης και νοητής δυάδας- καλείται αόριστη.
Ενόσω αυτή προχωρά σε όλα τα πράγματα, δεν εγκαταλείπεται στην πορεία της από τη μονάδα, αλλά εκείνο που απορρέει από τη μονάδα συνεχώς διακρίνει και σχηματίζει την απεριόριστη ποσότητα, δίνει ιδιαίτερο προορισμό σε όλες τις κανονικές προόδους της και ακατάπαυστα τις κοσμεί με μορφές. Όπως ακριβώς στις εγκόσμιες φύσεις δεν υπάρχει τίποτε άμορφο, ούτε κανένα κενό ανάμεσα στα είδη των πραγμάτων, ομοίως στο μαθηματικό αριθμό δεν υπάρχει ποσότητα μη αριθμητή, διότι έτσι η μορφοποιητική δύναμη της μονάδας θα αφανιζόταν από την αόριστη δυάδα, ούτε κάποιο ενδιάμεσο παρεμβαίνει στην ακολουθία των αριθμών και την καλώς διατεθειμένη ενέργεια της μονάδας.Η πεντάδα, επομένως, δεν αποτελείται από ουσία και ιδιότητες, όπως ένας λευκός άνθρωπος· ούτε από γένος και διαφορά, όπως ο άνθρωπος και τα δίποδα ζώα- ούτε από πέντε μονάδες που άπτονται μεταξύ τους, σαν ένα δεμάτι ξύλα· ούτε από πράγματα αναμεμιγμένα, σαν ένα ποτό φτιαγμένο από κρασί και μέλι· ούτε από πράγματα που κατέχουν θέση, όπως οι πέτρες που με την τοποθέτησή τους ολοκληρώνουν το σπίτι· ούτε, τέλος, είναι σαν τα αριθμητά πράγματα, διότι αυτά δεν είναι τίποτε άλλο από μερικά. 
Αλλά αυτό δε συνεπάγεται πως οι ίδιοι οι αριθμοί, επειδή αποτελούνται από αδιαίρετες μονάδες, δεν έχουν τίποτε άλλο εκτός από μονάδες (διότι το πλήθος των σημείων σε συνεχή ποσότητα είναι αδιαίρετο, αυτό όμως δε σημαίνει ότι ολοκληρώνεται κάτι άλλο εκτός από τα ίδια τα σημεία). Τούτο συμβαίνει επειδή υπάρχει κάτι σε εκείνους που αντιστοιχεί σε ύλη και κάτι που αντιστοιχεί σε μορφή. Τέλος, όταν ενώνουμε την τριάδα με την τετράδα, λέμε ότι φτιάχνουμε το επτά. Ο ισχυρισμός όμως δεν είναι αληθινός· διότι μονάδες συνδεδεμένες με μονάδες παράγουν πραγματικά το υποκείμενο του αριθμού 7, αλλά τίποτε περισσότερο. 
Τότε ποιος προσδίδει την επταδική μορφή σε αυτές τις μονάδες; Ποιος είναι επίσης που δίνει τη μορφή ενός κρεβατιού σε έναν αριθμό από κομμάτια ξύλου; Δεν είναι η ψυχή του ξυλουργού, μέσω της τέχνης που αυτός κατέχει, που δουλεύει το ξύλο ώστε να λάβει τη μορφή ενός κρεβατιού, και δεν είναι η επιτήδεια προς το αριθμείν ψυχή, η εμπεριέχουσα τη μονάδα ως σχέση αρχής, που δίνει μορφή και ύπαρξη σε όλους τους αριθμούς; Αλλά η διαφορά είναι πως η τέχνη του ξυλουργού δεν είναι έμφυτη σε εμάς και απαιτεί χειρωνακτική εργασία, διότι σχετίζεται με την αισθητή ύλη, ενώ η τέχνη του αριθμείν ενυπάρχει στη φύση μας. 
Είναι επομένως κτήμα όλων των ανθρώπων και έχει μια νοητική ουσία, την οποία αυτομάτως επενδύει με μορφή. Αυτό είναι που εξαπατά την πλειοψηφία, η οποία θεωρεί ότι η επτάδα δεν είναι τίποτε άλλο εκτός από επτά μονάδες. Διότι η φαντασία του αδαούς -ο οποίος πρέπει πρώτα να δει ένα πράγμα αδιακόσμητο, εν συνεχεία την επερχόμενη ενέργεια του διακοσμητή και τελικά, πάνω από όλα, το ίδιο το πράγμα, τέλειο και μορφοποιημένο- δεν μπορεί να πεισθεί ότι αυτό διαθέτει δύο φύσεις, μια άμορφη και μια μορφική, και επιπλέον εκείνο που πέρα από αυτά προσδίδει τη μορφή αλλά ισχυρίζεται ότι το υποκείμενο είναι ένα και χωρίς γέννηση. 
Για αυτό, ίσως, οι αρχαίοι θεολόγοι και ο Πλάτωνας απέδωσαν παροδικές γεννήσεις σε πράγματα αγέννητα, ενώ στα αιωνίως κοσμούμενα και κανονικώς διευθετούμενα προσέδιδαν έλλειψη τάξης και διακόσμου· διέκριναν το εσφαλμένο και το απεριόριστο, προκειμένου να καταφέρουν να οδηγήσουν τους ανθρώπους στη γνώση μιας μορφοποιητικής και δρώσας αιτίας. Είναι, επομένως, αναμφίβολα θαυμαστό το ότι παρόλο που επτά αισθητές μονάδες δεν υφίστανται ποτέ χωρίς την επτάδα, η επιστήμη πρέπει να τις διαχωρίζει, καθώς και το ότι οι πρώτες κατέχουν θέση υποκειμένου και είναι ανάλογες με την ύλη, ενώ η επτάδα αντιστοιχεί στο είδος και τη μορφή.Όπως όταν το νερό μετατρέπεται σε αέρα, το νερό δε γίνεται αέρας ή υποκείμενο του αέρα, αλλά εκείνο που ήταν υποκείμενο του νερού γίνεται υποκείμενο του αέρα, ομοίως όταν ένας αριθμός ενώνεται με έναν άλλο, όπως για παράδειγμα η τριάδα με τη δυάδα, τα είδη ή μορφές των αριθμών δεν αναμιγνύονται παρά μόνο στους άυλους λόγους τους, όπου παραμένοντας χωρισμένοι, ταυτόχρονα δεν εμποδίζονται να ενωθούν, ενώ οι ποσότητες των δύο αριθμών που τοποθετούνται μαζί, γίνονται το υποκείμενο της πεντάδας. 
Η τριάδα επομένως, είναι ένα, το ίδιο και η τετράδα, ακόμη και σε μαθηματικούς αριθμούς· διότι μολονότι στην εννεάδα ή τον αριθμό εννέα, μπορείς να αντιληφθείς μία πρώτη, δεύτερη και τρίτη τριάδα, εν τούτοις βλέπεις ένα πράγμα λαμβανόμενο τρεις φορές. Εν συντομία, στην εννεάδα δεν υπάρχει τίποτε άλλο εκτός από τη μορφή της εννεάδας στην ποσότητα εννέα μονάδων. Αλλά, εάν νοητικά διαχωρίσεις τα υποκείμενα της (διότι η μορφή είναι αδιαίρετη), αμέσως θα της προσδώσεις μορφές που αντιστοιχούν στη διαίρεση της· διότι η ψυχή μας δεν αντέχει να βλέπει εκείνο που είναι ά­μορφο και ακόσμητο, ιδιαίτερα καθώς έχει τη δύναμη να το κοσμεί.Όπως δε οι χωριστοί αριθμοί κατέχουν μια δημιουργική ή παραγωγική δύναμη, την οποία ο μαθηματικοί αριθμοί μιμούνται, ομοίως ο αισθητός κόσμος περιέχει εικόνες εκείνων των αριθμών με τους οποίους κοσμείται· έτσι ώστε όλα τα πράγματα υπάρχουν σε όλα, άλλα στο καθένα με τον κατάλληλο τρόπο. Ο αισθητός κόσμος, επομένως, αποτελείται από άυλους και ενεργητικούς λόγους και από αρχαιότερες αιτίες. 
Αλλά εκείνοι που από φόβο μήπως υποχρεωθούν να διπλασιάσουν τα ίδια τα πράγματα δεν παραδέχονται ότι η φύση η ίδια είναι πλήρης παραγωγικών δυνάμεων, είναι οι ίδιοι που απορούν πώς από πράγματα που στερούνται μεγέθους και βαρύτητας, συντίθεται μέγεθος και βαρύτητα- αν και ποτέ δε συντίθενται από πράγματα τέτοιου είδους που στερούνται βαρύτητας και μεγέθους, όπως τα τμηματικά. 
Το μέγεθος παράγεται από ουσιαστικά αδιαίρετο στοιχείο, εφόσον η μορφή και η ύλη είναι τα στοιχεία των σωμάτων και ακόμη περισσότερο, παράγεται από εκείνες τις αληθινές αιτίες που συναντώνται στους δημιουργικούς λόγους και μορφές. Δεν είναι λοιπόν απαραίτητο όλες οι διαστάσεις και όλες οι κινούμενες μάζες παράγονται από αυτές; Γιατί αλλιώς, είτε τα σώματα είναι αγέννητα όπως οι άυλες φύσεις, είτε τα διαθέτοντα διαστήματα πράγματα δε θα έχουν διαστήματα και θα είναι αιτίες, είτε τα διαιρετά θα είναι αδιαίρετα, είτε τα αισθητά θα είναι τα αντίθετά τους, δηλαδή πράγματα μη αισθητά και στερημένα επαφής. 
Πρέπει λοιπόν να συναινέσουμε με εκείνους που διαβεβαιώνουν ότι τα πράγματα που κατέχουν μέγεθος παράγονται από τα αδιαίρετα. Ο Πυθαγόρειος Εύρυτος και οι οπαδοί του, θεωρώντας τους αριθμούς εικόνες των ίδιων των πραγμάτων, ορθώς απέδωσαν ορισμένους αριθμούς σε ορισμένα πράγματα σύμφωνα με την ιδιαιτερότητα τους. Ως συνέπεια αυτού είπε ότι ένας ιδιαίτερος αριθμός είναι το όριο του φυτού και ένας άλλος του ζώου· ακριβώς όπως ενός τριγώνου το όριο είναι το 6, ενός τετραγώνου το 9 και ενός κύβου το 8. 
Όπως ο μουσικός εναρμονίζει τη λύρα του μέσω μαθηματικών αριθμών, κατά τον ίδιο τρόπο η φύση μέσω των δικών της φυσικών αριθμών διευθετεί τα πλάσματά της με τάξη και τα συνταιριάζει. Ότι οι αριθμοί πράγματι μετέχουν στους ουρανούς και ότι υπάρχουν ένας ηλιακός και ένας σεληνιακός αριθμός, είναι φανερό ακόμη και σ' έναν τυφλό, όπως λέει η παροιμία. Διότι η επάνοδος των ουράνιων σωμάτων στην αρχική τους θέση (αποκαταστάσεις) δεν θα επιτυγχανόταν από τα ίδια πράγματα και κατά τον ίδιο τρόπο, παρά μόνο αν ένας και ο ίδιος αριθμός είχε κυριαρχία σε καθένα από αυτά. 
Όλα συνεισφέρουν στην κίνηση των ουράνιων σφαιρών και εμπεριέχονται στον τέλειο αριθμό τους. Υπάρχει επίσης ένας ορισμένος φυσικός αριθμός που αρμόζει σε κάθε ζώο. Διότι αυτά που ανήκουν στο ίδιο είδος δε θα είχαν τα ίδια όργανα, ούτε θα έφταναν στην εφηβεία και τα γηρατειά με τον ίδιο περίπου τρόπο, ούτε θα γεννούσαν, ούτε το έμβρυο θα ανατρεφόταν ή θα μεγάλωνε σύμφωνα με κανονικές περιόδους, εκτός και αν κατανέμονταν από το ίδιο μέτρο της φύσης. Σύμφωνα επίσης με τους καλύτερους Πυθαγόρειους και τον ίδιο τον Πλάτωνα, ο αριθμός είναι η αιτία των καλύτερων και των χειρότερων γεννήσεων. 
Αν και οι Πυθαγόρειοι αναφέρονται στα τετράγωνα και τους κύβους των φυσικών αριθμών, δε θεωρούν ότι αυτά αποτελούνται μόνο από μονάδες, όπως ο αριθμός 9 και ο αριθμός 27, αλλά υποδηλώνουν μέσω αυτών των ονομάτων, λόγω ομοιότητας, την πρόοδο των φυσικών αριθμών στις γεννήσεις και την κυριαρχία τους σε αυτές. Κατά όμοιο τρόπο, μολονότι τους ονομάζουν ίσους ή διπλάσιους, παρουσιάζουν την κυριαρχία και τη συμφωνία των ιδεών με τους αριθμούς αυτούς.
Συνεπώς, διαφορετικά πράγματα δε χρησιμοποιούν τον ίδιο αριθμό, εφόσον είναι διαφορετικά, ούτε επίσης τα όμοια πράγματα χρησιμοποιούν διαφορετικό αριθμό εφόσον είναι όμοια. Εν συντομία, οι φυσικοί αριθμοί είναι μορφές της ύλης κατανεμημένες σύμφωνα με το υποκείμενο που τις λαμβάνει. Αλλά οι υλικές δυνάμεις είναι οι πηγές της ένωσης και της μετατροπής σε σώματα. Διότι η μορφή και η δύναμη που προέρχεται από αυτήν αποτελούν δυο διαφορετικά πράγματα. 
Η μορφή η ίδια είναι πραγματικά αδιαίρετη και ουσιώδης· αλλά καθώς αναπτύσσεται και διογκώνεται, εκτοξεύει από μέσα της, σαν μια έκρηξη, υλικές δυνάμεις, που είναι ορισμένες ποιότητες. Για παράδειγμα, στη φωτιά η μορφή και η ουσία της είναι αδιαίρετες και είναι αληθινά η εικόνα της αιτίας της φωτιάς· διότι στις διαιρετές φύσεις το αδιαίρετο έχει μια υπόσταση. Αλλά από τη μορφή που είναι αδιαίρετη στη φωτιά και που υφίσταται σε αυτήν ως αριθμός, μια επέκτασή της συνοδευόμενη από διάστημα πραγματοποιείται γύρω από την ύλη, από την οποία οι δυνάμεις της φωτιάς εκτοξεύονται, όπως ζέστη ή ψύξη ή υγρασία, ή κάτι άλλο αυτού του είδους. 
Και αυτές οι ποιότητες είναι πραγματικά ουσιώδεις, αλλά δεν είναι με κανένα τρόπο η ουσία της φωτιάς. Γιατί οι ουσίες δεν εκπορεύονται από τις ποιότητες, ούτε ταυτίζεται η ουσία με τη δύναμη. Ωστόσο το ουσιώδες προηγείται παντού της δύναμης. Από αυτό που είναι ένα προέρχεται το πλήθος των δυνάμεων, από εκείνο που είναι ακατανέμητο το κατανεμημένο, ακριβώς όπως πολλές ενέργειες πηγάζουν από μια δύναμη.
Σχετικά με τη Μονάδα
Η μονάδα, καθώς μαθαίνουμε από τα αποσπάσματα του Νικόμαχου που διασώθηκαν από το Φώτιο, ονομαζόταν από τους Πυθαγόρειους νους, άρρεν και θήλυ, Θεός και κατά μία άποψη ύλη. Έλεγαν επίσης ότι αυτή, η οποία πράγματι συνέμιξε όλα τα πράγματα, είναι επιδεκτική και χωρητική όλων των πραγμάτων, είναι Χάος, σύγχυση, σύμμιξη, σκοτεινότητα, σκοτάδι, ένα χάσμα, ο Τάρταρος, η Στυξ και τρόμος, αμιγής, ένας υποχθόνιος βυθός, η Λήθη, μια άκαμπτη παρθένος, ο Άτλας. Την αποκαλούσαν επίσης άξονα, Ήλιο, Πυράλιο, Μορφώ, πύργο του Δία, σπερματικό λόγο και Απόλλωνα, προφήτη και αμφίλογο.Όσον αφορά την πρώτη από τις ονομασίες, νους, είναι προφανής ο λόγος που οι Πυθαγόρειοι απεκάλεσαν τη μονάδα έτσι, μια και οι μορφές ή ιδέες αποκαλούνταν από αυτούς αριθμοί - όπως λοιπόν η μονάδα περιέχει μέσα της την αιτία των αριθμών, έτσι ο νους είναι η πηγή όλων των ιδεών. Όπως επίσης η μονάδα εμπεριέχει το πλήθος που αυτή παράγει και με το οποίο συμφωνεί, κατά τον ίδιο τρόπο ο νους εμπεριέχει όλες τις μορφές που προέρχονται από αυτόν και με τις οποίες είναι ισότιμος. 
Φαίνεται επίσης ότι αποκάλεσαν τη μονάδα άρρεν και θήλυ, επειδή περιέχει εντός της αιτιωδώς τον περιττό και τον άρτιο, από τους οποίους ο πρώτος αντιστοιχεί στο αρσενικό και ο δεύτερος στο θηλυκό· ή σύμφωνα με τον ανώνυμο συγγραφέα του έργου Θεολογούμενα της Αριθμητικής, ονομαζόταν έτσι διότι είναι το σπέρμα όλων των πραγμάτων. Ο Θέων ο Σμυρναίος μας πληροφορεί ότι ο Αριστοτέλης, στην πραγματεία του περί των Πυθαγορείων, έλεγε ότι «το ένα συμμετέχει και στις δύο αυτές φύσεις. 
Γιατί προστιθέμενο στον περιττό παράγει τον άρτιο αριθμό και προστιθέμενο στον άρτιο παράγει τον περιττό αριθμό, κάτι που δε θα μπορούσε να κάνει εάν δε συμμετείχε και στις δυο φύσεις». Προσθέτει επίσης ότι ο Αρχύτας συμφωνούσε με αυτό. Εφόσον ο Θεός είναι η αιτία ύπαρξης κάθε πλήθους, ο λόγος για τον οποίο ονόμαζαν τη μονάδα Θεό είναι προφανής. Επίσης σωστά την ονόμασαν «κατά μία άποψη ύλη» και όχι εντελώς ύλη λόγω της ομοιότητας της προς τη θεότητα. Διότι ο Θεός είναι το πρώτο και η ύλη το τελευταίο από τα πράγματα και καθένα υφίσταται μέσω της άρνησης όλων των πραγμάτων. 
Για αυτό λέγεται ότι η ύλη είναι ανομοίως όμοια προς τη θεότητα. Είναι όμοια, εφόσον υπάρχει μέσω της άρνησης όλων των πραγμάτων. Αλλά είναι ανομοίως όμοια, επειδή η θεότητα είναι καλύτερη και πέρα από όλα τα πράγματα, ενώ η ύλη είναι χειρότερη και κάτω από όλα τα πράγματα. Ομοίως ισχυρίζονταν ότι η μονάδα πράγματι συνέμιξε όλα τα πράγματα και ήταν επιδεκτική αυτών, εξαιτίας της αναλογίας της προς τη θεότητα- διότι όλα τα πράγματα συμμιγνύονται από την ανέκφραστη φύση της θεότητας και περιλαμβάνονται σε αυτή. 
Αλλά την ονόμασαν χάος λόγω της ομοιότητας της με το άπειρο, γιατί το χάος, σύμφωνα με τον Πυθαγόρα είναι ανάλογο προς το άπειρο, με τον ίδιο τρόπο που ο αιθέρας αντιστοιχεί στο όριο. Το όριο και το άπειρο είναι οι δυο μεγάλες αρχές των όντων αμέσως μετά το άρρητο. Για τον ίδιο λόγο την ονόμασαν και χάσμα. Αλλά την αποκαλούσαν σύγχυση, σύμμιξη, σκοτεινότητα και σκοτάδι, επειδή στην ανέκφραστη αρχή, της οποίας είναι εικόνα, όλα τα πράγματα είναι κατά βάθος ένα χωρίς διαχωρισμό ή διάκριση, επειδή αυτή είναι πάντα προ των πάντων, και ως συνέπεια της ενέλιξής της σε ακατανότητα βάθη, καλύπτεται από άγνωστη σκοτεινότητα και σκοτάδι. 
Σύμφωνα με όσα παραθέτει ο Δαμάσκιος στη θαυμαστή χειρόγραφη πραγματεία του Απορίαι και Λύσεις Περί των Πρώτων Αρχών, οι Αιγύπτιοι δεν ισχυρίζονταν τίποτε για την πρώτη αρχή των πραγμάτων, αλλά την εξυμνούσαν σαν ένα τρισάγνωστο σκοτάδι που υπερβαίνει κάθε νοητική αντίληψη. (Ανυμνήκασιν πρώτην αρχήν σκότος υπέρ πάσαν νόησιν, σκότος άγνωστον, τρίς τούτο επιφημίζοντες.) Καθώς επίσης ο Τάρταρος υπάρχει στην άκρη του σύμπαντος σε μια καθοδική σειρά, η μονάδα είναι ανομοίως όμοια προς το άρρητο, το οποίο είναι το άκρο των πραγμάτων σε μια ανοδική σειρά. Την αποκάλεσαν δε Στύγα, λόγω της αμετάβλητης φύσης της. 
Διότι η Στυξ, κατά την πρώτη της υπόσταση, είναι η αιτία με την οποία οι θεϊκές φύσεις συγκρατούν μιαν αμετάβλητη ταυτότητα ουσίας- αυτό είναι το απόκρυφο νόημα του μυθικού ισχυρισμού ότι οι Θεοί ορκίζονται στη Στύγα, δηλαδή συνεχίζουν μέσω αυτής αμετάβλητα το ίδιο. Η ονομασία τρόμος φαίνεται ότι προήλθε από την αντίληψη ότι το άρρητο είναι τελείως άγνωστο και ασύνδετο με τη φύση μας, οπότε η αντίληψη οποιουδήποτε αισθητού πράγματος αυτού του είδους συνοδεύεται από τρόμο. Αμιγή, όμως, την ονόμασαν εξαιτίας της απλότητας της φύσης του άρρητου, ενώ υποχθόνιο βυθό λόγω του απροσμέτρητου βάθους της, που είναι πέρα από κάθε γνώση. 
Επειδή η γνώση, ως προς το άρρητο -καθώς ο Δαμάσκιος υπέροχα παρατηρεί- επανακάμπτει στην άγνοια, η μονάδα, η οποία είναι εικόνα αυτής, πολύ εύστοχα ονομάζεται Λήθη. Λόγω της αγνότητας της φύσης της η μονάδα αποκαλείται άκαμπτη παρθένος. Τέλος, το άρρητο υποστηρίζει, συνδέει και διαχωρίζει όλα τα πράγματα· μυθολογική απεικόνιση αυτού είναι οι στήλες του Άτλαντα, για αυτό η μονάδα ονομάστηκε Άτλας. Εκτός από αυτές τις ονομασίες οι Πυθαγόρειοι αποκαλούσαν τη μονάδα Απόλλωνα, καθώς πληροφορούμαστε από τον Πλούταρχο και τον Πλωτίνο επειδή στερείται πλήθους. 
Την ονόμασαν επίσης Προμηθέα, σύμφωνα με τον ανώνυμο συγγραφέα του Θεολογούμενα της Αριθμητικής, επειδή αυτή με κανένα τρόπο δε μετακινείται προς το προηγούμενο μέρος (από του πρόσω μηδενί τρόπω θείν)· γιατί δεν υπάρχει τίποτε πέρα από το άρρητο. Ο ίδιος συγγραφέας μας πληροφορεί ότι την έχουν ονομάσει «ουσία, αιτία της αλήθειας, απλό παράδειγμα, τάξη της συμφωνίας· ανάμεσα στο μεγαλύτερο και το μικρότερο το ίσο· ανάμεσα στη ένταση και την ύφεση το μέσο· στο πλήθος το μέτριο· στο χρόνο το παρόν, το τώρα. 
Και εκτός αυτών πλοίο, άρμα, φίλο, ζωή και ευτυχία». Διότι, όπως το «ένα» είναι όλα τα πράγματα πριν από όλα, αποτελεί πρωτίστως το πλέον εξαίρετο των πραγμάτων, αλλά κατ' αναλογία προς το ένα, χωρίς δηλαδή να αποχωρεί από την άρρητη απλότητα της φύσης της. Επίσης, την ονόμασαν μορφή, επειδή, όπως ο Σιμπλίκιος παρατηρεί (Υπόμνημα εις την Αριστοτέλους Φυσικήν Ακρόασιν), η μορφή περιγράφει και ορίζει κάθε πράγμα με το οποίο συνενώνεται. 
Την ονόμασαν και Πρωτέα, καθώς μας πληροφορεί ο προαναφερόμενος ανώνυμος συγγραφέας, επειδή εμπεριέχει τις ιδιομορφίες όλων. των πραγμάτων (ουκ άπιθάνως δέ και Πρωτέα προσηγόρευον αυτήν, τον έν Αίγύπτω πάμμορφον ήρωα, τα πάντων ιδιώματα περιέχουσαν). Επίσης, την ονόμασαν Δία, επειδή όπως είναι το ένα ή η άρρητη αρχή των πραγμάτων προς όλους τους άλλους από τους Θεούς, έτσι είναι ο Δίας προς όλες τις μεταγενέστερες του θείες τάξεις, όπως θαυμάσια παρατηρεί ο Πρόκλος στο Περί της κατά Πλάτωνα Θεολογίας.
Επίσης, την αποκάλεσαν Μνημοσύνη, με το όνομα της μητέρας των Μουσών, επειδή, καθώς οι Μούσες γεννούν όλη την ποικιλία των λόγων από τους οποίους ο κόσμος είναι υπερπλήρης και είναι οι αιτίες της τελειοποίησης του σύμπαντος, η Μνημοσύνη θα είναι ανάλογη προς το ένα, που είναι η πηγή κάθε πλήθους. Μπορεί επίσης να ειπωθεί ότι καθώς η Μνημοσύνη είναι μνήμη και η μνήμη είναι σταθερότητα γνώσης, η μονάδα ονομάστηκε έτσι, επειδή είναι η εικόνα του ενός που είναι η σταθερή ρίζα κάθε γνώσης και όλων των πραγμάτων. 
Την αποκάλεσαν Εστία, ή πυρ στο κέντρο της γης, επειδή, όπως ο Σιμπλίκιος παρατηρεί, κατέχει δημιουργική δύναμη, τροφοδοτεί ολόκληρη τη γη από το κέντρο και διεγείρει οτιδήποτε είναι μέσα της σε ψυχρή φύση, έτσι ώστε ως παραγωγικό κέντρο, είναι ανάλογο προς το ένα. Σχετικά με αυτή την ονομασία, υπάρχει το ακόλουθο αξιόλογο απόσπασμα του προαναφερόμενου ανώνυμου συγγραφέα: Επιπλέον αυτοί λένε ότι κάποιος πύρινος κύβος της φύσης της μονάδας βρίσκεται περίπου στο μέσο των τεσσάρων στοιχείων, του οποίου τη μέση θέση ο Όμηρος γνώριζε, όταν λέει: 
Τόσο κάτω από το αόρατο βασίλειο ρίχθηκε, όσο η γη απέχει από τον αιθέριο κόσμο. Ο Εμπεδοκλής, ο Παρμενίδης και σχεδόν οι περισσότεροι από τους αρχαίους σοφούς φαίνεται ότι συμφωνούν σε αυτά με τους Πυθαγόρειους· διότι λένε ότι η φύση της μονάδας, κατά τον τρόπο της Εστίας, είναι εγκατεστημένη στο μέσο και για αυτό διατηρεί αυτή τη θέση σε ισορροπία.(Προς τούτοις φασί περί το μέσον των τεσσάρων στοιχείων κείσθαι τινά εναδικόν διάπυρον κύβον, ου την μεσότητα της θέας ειδέναι και Όμηρον λέγοντα τόσον ένερθ' άϊδος, όσον ουρανός έστ' από γαίης. εοίκασι δε κατά γε ταύτα κατηκολουθηκέναι τοις Πυθαγορείοις, οι τε περί Έμπεδοκλέα και Παρμενίδην, και σχεδόν οι πλείστοι των πάλαι σοφών, φάμενοι, τήν μοναδικήν φύσιν, Εστίας τρόπον, εν μέσω ιδρύσθαι και διά τούτο ισόρροπον φυλάσσειν την αυτήν έδραν).Τέλος, αποκάλεσαν τη μονάδα πολυώνυμο -καθώς πληροφορούμαστε από τον Ησύχιο- και τούτο με τη μεγαλύτερη ορθότητα, επειδή το άρρητο ένα, του οποίου η μονάδα είναι εικόνα, είναι τα πάντα προ των πάντων.
Σχετικά με τη Δυάδα
Οι Πυθαγόρειοι αποκαλούσαν τη δυάδα, όπως μαθαίνουμε από το Νικόμαχο, «τόλμη, ύλη, αιτία της ανομοιότητας, το διάστημα ανάμεσα στο πλήθος και τη μονάδα. Αυτή μόνο παράγει ισότητα από τη σύνθεση και την ανάμιξη και εξαιτίας αυτού είναι επίσης ίση. Αλλά ομοίως είναι άνιση, ελλιπής και αφθονία, και μόνον αυτή είναι άμορφη, αόριστη, και άπειρη. Επίσης, τούτη μόνη είναι η αρχή και η αιτία του άρτιου, αλλά όμως δεν είναι αρτιάκις άρτια, ούτε περισσάρτια, ούτε αρτιοπέρισση. Αλλά πολλά από αυτά τα πράγματα βρίσκονται κοντά στη φυσική ιδιομορφία της δυάδας. 
Είναι ομοίως η πηγή κάθε συμφωνίας και μεταξύ των Μουσών είναι η Ερατώ. Είναι επίσης αρμονία, υπομονή και ρίζα, όχι όμως κατά κάποια άποψη εν ενεργεία. Είναι επίσης δύναμη, οι πρόποδες της Ίδης με άφθονες πηγές, μια κορυφή και ο Φάνης. Είναι επίσης Δικαιοσύνη και Ίσις, Φύση και Ρέα, η μητέρα του Δία και πηγή της διανομής. Επιπλέον την αποκαλούσαν Φρυγία, Λυδία, Δινδυμήνη, Δήμητρα και Ελευσίνια, Άρτεμη και Έρωτα, Δίκτυννα, Αερία, Αστερία, Δίσαμο και Εστώ. Επίσης Αφροδίτη, Διώνη, Μυχία, Κυθέρεια, άγνοια, αγένεια, ψεύδος, διαφορά, αδιακρισία, διαμάχη, έριδα, Μοίρα και Θάνατο».Πριν, εν τούτοις, αναπτύξουμε αυτές τις ονομασίες, είναι απαραίτητο να παρατηρήσουμε σχετικά με τη δυάδα ότι οι Πυθαγόρειοι, προτού αποδείξουν ότι το πλήθος υφίσταται στα νοητά, αναγκαστικά εξέτασαν την αιτία του πλήθους που υπάρχει εκεί. Βρήκαν λοιπόν ότι μεταξύ των γενών των όντων είναι η διαφορά, η οποία υφίσταται σύμφωνα με το μη ον αλλά ότι ανάμεσα στις αιτίες κατ' εξοχήν πρώτη είναι η αόριστη δυάδα. Ο Πυθαγόρας στον Ιερό Λόγο, λέει ο Συριανός, την αποκαλεί χάος και τη συνδέει με το νου, ονομασία που ο ίδιος αποδίδει στη μονάδα, την πρώτη από τις δυο μεγάλες αρχές 6 μετά από το άρρητο ένα..Η δυάδα είναι πράγματι παντού η αιτία του πλήθους, εφόσον παράγει πράγματα από το ένα με τις κατάλληλες διαφορές τους. Αλλά εφόσον είναι μια αρχή, υπάρχει επίσης στις διάφορες τάξεις των όντων μια κατάλληλη μονάδα- και βρίσκεται δυάδα σύμφυτη προς αυτή, η οποία γεννά έναν αριθμό κατάλληλο για αυτή. Κάθε αριθμός υφίσταται από τούτες τις δύο αρχές, τη μονάδα και τη δυάδα- αλλά ο περιττός αριθμός χαρακτηρίζεται περισσότερο από την ιδιότητα της μονάδας, ενώ ο άρτιος από την ιδιότητα της δυάδας. 
Στις γωνίες επίσης, η ορθή γωνία υφίσταται περισσότερο σύμφωνα προς τη μονάδα, ενώ η οξεία και η αμβλεία σύμφωνα προς την αόριστη δυάδα, στην οποία η υπεραφθονία και η έλλειψη είναι καταφανείς. Από τα σχήματα, ομοίως, εκείνα που χαρακτηρίζονται από ισότητα, ταυτότητα και ομοιότητα έχουν μεγαλύτερη σχέση με τη μονάδα- αλλά εκείνα στα οποία επικρατούν η ανισότητα, η διαφορά και η ανομοιότητα συνδέονται περισσότερο με τη δυάδα. Εν συντομία, κάθε σχήμα υφίσταται από αυτές τις δύο αρχές, διότι η σφαίρα, ο κύκλος, το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και ο κύβος, μετέχουν της δυάδας εξαιτίας της ποσότητας τους και της κατοχής διαστημάτων. 
Και πάλι, ο ξύλινος κορμός, οι βωμοί, τα σκαληνά τρίγωνα και τα ορθογώνια συμφωνούν με τη μονάδα, από την οποία λαμβάνουν το σχήμα τους. Οι Πυθαγόρειοι, λέει ο Συριανός, εξέταζαν τα γεγονότα και είδαν ότι οι ίδιες αρχές είχαν ανάλογη υπόσταση σε αυτά· και ότι αυτά είχαν την κατάλληλη μονάδα και δυάδα, την πρώτη ως αιτία της ταυτότητας τους, τη δεύτερη ως αιτία της διαφοράς και του πλήθους. Στους φυσικούς επίσης λόγους, ή παραγωγικές σπερματικές αρχές, τοποθέτησαν αποτελεσματικές αιτίες. 
Υπάρχει, επομένως, στη φύση μία παραγωγική αρχή που γεννά όλα τα χρώματα και άλλη μία που πραγματικά τελειοποιείται από αυτήν, παράγουν όμως μαζί το πλήθος και την ποικιλία των χρωμάτων αυτές είναι η μονάδα και η δυάδα των χρωμάτων. Σε άλλα επίσης γεγονότα, τα οποία τελειοποιούνται μέσω των φυσικών λόγων, θα βρεθούν μια μονάδα και μια δυάδα ανάλογες προς αυτά. Μετά από αυτές τις εξηγήσεις, ας στρέψουμε την προσοχή μας στις ονομασίες της δυάδας. Σχετικά με την ονομασία τόλμη πληροφορούμαστε από τον ανώνυμο συγγραφέα ότι η δυάδα ονομάστηκε έτσι «επειδή αυτή πρώτη αποχωρίστηκε τη μονάδα». 
Διότι όπως η κάθοδος της ψυχής στο σώμα και η εγκατάλειψη από μέρους της μιας νοητικής και θείας ζωής για μια παράλογη και θνητή κατάσταση ύπαρξης, μπορεί να ονομαστεί τόλμη, καθώς είναι κατά κάποια άποψη απρεπής τόλμη, έτσι και όσον αφορά την υπερβατική εξοχότητα της μονάδας· μια αποχώρηση από αυτήν, όπως από τον πατρικό βυθό και το άδυτον της θεόθρεπτης σιγής -όπως αποκαλείται στους Χαλδαϊκούς χρησμούς- μπορεί να ονομασθεί μεταφορικά αυθάδες εγχείρημα. 
Αλλά η δυάδα ονομάστηκε ύλη, επειδή είναι απροσδιόριστη και αιτία όγκου και διαίρεσης, καθώς ο Σιμπλίκιος παρατηρεί στο Υπόμνημα εις την Αριστοτέλους Φυσικήν Ακρόασιν. Και είναι η αιτία της ανομοιότητας, καθώς ως προς την πρώτη υπόστασή της είναι το άπειρον, από το οποίο εξαρτάται η ανομοιότητα κατά τον ίδιο τρόπο που η ομοιότητα εξαρτάται από το όριο. Και είναι το διάστημα ανάμεσα στο πλήθος και τη μονάδα, επειδή δεν είναι ακόμη τέλειο πλήθος, αλλά είναι σαν να το γεννά και σχεδόν να το αποκαλύπτει στο φως. 
Μια εικόνα αυτού βλέπουμε στη δυάδα της αριθμητικής. Διότι, καθώς ο Πρόκλος παρατηρεί θαυμάσια στα Σχόλια του στον 20ο και σε άλλους ορισμούς του πρώτου βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη: «Η δυάδα είναι το μέσο ανάμεσα στη μονάδα και τον αριθμό. Διότι η μονάδα παράγει περισσότερα με την πρόσθεση παρά με τον πολλαπλασιασμό· ενώ αντίθετα ο αριθμός αυξάνεται περισσότερο με τον πολλαπλασιασμό παρά με την πρόσθεση· και η δυάδα, είτε πολλαπλασιαζόμενη με τον εαυτό της, είτε προστιθέμενη με αυτόν, παράγει ίση ποσότητα».
Αποκαλούσαν επίσης τη δυάδα ίση, επειδή, λέει ο ανώνυμος συγγραφέας, «δύο συν δύο ισούται με δύο επί δύο»: δηλαδή η πρόσθεση του δύο στον εαυτό του ισούται με τον πολλαπλασιασμό του με τον εαυτό του. Αλλά είναι άνιση, ελλιπής και αφθονία όπως παρατηρεί ο ίδιος συγγραφέας, σύμφωνα προς τη σύλληψη της ύλης. Προσθέτει δε ότι οι Πυθαγόρειοι ονομάζουν την αόριστη δυάδα ύλη, επειδή, όπως της ταιριάζει, στερείται μορφής, σχήματος και συγκεκριμένου ορισμού και περιορίζεται από το λόγο και την τέχνη. 
Ομοίως, είναι μόνη άμορφη, επειδή, όπως παρατηρεί ο ανώνυμος συγγραφέας: «Από το τρίγωνο και την τριάδα πολυγωνικά σχήματα προβάλλουν εν ενεργεία επ' άπειρον από τη μονάδα όλα τα σχήματα υπάρχουν αμέσως εν δυνάμει· αλλά από δύο πράγματα, είτε είναι ορθές γωνίες ή ευθείες γραμμές, ποτέ δεν μπορεί να συντεθεί ένα ευθύγραμμο σχήμα». Αλλά η δυάδα ονομάστηκε απεριόριστη και αόριστη, επειδή στην πρώτη υπόστασή της είναι άπειρο, επομένως δεν έχει αρμόζον πέρας. 
Και καθώς αποδείξαμε ότι ονομαζόταν ίση, δεν είναι άξιον απορίας ότι ονομάστηκε «η αιτία του άρτιου» και επομένως ως αιτία τούτου λεγόταν ότι δεν είναι ούτε αρτιάκις άρτια, ούτε περισσάρτια, ούτε αρτιοπέρισση. Επιπροσθέτως, την αποκαλούσαν πηγή κάθε συμφωνίας, επειδή η δια πασών συμφωνία, που είναι η αρμονικότερη, σχηματίζεται από λόγο δύο προς ένα. Ονομάστηκε δε Ερατώ, «επειδή», λέει ο ανώνυμος συγγραφέας, «προσελκύει μέσω του έρωτα την προχώρηση της μονάδας ως μορφής, παράγοντας έτσι τα υπόλοιπα αποτελέσματα» (την γάρ της μονάδος, ώς είδους πρόσοδον δι' έρωτα επισπωμένη, τα λοιπά αποτελέσματα γεννά). 
Ως πηγή κάθε συμφωνίας είναι φανερό γιατί ονομάστηκε αρμονία. Αλλά ονομάστηκε υπομονή, επειδή, λέει ο ανώνυμος συγγραφέας, είναι το πρώτο πλήθος που αντέχει ή υποφέρει τον αποχωρισμό, δηλαδή διαχωρισμό από το άδυτο της μονάδας. Είναι επίσης ρίζα, αν και όχι κατά κάποια άποψη εν ενεργεία, επειδή είναι η μητέρα του αριθμού που γεννά, αλλά δεν είναι και αριθμός σε τέλεια ενέργεια. Ομοίως ονομάστηκε δύναμη, επειδή το πρώτο άπειρο είναι η πρώτη δύναμη. Και είναι οι πρόποδες της Ίδης που έχουν άφθονες πηγές, επειδή αυτή είναι η ρίζα του βασιλείου των ιδεών, ή μια νοητική ουσία. 
Διότι οι πρόποδες ενός όρους είναι το ίδιο με τα ριζά αυτού· και το όρος Ίδη, όπως ο Πρόκλος παρατηρεί στην Απολογία για τον Όμηρο, σημαίνει το βασίλειο των ιδεών. Επίσης ονομάστηκε Φάνης, ή νοητό, επειδή είναι η απόκρυφη δύναμη αυτού. Γενικά, μπορεί να ειπωθεί ότι είναι Δικαιοσύνη, Ίσις, Φύση, Ρέα, κ.λπ., επειδή, καθώς είναι θηλυκής φύσης, είναι η πηγή όλων των θεοτήτων που έχουν θηλυκά χαρακτηριστικά.Ομοίως, φαίνεται ότι ονομάστηκε Έρως για τον ίδιο λόγο για τον οποίο ονομάστηκε Ερατώ, επειδή δηλαδή επιθυμεί την προσχώρηση της μονάδας. Αλλά είναι άγνοια λόγω της υπόστασης της ως απείρου, για το οποίο υπάρχει πλήρης άγνοια. Τέλος είναι αγένεια, ψεύδος, διαφορά, κ.λπ., καθώς είναι ο ηγέτης της χειρότερης συνεργασίας των πραγμάτων.

Σχετικά με την Τριάδα
Ο Νικόμαχος, στα διασωθέντα από το Φώτιο αποσπάσμα­τα του, παρατηρεί σχετικά με τη τριάδα συμφωνώντας με τους Πυθαγόρειους τα ακόλουθα: Η τριάδα είναι ο πρώτος περιττός αριθμός εν ενεργεία, είναι ο πρώτος τέλειος αριθμός, είναι μέσο και αναλογία. Προκαλεί τη δύναμη της μονάδας να προχωρήσει σε ενέργεια και επέκταση. Αλλά είναι επίσης ο πρώτος των αριθμών και κυρίως σύστημα μονάδων. Ως εκ τούτου, οι Πυθαγόρειοι συσχετίζουν αυτόν τον αριθμό με τη φυσιολογία. Διότι η τριάδα είναι η αιτία εκείνου που έχει τριπλές διαστάσεις, δίνει όριο στο άπειρο των αριθμών, είναι όμοια και η ίδια, ομόλογη και ορισμένη. 
Η τριάδα επίσης είναι νους και είναι η αιτία καλής συμβουλής, νόηση και γνώση. Είναι επίσης η κυριότερη των αριθμών, η διδάσκουσα και η σύνθεση κάθε μουσικής. Ομοίως είναι ιδιαιτέρως η διδάσκουσα τη γεωμετρία, είναι αυθεντία σε οτιδήποτε αφορά την αστρονομία, τη φύση και τη γνώση των ουράνιων σωμάτων, τα συνδέει και τα οδηγεί σε δράση. Επίσης, κάθε αρετή εξαρτάται από αυτόν τον αριθμό και προβάλλει από αυτόν. Στη συνέχεια, σχετικά με τις μυθολογικές ονομασίες της, είναι ο Κρόνος και η Λητώ και το κέρας της Αμάλθειας.Είναι και ο Οφίων, η Θέτις και η Αρμονία, η Εκάτη, η Έρανα, και Χαρίτια και ανάμεσα στις Μούσες η Πολυμνία. Είναι επίσης Πλούτων και Λοξία, η άρκτος και η Ελίκη και ο αστερισμός που ποτέ δε δύει στο βυθό. Είναι Δαματράμη και Διοσκορία, Μήτις και Τρίδυμος, Τρίτων και το τέλειο της θάλασσας, Τριτογένεια και Αχελώος, Ναίτις και Αγυιόπεζα, Κουρήτις και Κραταιής, Συμένια και γάμος, Γοργονία και Φορκία, Τρίσαμος και Λύδιος.Αυτά αναφέρει ο Νικόμαχος. Ότι η τριάδα λοιπόν είναι ο πρώτος εν ενεργεία περιττός αριθμός, θα γίνει φανερό από την παρατήρηση ότι είναι πράγματι ο πρώτος αριθμός· γιατί ο αριθμός αυξάνεται περισσότερο με τον πολλαπλασιασμό παρά με την πρόσθεση, όπως προηγουμένως παρατηρήσαμε από τον Πρόκλο, και αυτό συμβαίνει με την τριάδα, αλλά δε συμβαίνει με τη δυάδα και τη μονάδα. Ότι είναι ο πρώτος τέλειος αριθμός, γίνεται φανερό από το ότι, όπως ο Αριστοτέλης παρατηρεί, τρία πράγματα συγκροτούν ένα όλον και το όλον είναι τέλειο, καθώς έχει αρχή, μέσο και τέλος. 
Αλλά η τριάδα είναι μέσο και αναλογία, επειδή κάθε αναλογία αποτελείται από τρεις όρους τουλάχιστον και οι αναλογίες καλούνταν από τους αρχαίους μέσα. Προκαλεί επίσης τη δύναμη της μονάδας να προχωρήσει σε ενέργεια και επέκταση, επειδή η μονάδα θεωρούμενη ως μη προχωρούσα είναι η ύπαρξη ή η κορυφή της ουσίας, και είναι γόνιμη εν δυνάμει· και κατά τρίτον αποκαλύπτει μέσω της ενέργειας το πλήθος στο φως. Ότι η τριάδα είναι η πρώτη των αριθμών το έχουμε ήδη αποδείξει. Λεγόταν δε και σύστημα μονάδων, επειδή κάθε σύστημα έχει πρώτο, μέσο και τελευταίο. Παρέχει δε πέρας στο άπειρο του αριθμού, επειδή είναι καθόλα τέλεια. 
Έτσι, από την καθόλα τέλεια φύση της είναι όμοια και ίδια, ομόλογη και ορισμένη. Ως ενέργεια επίσης, είναι νους· διότι ο νους είναι η πρώτη ενέργεια. Είναι η αιτία καλής συμβουλής, νόηση και γνώση, «επειδή», όπως παρατηρεί ο ανώνυμος συγγραφέας, «οι άνθρωποι ορθώς χρησιμοποιούν τις παρούσες καταστάσεις, προβλέπουν αυτές που είναι μελλοντικές και αποκτούν πείρα από τις παρελθούσες». Είναι επίσης η κυριότερη, επειδή είναι η πρώτη των αριθμών. Και είναι η διδάσκουσα και η σύνθεση κάθε μουσικής, επειδή η αρμονία περιέχει τρεις συμφωνίες, τη δια πασών, τη δια πέντε και τη δια τεσσάρων. 
Μπορεί ομοίως να ειπωθεί ότι είναι ιδιαιτέρως η διδάσκουσα τη γεωμετρία, επειδή το τρίγωνο είναι η αρχή όλων των σχημάτων. Σχετικά δε με την αυθεντία της τριάδας σε οτιδήποτε αφορά την αστρονομία, τη φύση και γνώση των ουράνιων σωμάτων και ότι αυτή τα συνδέει και τα οδηγεί σε δράση, αυτό θα γίνει φανερό με την παρατήρηση ότι υπάρχουν τρεις τετράδες ουράνιων ζωδίων, δηλαδή η απλανής, η πλανώμενη και η κοινή. Επίσης, σε κάθε σημείο του ζωδιακού κύκλου υπάρχουν τρεις όψεις και τρεις δεκανοί και οι τρεις κυβερνήτες κάθε τριπλότητας. 
Και ανάμεσα στους πλανήτες υπάρχουν τρεις μοίρες. Σύμφωνα με τους Χαλδαίους επίσης, υπάρχουν τρεις αιθερικοί κόσμοι προηγούμενοι της σφαίρας των απλανών. Και πληροφορούμαστε από τον ανώνυμο συγγραφέα ότι «κάθε μεταβίβαση θείων και θνητών φύσεων επιτελείται με την εκπομπή, την υποδοχή και την ανταπόδοση- οι αιθέριες φύσεις κατά κάποιον τρόπο παράγουν η περιοχή που περιβάλλει τη γη είναι κατά κάποιο τρόπο ο υποδοχέας και η ανταπόδοση συμβαίνει μέσω πραγμάτων που έχουν ενδιάμεση υπόσταση». 
(Ότι και ή σύμπασα διεξαγωγή θείων τε και θνητών εκ τε προέσεως, και υποδοχής, και τρίτον ανταποδόσεως κρατύνεται, σπερμαινόντων μέν τρόπον τινά των αιθέριων, υποδεχομένων δε ωσανεί των περιγείων, ανταποδόσεις δε διά των ανά μέσων τελουμένων»). Όσον αφορά τις μυθολογικές ονομασίες αυτού του αριθμού, εφόσον κανένα διασωζόμενο συγγραφικό έργο δεν έχει αποκαλύψει τη μυστική σημασία τους, θα παρατηρήσω μονάχα ότι οι διάφορες θεότητες που με τα ονόματα τους δοξάζεται η τριάδα, αναμφίβολα σχετίστηκαν με αυτήν εφόσον καθεμία από αυτές είναι τέλειας φύσης.
Σχετικά με την Τετράδα
Η τετράδα, όπως μαθαίνουμε από το Νικόμαχο, ονομαζόταν από τους Πυθαγόρειους «το μέγιστο θαύμα, Θεός κατ' άλλον τρόπο (από την τριάδα), πολύμορφη, ή μάλλον κάθε θεότητα. Είναι επίσης η πηγή των φυσικών αποτελεσμάτων και ο κλειδούχος της φύσης. Είναι η εισάγουσα και η αιτία της σύστασης και μονιμότητας των μαθηματικών επιστημών. Είναι ομοίως η φύση του Αίολου, είναι Ηρακλής και ανύψωση, η πιο ρωμαλέα, αρσενική και αρρενωπή. Είναι ο Ερμής και ο Ήφαιστος, Βάκχος και Σωρίτις, Μαιαδεύς ή Μαιάδης.
Διότι η τετράδα είναι ο γιος της Μαίας, δηλαδή της δυάδας. Είναι επίσης Εριούνιος, Σώκος, και Διόσκουρος, Βασσαρέων και Διμήτωρ, έχοντας για μητέρα της τη δυάδα. Είναι επίσης θηλυκής μορφής, είναι αιτιατή της αρρενωπότητας και διεγείρει βακχική μανία. Ομοίως είναι Αρμονίτα ή Αρμονία, και ανάμεσα στις Μούσες, η Ουρανία».Όσον αφορά την πρώτη από αυτές τις ονομασίες, «το μέγιστο θαύμα», είναι αναγκαίο να παρατηρήσουμε ότι η τετράδα στην πρώτη της υπόσταση είναι το άκρο της νοητής τριάδας, που ονομαζόταν από τον Ορφέα Φάνης και Πρωτογενής και από τον Πλάτωνα αυτόζωον (αφ' έαυτού υπάρχον). Σε αυτήν περιέχονται οι πρώτες ιδέες όλων των πραγμάτων. Και, όπως πληροφορούμαστε από τον Πρόκλο, είναι η πρώτη ρητή θεότητα, όλα πέραν αυτής είναι τελείως άρρητα. 
Έτσι, όλες οι νοητές τάξεις των Θεών, λέγεται από τον Ορφέα, έχουν μείνει έκθαμβες βλέποντας αυτή τη θεότητα να αποκαλύπτει τον εαυτό της στο φως μέσα από μυστική και άφατη σιωπή. Θαύμαζον καθορώντες εν αιθέρι φέγγος άελπτον, τω μεν απέστιλβε χρόος αθανάτοιο φάνητος. Έτσι σαν μια εκθαμβωτική, θαυμαστή και απροσδόκητη θεότητα, η τετράδα μπορεί να ειπωθεί μυθολογικά ότι είναι το μέγιστο θαύμα. Είναι δε Θεός κατ' άλλον τρόπο από την τριάδα, επειδή στην τριάδα γίνεται ορατό το πρώτο τέλειο, αλλά στην τετράδα όλες οι εγκόσμιες φύσεις συμπεριλαμβάνονται σύμφωνα με την αιτιότητα της αρχής. 
Ομοίως, επειδή η φύση της περιλαμβάνει τα πάντα, είναι πολύμορφη, ή μάλλον, κάθε θεότητα. Όπως επίσης, επειδή αυτή αιτιατός περιέχει όλες τις εγκόσμιες φύσεις, μπορεί πολύ ορθώς να ονομαστεί η πηγή των φυσικών αποτελεσμάτων. Επιπλέον, επειδή αυτή ανοίγει και κλείνει τις εσοχές της γέννησης, ονομάζεται, όπως παρατηρεί ο ανώνυμος συγγραφέας, ο κλειδούχος της φύσης, καθώς επίσης είναι η μητέρα των Θεών, που αναπαρίσταται με ένα κλειδί. 
Αλλά είναι η εισάγουσα και η αιτία της σύστασης και μονιμότητας των μαθηματικών επιστημών, επειδή αυτές είναι τέσσερις στον αριθμό, αριθμητική, γεωμετρία, μουσική και αστρονομία και επειδή οι πρώτοι αριθμοί και οι πρώτες μορφές υφίστανται στη νοητή τετράδα. Ομοίως λέγεται ότι είναι η φύση του Αίολου εξαιτίας της ποικιλίας των ιδιομορφιών της, σύμφωνα με τον ανώνυμο συγγραφέα, και επειδή χωρίς αυτήν θα ήταν αδύνατον να υφίσταται η εύτακτος και συμπαντική κατανομή των πραγμάτων. Σχετικά με τις άλλες ονομασίες της τετράδας, αφενός επειδή ο Μεούρσιους στο έργο του Πυθαγορικός. 
Δεκαδικός δεν έδωσε παρά λίγα αποσπάσματα από τον ανώνυμο συγγραφέα, μολονότι η πραγματεία του ομολογουμένως περιέχει εξήγηση αυτών των ονομάτων, αφετέρου επειδή δεν μπορώ να βρω ικανοποιητική ανάπτυξη αυτών σε κανένα αρχαίο συγγραφέα, εξαιρουμένης της ονομασίας Αρμονία, δε θα επιχειρήσω κάποια διασαφήνισή τους. Η τετράδα πολύ ορθώς ονομαζόταν από τους Πυθαγόρειους αρμονία, επειδή ο λόγος τέσσερα προς ένα σχηματίζει τη συμφωνία δις δια πασών.Αποκάλεσαν επίσης την τετράδα πρώτο ύψος, επειδή θεωρούσαν το σημείο ανάλογο προς τη μονάδα, τη γραμμή προς τη δυάδα, την επιφάνεια προς την τριάδα, και το στερεό προς την τετράδα. Ομοίως την ονόμασαν δικαιοσύνη, επειδή, όπως πληροφορούμαστε από τον Αλέξανδρο τον Αφροδισιέα, θεωρούσαν ότι το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της δικαιοσύνης είναι η επανόρθωση και η ισότητα ανακαλύπτοντας επομένως ότι αυτό υπάρχει στους αριθμούς, είπαν ότι ο πρώτος αρτιάκις άρτιος αριθμός είναι δικαιοσύνη. 
Διότι βεβαίωναν ότι εκείνο που είναι πρώτο σε πράγματα που έχουν την ίδια σχέση, είναι κύρια εκείνο που λέγεται πως υπάρχει. Και η τετράδα είναι αυτός ο αριθμός, επειδή, εφόσον αυτή είναι το πρώτο τετράγωνο, διαιρείται σε άρτιους αριθμούς και είναι άρτια. Επίσης, η τετράδα ονομαζόταν από τους Πυθαγόρειους «πας αριθμός», επειδή συμπεριλαμβάνει μέσα της όλους τους αριθμούς μέχρι τη δεκάδα και τη δεκάδα την ίδια- διότι το άθροισμα των 1, 2, 3 και 4, είναι 10. Για αυτό, τόσο η δεκάδα όσο και η τετράδα ονομάζονταν από αυτούς «πας αριθμός», η δεκάδα εν ενεργεία και η τετράδα εν δυνάμει. 
Ομοίως, το άθροισμα αυτών των τεσσάρων αριθμών συνέθετε την τετρακτύν, στην οποία περιλαμβάνονται όλες οι αρμονικές αναλογίες. Διότι το 4 προς 1, που είναι τετραπλός λόγος, σχηματίζει, όπως έχουμε ήδη παρατηρήσει, τη συμφωνία δις δια πασών ο λόγος του 3 προς το 2, που είναι ημιόλιος, σχηματίζει τη συμφωνία δια πέντε-ο λόγος 4 προς 3, που είναι επίτριτος, τη συμφωνία δια τεσσάρων και αυτός του 2 προς 1, που είναι διπλάσιος λόγος, σχηματίζει τη συμφωνία δια πασών.Επειδή οι Πυθαγόρειοι τιμούσαν ιδιαίτερα την τετρακτύν, είναι σωστό να αναφερθούμε σε αυτή πιο διεξοδικά και για το λόγο αυτό να δείξουμε, βασιζόμενοι στο Θέωνα τo Σμυρναίο πόσες τετρακτύες υπάρχουν: «Η τετρακτύς», λέει αυτός, «δεν ήταν μόνον πρωτίστως τιμώμενη από τους Πυθαγόρειους, επειδή όλες οι συμφωνίες εμπεριέχονται σε αυτήν, αλλά επειδή επίσης φαίνεται να περιέχει τη φύση όλων των πραγμάτων». Για αυτό και η ακόλουθη φράση ήταν ο όρκος τους: «Όχι, μα αυτόν που παρέδωσε στην ψυχή μας την τετρακτύν, η οποία περιέχει την πηγή και ρίζα της αιώνιας φύσης». 
Και με «αυτόν που παρέδωσε την τετρακτύν» εννοούν τον Πυθαγόρα- διότι το δόγμα που σχετίζεται με αυτήν, φαίνεται ότι υπήρξε δική του επινόηση. Η προαναφερθείσα τετρακτύς, επομένως, φαίνεται στη σύνθεση των πρώτων αριθμών 1, 2, 3, 4. Αλλά η δεύτερη τετρακτύς προκύπτει από την αύξηση μέσω πολλαπλασιασμού των άρτιων και περιττών αριθμών ξεκινώντας από τη μονάδα. Από αυτούς η μονάδα θεωρείται πρώτος, επειδή, όπως έχουμε ήδη παρατηρήσει, είναι η αρχή όλων των άρτιων, περιττών και αρτιάκις άρτιων αριθμών και η φύση αυτής είναι απλή. 
Αλλά οι τρεις επόμενοι αριθμοί λαμβάνουν τη σύνθεσή τους σύμφωνα με τον άρτιο και τον περιττό· επειδή κάθε αριθμός δεν είναι μόνο άρτιος, ούτε μόνο περιττός. Άρα, οι άρτιοι και οι περιττοί μετέχουν σε δυο τετρακτύες, σύμφωνα με τον πολλαπλασιασμό· πραγματικά, οι άρτιοι με ένα λόγο δυο προς ένα, εφόσον το 2 είναι ο πρώτος από τους άρτιους αριθμούς και αυξάνεται από τη μονάδα με διπλασιασμό. Αλλά ο περιττός αριθμός αυξάνεται με ένα λόγο τρία προς ένα, εφόσον το 3 είναι ο πρώτος από τους περιττούς αριθμούς και αυξάνεται από τη μονάδα με τριπλασιασμό. 
Επομένως, η μονάδα είναι κοινή και στους δυο αυτούς, καθώς είναι η ίδια άρτια και περιττή. Ο δεύτερος όμως αριθμός στους άρτιους και διπλάσιους αριθμούς είναι το 2· και στους περιττούς και τριπλάσιους το 3. Ο τρίτος στους άρτιους αριθμούς είναι το 4 και στους περιττούς είναι το 9· ο τέταρτος στους άρτιους αριθμούς είναι το 8 και στους περιττούς είναι το 27. Στους αριθμούς αυτούς βρίσκονται οι τελειότεροι λόγοι συμφωνιών σε αυτούς επίσης, συμπεριλαμβάνεται ο τόνος. Η μονάδα όμως περιέχει την παραγωγική αρχή του σημείου. 
Οι δεύτεροι αριθμοί 2 και 3 περιέχουν την αρχή της πλευράς, εφόσον είναι ασύνθετοι και πρώτοι, έχουν διαιρέτη τη μονάδα και εκ φύσεως μετρούν μια ευθεία γραμμή. Οι τρίτοι όροι 4 και 9 είναι εν δυνάμει μια τετράγωνη επιφάνεια, εφόσον είναι ισάκις ίσοι. Και οι τέταρτοι όροι 8 και 27 είναι εν δυνάμει κύβοι, καθώς είναι ισάκις ισάκις ίσοι 1 2. Έτσι, από αυτούς τους αριθμούς και αυτήν την τετρακτύν, η αύξηση λαμβάνει χώρα από ένα σημείο προς ένα στερεό. Διότι η πλευρά έπεται του σημείου, η επιφάνεια της πλευράς και το στερεό της επιφάνειας. Από τους αριθμούς αυτούς συνιστά την ψυχή ο Πλάτωνας στον Τίμαιο. 
Ο τελευταίος από αυτούς τους επτά αριθμούς, δηλαδή το 27, ισούται με όλους τους αριθμούς που προηγήθηκαν αυτού· διότι 1 + 2 + 3 + 4 + 8 + 9 = 27. Υπάρχουν επομένως δυο τετρακτύες αριθμών, η μία μέσω πρόσθεσης και η άλλη μέσω πολλαπλασιασμού, οι οποίες περικλείουν μουσικούς, γεωμετρικούς και αριθμητικούς λόγους, από τους οποίους συνίσταται η αρμονία του σύμπαντος. Η τρίτη τετρακτύς είναι εκείνη που σύμφωνα με την ίδια αναλογία συμπεριλαμβάνει τη φύση κάθε μεγέθους.
Γιατί ό,τι ήταν η μονάδα στην προηγούμενη τετρακτύν, είναι το σημείο σε αυτήν ό,τι ήταν στην προηγούμενη τετρακτύν οι αριθμοί 2 και 3, που είναι εν δυνάμει η πλευρά, είναι τα επεκτεινόμενα είδη μιας γραμμής, η κυκλική και η ευθεία, σε αυτήν την τετρακτύν. Πραγματικά, η ευθεία γραμμή υφίσταται σε συμφωνία με τον άρτιο αριθμό, εφόσον ορίζεται 1 3 από δυο σημεία· ενώ η κυκλική, σε συμφωνία με τον περιττό αριθμό, επειδή κατανοείται ως μια γραμμή που δεν έχει τέλος. Αλλά αυτό που στην προηγούμενη τετρακτύν ήταν οι τετράγωνοι αριθμοί 4 και 9, είναι σε αυτήν τα δυο είδη των επιφανειών, το ευθύγραμμο και το κυκλικό. 
Και ό,τι ήταν στην προηγούμενη οι κύβοι αριθμοί 8 και 27, ο ένας όντας άρτιος και ο άλλος περιττός αριθμός, είναι σε αυτή την τετρακτύν τα δυο στερεά, που το ένα έχει κοίλη επιφάνεια, όπως η σφαίρα και ο κύλινδρος, και το άλλο επίπεδη επιφάνεια, όπως ο κύβος και η πυραμίδα. Αυτή είναι η τρίτη τετρακτύς, που ολοκληρώνει κάθε μέγεθος, από το σημείο, τη γραμμή, την επιφάνεια και το στερεό. Η τέταρτη τετρακτύς είναι αυτή των απλών σωμάτων, της φωτιάς, του αέρα, του νερού και της γης, τα οποία έχουν αναλογία σύμφωνα με αριθμούς. Διότι αυτό που η μονάδα ήταν στην πρώτη τετρακτύν, είναι η φωτιά σε αυτήν. 
Η δυάδα είναι αέρας. Η τριάδα είναι νερό. Και η τετράδα είναι γη. Διότι αυτή είναι η φύση των στοιχείων σύμφωνα με την αραιότητα και πυκνότητα των μερών. Η φωτιά έχει προς τον αέρα το λόγο του 1 προς 2, προς το νερό το λόγο 1 προς 3 και προς τη γη το λόγο 1 προς 4. Υπό άλλες θεωρήσεις είναι επίσης ανάλογα μεταξύ τους. Η πέμπτη τετρακτύς είναι των σχημάτων των απλών σωμάτων. Διότι πράγματι η πυραμίδα είναι το σχήμα της φωτιάς, το οκτάεδρο του αέρα, το εικοσάεδρο του νερού και ο κύβος της γης. Η έκτη τετρακτύς είναι των πραγμάτων που υπάρχουν σύμφωνα με τη φυτική ζωή. Ο σπόρος είναι ανάλογος προς τη μονάδα και το σημείο. 
Εάν αυξηθεί σε μήκος, αναλογεί προς τη δυάδα και τη γραμμή· εαν σε πλάτος, προς την τριάδα και την επιφάνεια- και αν σε πυκνότητα, προς την τετράδα και το στερεό. Η έβδομη τετρακτύς είναι των κοινοτήτων, των οποίων πραγματικά η αρχή και μονάδα είναι ο άνθρωπος, η δυάδα είναι το σπίτι, η τριάδα ο δρόμος και η τετράδα η πόλη. Διότι ένα έθνος απαρτίζεται από αυτά. Αυτά είναι πράγματι η υλική και αισθητή τετρακτύς. Η όγδοη τετρακτύς αποτελείται από τις δυνάμεις που κρίνουν τα υλικά και αισθητά πράγματα και οι οποίες είναι κάποιας νοητής φύσης. Αυτές είναι ο νους, η επιστήμη, η γνώμη και η αίσθηση. 
Και πραγματικά, ο νους αντιστοιχεί ουσιαστικά στη μονάδα- η επιστήμη στη δυάδα, διότι επιστήμη είναι η επιστήμη κάποιου πράγματος. Η γνώμη υφίσταται ανάμεσα στην επιστήμη και την άγνοια- αλλά η αίσθηση είναι όπως η τετράδα. Διότι καθώς η αφή που είναι κοινή σε όλες τις αισθήσεις, είναι τετραπλή, όλες οι αισθήσεις ενεργοποιούνται σύμφωνα προς την επαφή. Η ένατη τετρακτύς είναι εκείνη από την οποία συντίθεται το ζώον, δηλαδή η ψυχή και το σώμα. Διότι, πράγματι, τα μέρη της ψυχής είναι το λογικό, το θυμικό και το επιθυμητικό, ή εκείνο που επιθυμεί το εξωτερικό καλό, και το τέταρτο είναι το σώμα μέσα στο οποίο υπάρχει η ψυχή.Η δέκατη τετρακτύς είναι των εποχών του έτους, στη διάρκεια των οποίων όλα τα πράγματα γεννιούνται, δηλαδή η άνοιξη, το καλοκαίρι, το φθινόπωρο και ο χειμώνας. Και η ενδέκατη είναι των ηλικιών του ανθρώπου, δηλαδή του νήπιου, του έφηβου, του άντρα και του γέρου. Συνεπώς, υπάρχουν έντεκα τετρακτύες. Η πρώτη είναι εκείνη που υφίσταται σύμφωνα με τη σύνθεση των αριθμών. Η δεύτερη σύμφωνα με τον πολλαπλασιασμό των αριθμών. Η τρίτη υπάρχει σύμφωνα με το μέγεθος. Η τέταρτη είναι των απλών σωμάτων. Η πέμπτη είναι των σχημάτων. 
Η έκτη είναι των πραγμάτων που υπάρχουν σύμφωνα με τη φυτική ζωή. Η έβδομη είναι των κοινοτήτων. Η όγδοη είναι της κριτικής δύναμης. Η ένατη είναι των μερών ενός ζώου. Η δέκατη είναι των εποχών του έτους. Και η ενδέκατη είναι των ηλικιών του ανθρώπου. Όλε ς τους όμως έχουν αναλογίες μεταξύ τους. Διότι εκείνο που είναι η μονάδα στην πρώτη και δεύτερη τετρακτύν, είναι το σημείο στην τρίτη, η φωτιά στην τέταρτη, η πυραμίδα στην πέμπτη, ο σπόρος στην έκτη, ο άνθρωπος στην έβδομη, ο νους στην όγδοη και κατά όμοια αντιστοιχία για τις υπόλοιπες. 
Δηλαδή η πρώτη τετρακτύς είναι 1, 2, 3, 4. Η δεύτερη είναι η μονάδα, η πλευρά, το τετράγωνο και ο κύβος. Η τρίτη είναι το σημείο, η γραμμή, η επιφάνεια και το στερεό. Η τέταρτη είναι φωτιά, αέρας, νερό, γη. Η πέμπτη είναι η πυραμίδα, το οκτάεδρο, το εικοσάεδρο και ο κύβος. Η έκτη είναι ο σπόρος, το μήκος, το πλάτος και το βάθος. Η έβδομη είναι ο άνθρωπος, το σπίτι, ο δρόμος, η πόλη. Η όγδοη είναι νους, επιστήμη, γνώμη, αίσθηση. Η ένατη είναι το λογικό, το θυμικό, το επιθυμητικό και το σώμα. Η δέκατη είναι η άνοιξη, το καλοκαίρι, το φθινόπωρο, ο χειμώνας. Η ενδέκατη είναι το νήπιο, ο έφηβος, ο άντρας και ο γέρος.Ο κόσμος επίσης που συντίθεται από αυτές τις τετρακτύες είναι τέλειος, καθώς είναι αρμονικά διευθετημένος με γεωμετρική, αρμονική και αριθμητική αναλογία, περιλαμβάνοντας κάθε δύναμη, κάθε φύση του αριθμού, κάθε μέγεθος και κάθε απλό και σύνθετο σώμα. Είναι τέλειος, επειδή όλα τα πράγματα είναι μέρη αυτού, αλλά αυτός ο ίδιος δεν αποτελεί μέρος κάποιου άλλου πράγματος. Λέγεται ότι οι Πυθαγόρειοι χρησιμοποίησαν πρώτοι τον προαναφερθέντα όρκο και αποφάνθηκαν ότι «όλα τα πράγματα μοιάζουν με αριθμό».Επίσης, οι Πυθαγόρειοι, όπως μαθαίνουμε από τον ανώνυμο συγγραφέα, κατέταξαν σε τέσσερις τάξεις τις αρετές τόσο της ψυχής όσο και του σώματος. Αυτές της ψυχής είναι φρόνηση, σωφροσύνη, ανδρεία και δικαιοσύνη· και οι αντίστοιχες του σώματος είναι οξύτητα των αισθήσεων, υγεία, δύναμη και ομορφιά. Και στα εξωτερικά πράγματα, ευημερία, δόξα, κυριαρχία και φιλία είναι τα αντικείμενα της επιθυμίας.Επίσης, οι φημισμένες τέσσερις αιτίες του Αριστοτέλη αναφέρονται στην τετράδα, η θεότητα ως η αιτία ή ποιητικό αίτιο, λόγω της οποίας (υφ' ού), η ύλη από την οποία (έξ' ού), η μορφή διά της οποίας (δι' ού) και το αποτέλεσμα προς το οποίο (πρός ό). Επιπλέον, ο ανώνυμος συγγραφέας επισημαίνει ότι στην τετράδα παρατηρούνται η συσσώρευση και η αφθονία κατά τον ίδιο τρόπο όπως το πλήθος στην τριάδα, για αυτό το λόγο λέει, αποκαλούμε τους ζωντανούς τρισευλογημένους εξ αιτίας της ευτυχίας τους, αλλά τους νεκρούς, που έχουν ανταλλάξει με τον καλύτερο τρόπο αυτή τη ζωή για την επόμενη, τετράκις ευλογημένους. Αυτά αρκούν σχετικά με την τετράδα.
Σχετικά με την Πεντάδα
Η πεντάδα, σύμφωνα πάντα με τα αποσπάσματα του Νικόμαχου, ονομαζόταν από τους Πυθαγόρειους αφιλονικία και αήττητη, συνάφεια ή αλλαγή ποιότητας, φως και δικαιοσύνη, και το ελάχιστο άκρο της ζωτικότητος. Ομοίως Νέμεσις και Βουβάστεια, εκδίκηση και Αφροδίτη, Γαμηλία και Ανδρογυνία, Κυθηρεία και Ζωναία, κυκλικό και ημίθεος, πύργος του Δία, Διδυμαία και σταθερός άξονας. Την τιμούν επίσης με μεγαλοπρέπεια ως αθάνατη και Παλλάδα, Καρδιάτιν και ηγέτιδα, Ακρεώτιν και ισορροπία, άγαμη και Ορθιάτιν, και από τις Μούσες είναι η Μελπομένη.Από αυτά τα ονόματα, τα τέσσερα πρώτα εξηγούνται ως εξής από τον ανώνυμο συγγραφέα: «Η πεντάδα», λέει, «είναι αλλαγή ποιότητας, επειδή αλλάζει εκείνο το οποίο εκτείνεται τριπλά ή που έχει μήκος, πλάτος και ύψος κατά την ομοιότητα μιας σφαίρας, ως συνέπεια του ότι κινείται κυκλικά και παράγει φως. Για αυτό επίσης ονομάζεται φως. Είναι δε αφιλονικία, επειδή συνθέτει και ενώνει όλα τα πράγματα που διαχωρίζονταν προηγουμένως από διάστημα και εξαιτίας της σύζευξης και της συμφιλίωσης των δυο ειδών (των αριθμών, δηλαδή των άρτιων και των περιττών, εφόσον η πεντάδα αποτελείται από το 3 και το 2). 
Και είναι δικαιοσύνη, επειδή η πεντάδα αποκαλύπτει στον ύψιστο βαθμό τη δικαιοσύνη στο φως». Ο Αλέξανδρος Αφροδισιεύς στο Σχόλιο του πάνω στο 7ο κεφάλαιο του πρώτου βιβλίου από τα Μετά τα Φυσικά του Αριστοτέλη ισχυρίζεται ότι η πεντάδα ονομαζόταν από τους Πυθαγόρειους αήττητη. «Επειδή», λέει αυτός, «στο πρώτο ορθογώνιο τρίγωνο που οι πλευρές του είναι ρητοί 1 5 η μια από τις πλευρές είναι 3, η άλλη είναι 4 και η βάση είναι 5· η βάση εν δυνάμει ισούται και με τις δύο άλλες πλευρές· για αυτό το λόγο την αποκαλούσαν οι Πυθαγόρειοι νικηφόρα και τις άλλες δύο πλευρές ηττημένες. 
Η πεντάδα, επομένως, ονομαζόταν από αυτούς αήττητη, όντας αξεπέραστη και όντας ανώτερη». Ο ανώνυμος συγγραφέας παρουσιάζει επίσης τη σημασία αυτής της ονομασίας ως ακολούθως: «Οι Πυθαγόρειοι ονόμαζαν την πεντάδα αήττητη, όχι μόνον επειδή το πέμπτο στοιχείο, ο αιθέρας, που κατατάσσεται ανάλογος προς την πεντάδα και που έχει μια αμετάβλητη ομοιότητα ύπαρξης, λήγει τη διαμάχη και τη μεταβολή των στοιχείων που υπάρχουν κάτω από αυτόν μέχρι τη γη, αλλά επειδή επίσης αυτή συμφιλιώνει και ενώνει τα πρώτα δυο είδη αριθμών που διαφέρουν, τον περιττό και τον άρτιο (δηλαδή το 3 και το 2), αποβαίνουσα η ίδια το σύστημα της σύζευξης τους».
Ο ίδιος συγγραφέας εξηγεί και το λόγο για τον οποίο η πεντάδα ονομαζόταν το ελάχιστο άκρο της ζωτικότητας: «Εφόσον σύμφωνα με τους φυσιολόγους υπάρχουν τρία πράγματα που παράγουν ζωή μετά τη στερεοποίηση, δηλαδή η φυτική, η ψυχική και η λογική δύναμη· και η λογική κατατάσσεται σύμφωνα με την εβδομάδα, ενώ η ψυχική δύναμη σύμφωνα με την εξάδα, άρα η φυτική δύναμη εμπίπτει κατ' ανάγκη στην κατάταξη της πεντάδας- έτσι ώστε η πεντάδα είναι κάποιο ελάχιστο άκρο της ζωτικότητας».Ο ίδιος επίσης μας πληροφορεί ότι οι Πυθαγόρειοι ονόμαζαν την πεντάδα Νέμεση, επειδή αυτή κατανέμει κατά ορθό τρόπο πράγματα ουράνια και θεία και τα φυσικά στοιχεία. Η πεντάδα ονομαζόταν επίσης από τους Πυθαγόρειους Δικαιοσύνη για δυο λόγους, όπως πληροφορούμαστε από τον Πρόκλο (Σχόλια εις Ησιόδου Έργα και Ημέραι), σχετίζεται δηλαδή με τη δικαιοσύνη, είτε επειδή τιμωρεί κάποια παράβαση και απομακρύνει την ανισότητα κατοχής, είτε επειδή εξισώνει εκείνο που είναι μικρότερο και ευεργετεί. Και την ονόμασαν Αφροδίτη, σύμφωνα με τον ανώνυμο συγγραφέα, επειδή οι αρσενικοί και οι θηλυκοί αριθμοί αναμιγνύονται. 
Κατά τον ίδιο τρόπο, προσθέτει αυτός, την αποκαλούσαν Γαμηλία, επειδή η πεντάδα πρώτη συμπεριλαμβάνει το είδος κάθε αριθμού, δηλαδή το 2, τον πρώτο άρτιο, και το 3, τον πρώτο περιττό αριθμό. Ονομάστηκε επίσης γάμος, καθώς συνίσταται από το αρσενικό και το θηλυκό, ενώ την αποκαλούσαν Ανδρογυνία, επειδή όντας περιττός αριθμός, είναι αρσενικού χαρακτήρα. Αλλά την ονόμασαν κυκλική, επειδή όπως έχουμε ήδη παρατηρήσει, είναι κατ' εξοχήν κυκλικός και σφαιρικός αριθμός. 
Ομοίως την αποκαλούσαν ημίθεο, όπως μας πληροφορεί ο ανώνυμος συγγραφέας, όχι μόνον επειδή είναι το μισό της δεκάδας, που είναι ένας θείος αριθμός, αλλά επειδή στο σωστό της διάγραμμα κατατάσσεται στο μέσον. Η ονομασία Δίδυμος ή Διδυμέα, διπλή, δόθηκε επειδή αυτή χωρίζει τη δεκάδα, που άλλως είναι αδιαίρετη, σε δυο μέρη. Αλλά την αποκαλούσαν, προσθέτει ο ίδιος συγγραφέας, αθάνατη και Παλλάδα, επειδή αντιπροσωπεύει την πέμπτη ουσία (τον αιθέρα, του οποίου η Παλλάδα προΐσταται).Επιπλέον, μας πληροφορεί ότι την ονόμαζαν Καρδιάτιν ή Κορδιάλιν λόγω ομοιότητας προς την καρδιά των ζώων, η οποία κατατάσσεται στο μέσο. Την αποκαλούσαν επίσης, σύμφωνα με τον ίδιο πάντα συγγραφέα, Πρόνοια και Δικαιοσύνη, επειδή εξισώνει τα άνισα πράγματα. Όπως η δικαιοσύνη είναι ένα μέσο ανάμεσα στην υπερβολή και την έλλειψη, ομοίως το 5 είναι ο μέσος όλων των αριθμών, οι οποίοι απέχουν εξίσου από αυτό προς τις δυο πλευρές μέχρι τη δεκάδα, κάποιοι από αυτούς το υπερβαίνουν και κάποιοι υπερβαίνονται από αυτό.Διότι εδώ, όπως στο μέσο του ζυγού μιας ζυγαριάς, το 5 δεν ξεφεύγει από τη γραμμή της ισορροπίας, ενόσω η μία σκάλα ανεβαίνει και η άλλη κατεβαίνει. Στην ακόλουθη διάταξη επίσης, δηλαδή 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, θα βρεθεί ότι το άθροισμα των αριθμών που έπονται του 5 είναι τριπλάσιο του αθροίσματος εκείνων που προηγούνται του 5· διότι 6 + 7 + 8 + 9=30 και 1 + 2 + 3 + 4=10. Εάν, επομένως, οι αριθμοί σε κάθε πλευρά του 5 αντιπροσωπεύουν το ζυγό μιας ζυγαριάς και το 5 τη γλωττίδα αυτής, όταν ένα βάρος κατεβάζει το ζυγό, μια αμβλεία γωνία παράγεται ανάμεσα στο κατεβασμένο μέρος και τη γλωττίδα, ενώ μια οξεία γωνία από το ανεβασμένο μέρος του ζυγού. 
Έτσι, είναι χειρότερο να προκαλείς, παρά να υποφέρεις αδικία· και οι αδικοΰντες κλίνουν προς τα κάτω, προς τα βασίλεια της κόλασης, ενώ οι αδικημένοι τείνουν προς τα πάνω, προς τους Θεούς, ικετεύοντας τη θεία βοήθεια. Άρα, το νόημα της Πυθαγορικής παρότρυνσης είναι φανερό, «Μην υπερβαίνεις το ζυγό». Εφόσον όμως η αδικία σχετίζεται με την ανισότητα, προκειμένου να εξαλειφθεί είναι αναγκαία η εξίσωση, ώστε ο ζυγός να μπορεί να παραμείνει και στις δυο πλευρές χωρίς κλίση. Η εξίσωση αυτή επιτυγχάνεται με την πρόσθεση και την αφαίρεση. 
Έτσι εάν το 4 προστεθεί στο 5 και αφαιρεθεί επίσης από το 5, ο αριθμός 9 θα παραχθεί στην μια πλευρά και το 1 στην άλλη, το καθένα από τα οποία απέχει εξίσου από το 5. Αν επίσης το 3 προστεθεί στο 5 και ομοίως αφαιρεθεί από αυτό, το 7 και το 3 θα παραχθούν. Προσθέτοντας το 1 στο 5 και αφαιρώντας το από αυτό, το 6 και το 4 θα προκύψουν. Σε όλα αυτά τα παραδείγματα, οι αριθμοί που παράγονται απέχουν εξίσου από το 5 και το άθροισμα κάθε ζεύγους ισούται με 10.Πληροφορούμαστε επίσης από τον Πλούταρχο, στην πραγματεία του Περί της Γένεσης της Ψυχής σύμφωνα με τον Πλάτωνα, ότι οι Πυθαγόρειοι ονόμαζαν την πεντάδα τροφό, το οποίο υποδηλώνει έναν ήχο, επειδή θεωρούσαν ότι το πρώτο από τα διαστήματα ενός (μουσικού) τόνου που είναι ικανό να παράγει ήχο είναι το πέμπτο. Ο Πλούταρχος, στην πραγματεία του σχετικά μ£ το Ει των Δελφών, αναφέρει ότι η πεντάδα αποκαλείτο από τους Πυθαγόρειους φύση, «επειδή πολλαπλασιαζόμενη με τον εαυτό της λήγει πάλι στον εαυτό της. 
Διότι όπως η φύση δέχεται το σιτάρι σε σπόρο και επεκτεινόμενη στο μέσο παράγει πολλά σχήματα και μορφές, μέσω των οποίων επιτυγχάνει το (επιθυμητό) αποτέλεσμα, αλλά στο τέλος παρουσιάζει σιτάρι, αποκαθιστώντας την αρχή στο τέλος όλης της μεταλλαγής, ομοίως, ενώ άλλοι αριθμοί όταν πολλαπλασιάζονται με τον εαυτό τους, λήγουν αυξανόμενοι σε άλλους αριθμούς, το 5 και το 6 μόνον, όσες φορές πολλαπλασιάζονται με τους εαυτούς τους, παρουσιάζουν και διατηρούν τους εαυτούς τους».
Σχετικά με την Εξάδα
Οι Πυθαγόρειοι, όπως μαθαίνουμε από τα αποσπάσματα του Νικόμαχου, ονόμαζαν την εξάδα «είδος είδους, το μόνο αριθμό που ταιριάζει στην ψυχή, ευδιάκριτη ένωση των μερών του σύμπαντος, ψυχοποιό και αιτία που παράγει τη ζωτική έξη. Επίσης είναι αρμονία, τελειοποίηση των μερών, και πολύ ορθά είναι η ίδια η Αφροδίτη. Είναι επίσης Ζυγία και Γαμηλία και Ανδρογύναια. Ομοίως είναι Ζυγίτις, καλοκαγαθία, ειρήνη, φιλία, υγεία, Άκμων και αλήθεια. Ανάμεσα στις Μοίρες είναι η Λάχεσις και την αποκαλούν αρχή και το μισό του όλου. 
Επίσης ονομαζόταν εκατηβελέτις και Τριοδίτις, σχετική με δυο χρόνους και Περσέα, τρίμορφη, Αμφιτρίτη και Αγχίδικος, από τις Μούσες η Θάλεια, καθώς και Πανάκεια». Όσον αφορά την πρώτη από αυτές τις ονομασίες, είδος είδους, ο Μεούρσιους δυστυχώς παρέλειψε να αναφέρει από τον ανώνυμο συγγραφέα το λόγο για τον οποίο καλείται έτσι, όντας ένας απλός λογοκόπος που ικανοποιείται αποσπώντας από το συγγραφέα τις λέξεις «είδος ούν είδους ουκ άν διαμάρτοιμεν αυτήν ηγούμενοι», δηλαδή, «δε θα σφάλλουμε αν θεωρήσουμε αυτήν ως είδος είδους». 
Ίσως όμως, ονομάστηκε έτσι επειδή το τέλειο είναι εκείνο που χαρακτηρίζει όλα τα είδη ή ιδέες και το 6 είναι ο πρώτος τέλειος αριθμός εν ενεργεία. Οι Πυθαγόρειοι έλεγαν πως η εξάδα είναι ο μόνος αριθμός που αρμόζει στην ψυχή, επειδή η ψυχή, όντας το συνδετικό μέσο ή δεσμός των νοητών και αισθητών, σχετίζεται κατ' εξοχήν με την Αφροδίτη, η οποία -όπως μας πληροφορεί ο Πρόκλος στο Υπόμνημα εις τον Πλάτωνος Παρμενίδην- «ενώνει το πλήθος των νοητών και όλων των όντων» (τήν έν τώ πλήθει κοινωνίαν παρεχόμενη τοις τε νοητοίς, καί πάσι τοις ούσιν). 
Από τον ανώνυμο συγγραφέα επίσης μαθαίνουμε ότι αποκαλούσαν την εξάδα ευδιάκριτη ένωση των μερών του σύμπαντος, επειδή η ψυχή είναι όπως η ζώσα μορφή της άμορφης ύλης. Και προσθέτει ότι κανείς αριθμός δεν ταιριάζει περισσότερο στην ψυχή από την εξάδα, ή πιο ορθά, μπορεί να ειπωθεί ότι είναι η ψυχοποιός, επειδή έχει βρεθεί ότι παράγει τη ζωτική έξη, από όπου επίσης αντλεί την ονομασία της (ευρισκομένη και της ζωτικής έξεως εμποιητική, παρ' ό εξάς). Για τον ίδιο λόγο ονομάζεται αρμονία, επειδή ακριβώς κάθε ψυχή είναι αρμονική. 
Ο ίδιος συγγραφέας σημειώνει ότι «η εξάδα ονομαζόταν τελειοποίηση των μερών από τους Πυθαγόρειους -οι οποίοι αποκαλώντας την έτσι ακολούθησαν τον Ορφέα- είτε επειδή μόνο το έξι από όλους τους αριθμούς της δεκάδας ισούται με τα μέλη ή μέρη του, είτε επειδή το όλον και το σύμπαν διανέμεται σύμφωνα προς τον αριθμό αυτό και διευθετείται αρμονικά».
Η εξήγηση των επιθέτων γαμηλία και Ανδρογύναια, τα οποία στον ανώνυμο συγγραφέα είναι «γάμος» και «αρρενοθήλυς», είναι ότι «η εξάδα παράγεται από τη δύναμη και τον πολλαπλασιασμό του πρώτου περιττού και του πρώτου άρτιου αριθμού, που είναι αρσενικό και θηλυκό αντίστοιχα και έτσι ονομάζεται αρρενοθήλυς, δηλαδή αρσενικό και θηλυκό. Ομοίως, αποκαλείται γάμος επειδή είναι η ίδια ίση με τα μέρη της, έργο δε του γάμου είναι να γεννά γόνους όμοιους προς τους γονείς». 
Το επίθετο «φιλοτησία», καλοκαγαθία, στον ανώνυμο συγγραφέα απαντάται ως «φιλίωσις», δηλαδή φιλία και αγάπη, «και», λέει αυτός, «ορθά ονομάζεται έτσι επειδή αυτή συνενώνει το αρσενικό και το θηλυκό». Επιπλέον, ο ανώνυμος συγγραφέας μας πληροφορεί ότι «ηεξάδα ονομαζόταν υγεία και κάλλος εξαιτίας της πληρότητας και της συμμετρίας των μερών της». Διότι η υγεία είναι συμμετρία και ύπαρξη σύμφωνη προς τη φύση των μερών του σώματος. 
Ομοίως από τον ίδιο συγγραφέα μαθαίνουμε ότι «την αποκαλούσαν Άκμωνα, εννοώντας ακαταπόνητη (τήν οίον ακάματον), επειδή τα πρώτιστα τρίγωνα των κοσμικών στοιχείων συμμετέχουν σε αυτήν, καθώς το καθένα τους γίνεται έξι, αν τμηθεί από τρεις καθέτους». Η ονομασία αλήθεια πιθανόν της αποδόθηκε επειδή αλήθεια είναι η αρμονική σύζευξη εκείνου που γνωρίζει με αυτό που γίνεται γνωστό· και η εξάδα, όπως δείξαμε προηγουμένως, είναι κατ' εξοχήν αρμονική. Και πάλι, σύμφωνα με τον ανώνυμο συγγραφέα, ονομαζόταν βάλλουσα μακράν (εκατηβηλέτις), Τριοδίτις και σχετική με δύο χρόνους. 
Το πρώτο από αυτά της αποδόθηκε επειδή η τριάδα είναι η Εκάτη που βάλλει (βολήσασαν) και κατά κάποιο τρόπο ενώνεται με άλλη μια τριάδα και παράγει την εξάδα. «Ονομάστηκε δε Τριοδίτις,» λέει ο ίδιος, «ίσως από τη φύση της θεάς. Είναι πιθανό ότι ονομάστηκε έτσι επειδή πρώτος αυτός ο αριθμός διαθέτει τις κινήσεις των τριών διαστάσεων (μήκος, πλάτος και ύψος), καθεμία από τις οποίες λαμβάνει μια διπλή διαίρεση από τις περιστάσεις· (δηλαδή η κίνηση κατά μήκος είναι είτε πίσω είτε εμπρός, κατά πλάτος είναι είτε δεξιά είτε αριστερά, και κατά ύψος είναι είτε πάνω είτε κάτω). 
Αλλά ονομάστηκε σχετική με δύο χρόνους από τη διαίρεση ολόκληρου του χρόνου, βάσει των έξι σημείων του ζωδιακού πάνω και των έξι κάτω από τη γη. Ή, επειδή ο χρόνος είναι συναφής προς την τριάδα, εφόσον αποτελείται από τρία μέρη και η εξάδα σχηματίζεται από δυο τριάδες».Τα ονόματα Περσέα και τρίμορφη της δόθηκαν για τον ίδιο λόγο που ονομαζόταν Τριοδίτις· διότι είναι πολύ γνωστό ότι η Άρτεμις είναι τρίμορφη και η θεά αυτή ονομάστηκε Περσεία από τον Ορφέα στην εισαγωγή των ύμνων του. Πληροφορούμαστε επίσης από τον ανώνυμο συγγραφέα ότι η εξάδα ονομαζόταν Αμφιτρίτη, επειδή έχει μια τριάδα σε κάθε πλευρά της· και Αγχίδικος (εγγύς της δίκης) επειδή αυτή είναι ιδιαίτερα κοντινή στην πεντάδα, η οποία καθώς ήδη έχουμε αναφέρει, ονομαζόταν από τους Πυθαγόρειους δίκη ή Δικαιοσύνη.Τέλος, ο ίδιος συγγραφέας μας πληροφορεί ότι ονομαζόταν Θάλεια και Πανάκεια, το πρώτο εξαιτίας της αρμονίας της σύνθεσης της. Αυτό το συμπεραίνω από τις λέξεις «διά τήν των ετέρων αρμονίαν», «εξαιτίας της αρμονίας των διαφορετικών», εφόσον ο ίδιος συγγραφέας προσθέτει ότι «πολύ πριν από αυτό την αποκαλούσαν κόσμο, επειδή ο κόσμος, όπως ακριβώς το 6, φαίνεται συχνά ότι αποτελείται από αντίθετα, διευθετημένα αρμονικά». 
Και το έξι συγκροτείται από πολλαπλασιασμό των δύο αντίθετων αριθμών 2 και 3, που το ένα είναι άρτιο και το άλλο περιττό, το ένα είναι ανάλογο προς το αρσενικό και το άλλο προς το θηλυκό. Τέλος το όνομα Πανάκεια της δόθηκε για τους ίδιους λόγους που της δόθηκε και η ονομασία υγεία, ή επειδή ως «πανάρκεια» ήταν επαρκώς εφοδιασμένη με μέρη προς την τελειοποίηση του όλου της. 

Σχετικά με την Επτάδα
Η επτάδα, όπως πληροφορούμαστε από τον ανώνυμο συγγραφέα και Συγγραφέα των Ετυμολογικών, ονομάστηκε έτσι από το ρήμα σέβω, που υποδηλώνει σεβασμό, όντας κάποια σεπτάς, ως θεία και χωρίς μητέρα και παρθένα (σεπτάς τις ούσα, ως θεία και αμήτωρ και παρθένος). Και οι ονομασίες που δόθηκαν σε αυτήν από τους Πυθαγόρειους, καθώς μαθαίνουμε από τα αποσπάσματα που έχει παραθέσει ο Νικόμαχος, είναι οι ακόλουθες: 
«Τύχη και Καιρός, Αθηνά, Άρη ς και Ακρεώτις, Αγγελία και Ατρυτώνη, Φυλακίτις και Οβριμοπάτρη ή θυγατέρα ενός ισχυρού πατέρα, Τριτογένεια και Γλαυκώπις ή γαλανομάτα, Αλαλκομενία και Παντευχία, Ερ γάνη και Πολυάρετη ή ταλαντούχα, ακεραιότητα των μερών, και το κέρας της Αμάλθειας, Αιγίς και Όσιρις, όνειρο και φωνή, ήχος, και από τις Μούσες η Κλειώ. Στα παραπάνω επίσης μπορούν να προστεθούν, κρίση και Αδράστεια».Τα επίθετα Τύχη, καιρός, Αθηνά, Τριτογένεια και φωνή, εξηγούνται από τον ανώνυμο συγγραφέα ως εξής: «Η επτάδα καλείται Αθηνά, επειδή, όπως λένε οι μύθοι για τη θεά, είναι παρθένα και άγαμη· δε γεννήθηκε ούτε από μητέρα, που είναι ο άρτιος αριθμός, ούτε από πατέρα, που είναι ο περιττός αριθμός, αλλά όπως η Αθηνά γεννήθηκε από το κεφάλι του πατέρα όλων των πραγμάτων, έτσι και η επτάδα προέρχεται από τη μονάδα, την κεφαλή ή κορυφή των αριθμών. Και μοιάζει με κάποια αρρενωπή Αθηνά, γιατί ο αριθμός που μπορεί εύκολα να διαιρεθεί, είναι θηλυκός. 
Επίσης, ονομάστηκε καιρός, επειδή οι αποφασιστικές της ενέργειες σε θέματα υγείας ή ασθένειας, γέννησης ή φθοράς, επιτελούνται σε σύντομο χρόνο. Και είναι Τύχη επειδή, κατά παρόμοιο τρόπο με όσα λέγονται για τούτη τη θεά στους μύθους, κυβερνά τις θνητές υποθέσεις, και κατά κάποιον τρόπο αιτιωδώς και ευκαιριακά εμφανίζεται και αποφασίζει. Ομοίως, ονομάζεται φωνή, επειδή υπάρχουν επτά στοιχειώδεις φθόγγοι, όχι μόνο στην ανθρώπινη φωνή, αλλά και σε κάθε οργανικό, επίγειο και αρμονικό ήχο. 
Τούτο συμβαίνει, όχι μόνο επειδή οι πρώτοι αρμονικοί ήχοι εκπέμπονται, καθώς μαθαίνουμε, από επτά πλανήτες, αλλά επίσης επειδή το πρώτο διάγραμμα με μουσικούς είναι το επτάχορδο. Ονομάζεται δε Τριτογένεια, επειδή τα είδη ή μέρη της ψυχής, αν και είναι τρία, δηλαδή το λογικό, το θυμικό και το επιθυμητικό, γεννούν τέσσερις τελειότατες αρετές, ακριβώς όπως από τις τρεις διαστάσεις (μήκος, πλάτος και ύψος) υπάρχουν τέσσερα όρια στη σωματική ανάπτυξη (δηλαδή το σημείο, η γραμμή, η επιφάνεια και το στερεό)».Όσο ν αφορά το επίθετο Αγγελία, ο ίδιος συγγραφέας μας πληροφορεί ότι «η επτάδα ονομάστηκε έτσι διότι συλλέχθηκε και συναθροίστηκε (από του συνειλήσθαι και συνήχθαι) σε μια αυτοτελή φύση, εφόσον δε διαιρείται παρά μόνο από εκείνο προς το οποίο είναι ομώνυμη. Ή ονομάστηκε έτσι, επειδή όλα τα φυσικά αποτελέσματα οδηγούνται μέσω αυτής σε τελειοποίηση (ή από του πάντα αγαγεναι δι' αυτής τα φυσικά αποτελέσματα εις τελείωσιν). 
Άλλη εκδοχή, περισσότερο προσαρμοσμένη στη διδασκαλία των Πυθαγορείων, είναι ότι ονομάστηκε έτσι, επειδή οι πιο διάσημοι Βαβυλώνιοι, μεταξύ αυτών ο Οστάνης και ο Ζωροάστρης, πολύ ορθώς αποκαλούν τις αστρικές σφαίρες αγέλες (αγέλαι)· είτε επειδή μόνο αυτές μεταξύ των σωματικών μεγεθών περιφέρονται τέλεια γύρω από ένα κέντρο, είτε -κατ' αντιστοιχία με τους Χρησμούς- επειδή θεωρούνται κατά έναν τρόπο σύνδεσμοι και συλλέκτες των φυσικών αιτιών, οπότε στους ιερούς λόγους τους αποκαλούνται επίσης αγέλαι, και με την προσθήκη ενός γάμμα, άγγελοι.
Για αυτό, ομοίως ονομάζουν τα αστέρια και τους δαίμονες που κυβερνούν καθεμία από αυτές τις αγέλες (ή αστρικές σφαίρες) αγγέλους και αρχαγγέλους, που είναι επτά στον αριθμό». Επιπλέον, ο ίδιος συγγραφέας μας πληροφορεί ότι «η επτάδα ονομαζόταν Φυλακίτις, όντας προστατευτικής φύσης, όχι μόνο επειδή οι προαναφερθέντες άγγελοι και αρχάγγελοι είναι επτά ηγέτες, αλλά και επειδή οι αστέρες που φρουρούν το σύμπαν και το διατηρούν σε συνοχή και αιώνια μονιμότητα είναι επτά στον αριθμό». Τα επίθετα Οβριμοπάτρη και Γλαυκώπις είναι φανερό ότι προήλθαν από τη συσχέτιση της επτάδας με την Αθηνά.Το ισχύει και για τους προσδιορισμούς Παντευχία και Εργάνη. Διότι η Αθηνά, ως μια από τους Κουρήτες, λατρευόταν με την πρώτη από τις ονομασίες αυτές, που σημαίνει ότι είναι εφοδιασμένη με πλήρη πανοπλία. Έτσι, το επίθετο πάντευχος δόθηκε σε αυτήν από τους Χαλδαϊκούς Χρησμούς. Ο Πλάτωνας επίσης στους Νόμους λέει ότι αυτή είναι στολισμένη με πλήρη πανοπλία (πανοπλία παντελεί κοσμηθείοα). Και Εργάνη ή τεχνίτρα είναι ακόμη ένα πολύ γνωστό όνομα της Αθηνάς.Ονομάστηκε δε η επτάδα το κέρας της Αμάλθειας, πιθανώς για τον ίδιο λόγο με την τριάδα, από τη συνάφεια της προς τη μονάδα, την πηγή κάθε θείου αγαθού. Αλλά φαίνεται ότι ονομάστηκε Αιγίς, επειδή η Αθηνά ετιμάτο ως αιγιφόρος θεά, και αυτό, όπως μας πληροφορεί ο Πρόκλος στο Υπόμνημα εις Πλάτωνος Τίμαιον, επειδή η αλυσίδα της Μοίρας που όλα τα ενώνει, κινείται από αυτή τη θεά, από την οποία επίσης προέρχονται όλες οι εύπλαστες ενέργειές της. Τέλος, η επτάδα αποκαλέσθηκε, όπως μαθαίνουμε από τον ανώνυμο συγγραφέα, Τελεσφόρος και Κρίση, το πρώτο επειδή ο έβδομος μήνας είναι γόνιμος και το τελευταίο επειδή στις ασθένειες η έβδομη μέρα είναι η κρίσιμη.
Σχετικά με την Ογδοάδα
«Ο αριθμός οκτώ», λέει ο ανώνυμος συγγραφέας, «είναι ο πρώτος κύβος εν ενεργεία και είναι ο μόνος αρτιάκις άρτιος αριθμός μέσα στη δεκάδα». Η δύναμη του αριθμού αυτού είναι τόσο μεγάλη που σύμφωνα με μια ελληνική παροιμία, «όλα είναι οκτώ». Αυτή η παροιμία, όπως μας πληροφορεί ο προαναφερθείς συγγραφέας, προήλθε από το γεγονός ότι όλα τα πράγματα γίνονται κατανοητά στην όγδοη ουράνια σφαίρα.Σύμφωνα με τα αποσπάσματα από το Νικόμαχο, τα ονόματα που δόθηκαν στον αριθμό αυτό από τους Πυθαγόρειους είναι τα ακόλουθα: «Παναρμόνιος και Καδμεία, μητέρα και Ρέα, παραγωγική αιτία των θηλυκών και Κυβέλη, Κυβήβη και Δινδυμήνη, προστάτιδα θεά, αγάπη και φιλία, Μήτις σύλληψη και Ορεία, Θέμις, νόμος, ανωριμότητα και από τις Μούσες η Ευτέρπη».Όσον αφορά το «Παναρμόνιος», το πρώτο από τα επίθετα, ο Καμεράριους (Camerarius) μας πληροφορεί (χωρίς αμφιβολία από το έργο του ανώνυμου συγγραφέα που αναφέρθηκε παραπάνω) ότι οι Πυθαγόρειοι διέκριναν μουσικούς λόγους από αυτόν τον αριθμό και σύμφωνα με αυτούς εξήγησαν το εγκόσμιο σύστημα, ως ακολούθως: Ο λόγος του 9 προς το 8 είναι επόγδοος. Αυτός σχηματίζει έναν τόνο και αποδίδεται στη σελήνη. Ο λόγος του 12 προς το 9 είναι επίτριτος και ο λόγος του 12 προς το 8 είναι ημιόλιος. 
Οι λόγοι αυτοί αποδίδονται στον πλανήτη Ερμή. Κατά όμοιο τρόπο ο λόγος του 16 προς το 12 είναι επιτέταρτος και του 16 προς το 8 είναι δύο προς ένα και αποδίδονται στον πλανήτη Αφροδίτη. Ο λόγος του 18 προς το 12 είναι ημιόλιος, του 18 προς το 9 δύο προς ένα και αποδίδονται στον Ήλιο. Ο λόγος του 21 προς 9, που είναι διπλασιεπίτριτος, αποδίδεται στον πλανήτη Άρη. Ο λόγος του 24 προς 18, που είναι επιτέταρτος, του 24 προς 12, που είναι δύο προς ένα, του 24 προς 8, που είναι τρία προς ένα, καθώς και οι λόγοι του 18 προς το 12 και του 12 προς το 8, οι οποίοι είναι ημιόλιοι, αποδίδονται όλοι στο Δία. 
Οι λόγοι του 32 προς 24, που είναι επίτριτος, και του 32 προς 8, που είναι τέσσερα προς ένα, αποδίδονται στον Κρόνο. Τέλος, ο λόγος του 36 προς 24, ο οποίος είναι ημιόλιος, του 36 προς 9, ο οποίος είναι τέσσερα προς ένα, και του 24 προς 18 ο οποίος είναι επίτριτος, αποδίδονται στην όγδοη ή σταθερή σφαίρα, που συμπεριλαμβάνει όλες τις άλλες. Για αυτό το λόγο η ογδοάδα ονομάστηκε από τους Πυθαγόρειους Καδμεία, επειδή η Αρμονία λέγεται ότι ήταν η γυναίκα του Κάδμου. Και Κάδμος, καθώς μαθαίνουμε από τον Ολυμπιόδωρο, είναι ο επίγειος κόσμος.Όσον αφορά τα ονόματα μητέρα, Ρέα, Κυβέλη και Δινδυμήνη αναμφίβολα αποδίδονταν στην ογδοάδα, η οποία ήταν ο πρώτος κύβος· και ο κύβος είναι το στοιχείο της γης στο οποίο συμμετέχει η Ρέα, που είναι ίδια θεότητα με τη Δήμητρα και λατρευόταν ως Κυβέλη και Δινδυμήνη. Όπως επίσης η Ρέα είναι η ζωογονούσα θεά, η ζωή που πηγάζει από αυτή πρέπει να έχει θηλυκά χαρακτηριστικά· άρα είναι φανερός ο λόγος για τον οποίο η ογδοάδα τιμάται ως η παραγωγική αιτία των θηλυκών. Το όνομα Κυβέλη, μητέρα των θεών, της δόθηκε επειδή ήταν η αιτία θείας έμπνευσης για τους μυστικιστές.Επίσης ο ανώνυμος συγγραφέας μας πληροφορεί ότι αποκαλούσαν τον αριθμό αυτό Ευτέρπη, επειδή είναι η πλέον μεταβλητή (μάλιστα εύτρεπτος) από όλους τους αριθμούς μέσα στη δεκάδα, καθώς είναι αρτιάκις άρτια, και αυτό μέχρι τη μονάδα που είναι φυσικά αδιαίρετη. Από το Μακρόβιο επίσης μαθαίνουμε ότι «η ογδοάδα ονομαζόταν από τους Πυθαγόρειους δικαιοσύνη, επειδή είναι ο πρώτος αριθμός που αναλύεται σε αρτιάκις άρτιους αριθμούς, δηλαδή σε τέσσερα και τέσσερα, που το καθένα τους μπορεί επιπλέον να διαιρεθεί σε αριθμούς αρτιάκις άρτιους, δηλαδή σε δύο και δύο. 
Η σύνθεσή της επίσης είναι της ίδιας ποιότητας όπως η ανάλυση της διότι είναι δυο φορές το δύο επί δύο. Εφόσον επομένως η σύνθεση της προέρχεται από μια άρτια ισότητα και η ανάλυση της επιστρέφει εξίσου μέχρι τη μονάδα, η οποία δε διαιρείται με ένα αριθμητικό λόγο, η ογδοάδα επάξια κατέχει την ονομασία της δικαιοσύνης εξαιτίας της ισομερούς διαίρεσης της».
Σχετικά με την Εννεάδα
Σύμφωνα με τα αποσπάσματα του Νικόμαχου, η εννεάδα ετιμάτο από τους Πυθαγόρειους ως «ρέουσα γύρω από τους άλλους αριθμούς εντός της δεκάδος, όπως ο ωκεανός. Επίσης, ονομαζόταν από εκείνους ορίζοντας, Προμηθέας και Ομόνοια, Περσεία και Άλιος, ανεικία και ομοίωση, Ήφαιστος και Ήρα, η αδελφή και σύζυγος του Δία, Εκάεργος και Παιάν, Νυσσηίς και Αγυιάτις, Ενυάλιος και Αγελία, Τριτογένεια και Πειθώ, Κουρήτις και Περσεφόνη, Υπερίων, και από τις Μούσες η Τερψιχόρη».Από τις ονομασίες αυτές, ο ωκεανός και ο ορίζοντας εξηγούνται από τον ανώνυμο συγγραφέα ως εξής: «Ότ ι δεν μπορεί να υπάρξει κανένας αριθμός εκτός της εννεάδας και ότι αυτή τους περικλείει όλους μέσα της, γίνεται φανερό από την επαναφορά των αριθμών. Διότι η φυσική πορεία τους είναι μέχρι το 9, κατόπιν λαμβάνει χώρα η αναστροφή τους· το 10 γίνεται σαν να ήταν πάλι η μονάδα. Έτσι, αν από καθένα από τους αριθμούς 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 και 19 αφαιρεθεί ο αριθμός 9, οι αριθμοί που απομένουν θα είναι 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. 
Και αντίστροφα, η πρόοδος θα αυξάνεται με την πρόσθεση του 9. Αν δηλαδή στον καθένα από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, προστεθεί το 9, οι αριθμοί που θα παραχθούν θα είναι 10, 11, 12, 13, 14, κ.λπ. Ομοίως, εάν αφαιρέσουμε από το 20 το διπλάσιο του 9, από το 30 το τριπλάσιο του 9, από το 40 το τετραπλάσιο του 9, από το 50 το πενταπλάσιο του 9, τότε θα παραχθούν οι αριθμοί 2, 3, 4, 5, 6, κ.λπ. Επίσης, αφαιρώντας από το 100 το ενδεκαπλάσιο του 9, επιστρέφουμε πάλι στη μονάδα. Κατά τον ίδιο τρόπο μπορούμε να συνεχίσουμε επ' άπειρον. Άρα, δεν είναι δυνατό να υπάρχει κάποιος στοιχειώδης αριθμός πέραν της εννεάδας. 
Ως εκ τούτου, οι Πυθαγόρειοι την αποκάλεσαν ωκεανό και ορίζοντα, επειδή όλοι οι αριθμοί περιλαμβάνονται σε αυτή και περιστρέφονται εντός της. Για τον ίδιο λόγο ονομάστηκε Άλιος (παρά το αλίζειν), ομόνοια και Περσεία, επειδή αυτή συγκεντρώνει όλους τους αριθμούς και τους συνδέει σε ένα, και δεν επιτρέπει να διασκορπιστεί η ένωση των αριθμών πέραν αυτής». Σχετικά με την ονομασία Προμηθέας, πληροφορούμαστε από τον ανώνυμο συγγραφέα ότι η εννεάδα έλαβε αυτό το όνομα επειδή δεν επιτρέπει σε κανέναν αριθμό, εκτός των εννέα που βρίσκονται στις θέσεις των μονάδων, να προηγείται αυτής (από του μή εάν τινά πρόσω αυτής χωρείν αριθμόν).
Και προσθέτει: «Και αυτό είναι εύλογο· διότι, καθώς είναι τρεις φορές τέλεια, δεν επιδέχεται καμία αύξηση· αλλά καθώς απαρτίζεται από δύο κύβους, δηλαδή το 1 και το 8, και είναι η ίδια τετράγωνο, είναι ο μόνος αριθμός μέχρι τον εαυτό της που έχει τρίγωνο για πλευρά του». Ο ίδιος συγγραφέας μας πληροφορεί ότι η εννεάδα ονομαζόταν ανεικία εξαιτίας της ανταπόδοσης και της μετάθεσης των αριθμών από αυτή μέχρι τη μονάδα. Με αυτό υποθέτουμε ότι αναφέρεται στην εξίσωση μέσω πρόσθεσης και αφαίρεσης.
Και λέει ότι ίσως ονομάστηκε ομοίωση επειδή το 9 είναι ο πρώτος περιττός τετράγωνος αριθμός. Λέγεται δε ότι το είδος του περιττού αριθμού είναι εξομοιωτικό μέσω του όλου του, ενώ το είδος του άρτιου αριθμού είναι ανόμοιο. Επιπλέον, ο τετράγωνος αριθμός είναι εξομοιωτικός, ενώ ο ετερομήκης είναι ανόμοιος. Ίσως πάλι ονομάστηκε έτσι, επειδή είναι κυρίως όμοια προς την πλευρά της. Διότι, όπως η πλευρά της κατέχει την τρίτη θέση στη φυσική ακολουθία των αριθμών, ομοίως η εννεάδα είναι ο τρίτος αριθμός σε μια πρόοδο σύμφωνη με αναλογία.Και συνεχίζει λέγοντας πως ονομάστηκε Ήφαιστος επει­δή η πορεία των αριθμών μέχρι το 9 είναι όπως η πορεία των πραγμάτων που αποσυντίθενται από τη φωτιά μέχρι τη σφαίρα του πυρός (δηλαδή την κορυφή του αέρα). Ονομάστηκε δε Ήρα, επειδή η σφαίρα του αέρα κατατάσσεται σύμφωνα με αυτόν τον αριθμό. Και την αποκάλεσαν αδελφή και σύζυγο του Δία, εξαιτίας της σύνδεσης της με τη μονάδα· ενώ Εκάεργο επειδή εμποδίζει την παραπέρα πρόοδο των αριθμών (από του είργειν την εκάς πρόβασιν του αριθμού). 
Το επίθετο Νυσσηίς κατά τον ανώνυμο συγγραφέα είναι Νυσσηίτα· και μας πληροφορεί ότι η εννεάδα ονομάστηκε έτσι, επειδή διεισδύει (από του επινύσσαν) και κατατάσσεται σαν κάποιο όριο στην πρόοδο των αριθμών. Ο Μαρτιάνους Κάπελα μας πληροφορεί ότι η επωνυμία Ενυάλιος, η οποία υποδηλώνει τον Άρη, δόθηκε στην εννεάδα, επειδή είναι το άκρο της πρώτης σειράς των αριθμών (δηλαδή των αριθμών της δεκάδας)· και ότι το τέλος όλων των πραγμάτων προέρχεται από τον Άρη .
Όσο για τα επίθετα Κουρήτις και Περσεφόνη, μαθαίνουμε από τον ανώνυμο συγγραφέα ότι η εννεάδα κατέχει αυτές τις ονομασίες επειδή απαρτίζεται από τρεις τριάδες· η τριάδα σχετίζεται τόσο με τους Κουρήτες όσο και με την Περσεφόνη. Από τον ίδιο συγγραφέα μαθαίνουμε ότι ονομάστηκε Υπερίων, επειδή προχώρησε σε ένα μέγεθος που υπερβαίνει τους άλλους αριθμούς (μέσα στη δεκάδα)· και Τερψιχόρη, επειδή τρέπει και προκαλεί την επαναφορά και τη σύγκλιση των παραγωγικών αρχών σαν σε κυκλικό χορό (από τού τρέπειν και ως χορόν ανακυκλούν την των λόγων παλιμπέτειαν και σύνευσιν). 
Ο ίδιος συγγραφέας μας πληροφορεί ότι ονομαζόταν και Τελεσφόρος, ή φέρουσα σε τέλος, επειδή τελειοποιεί και ολοκληρώνει τους γόνους που γεννιούνται σε εννέα μήνες· και επίσης τέλεια, επειδή παράγεται από την τριάδα, η οποία είναι τέλεια. Η εννεάδα ομοίως μπορεί να ειπωθεί ότι είναι τελειοποιός, όπως μαθαίνουμε από τον Πρόκλο στο Υπόμνημα εις τον Πλάτωνος Τίμαιον, «επειδή αυτή ολοκληρώνει τη δημιουργία της γένεσης». 
Διότι, λέει ο ίδιος, «αυτός ο αριθμός αρμόζει στη γένεση (δηλαδή στο επίγειο βασίλειο)· εφόσον αυτή προχωρά από τη μονάδα μέχρι τους τελευταίους αριθμούς χωρίς παλινδρόμηση· και αυτή είναι η ιδιαιτερότητα της γένεσης». Αρκετά λοιπόν με τις ονομασίες της εννεάδας.
Σχετικά με τη Δεκάδα
Η δεκάδα, σύμφωνα με τα αποσπάσματα του Νικόμαχου, ονομαζόταν από τους Πυθαγόρειους, «κόσμος, ουρανός, ειμαρμένη, αιωνιότητα, κράτος, πίστη, ανάγκη, Άτλας, ακαταπόνητη, Θεός, Φάνης, ο ήλιος, Ουρανία, μνήμη και Μνημοσύνη». Ο ανώνυμος συγγραφέας μας πληροφορεί ότι η πρώτη από αυτές τις ονομασίες, κόσμος, δόθηκε στη δεκάδα «διότι όλα τα πράγματα είναι διευθετημένα σύμφωνα με αυτήν, τόσο καθολικά όσο και μερικά». Και όπως παρατηρεί ο Πρωτοσπαθάριος (στις Ημέρες του Ησιόδου) ονομάστηκε δεκάδα, διότι περιέχει μέσα της κάθε αριθμό (ώς δεχομένην πάντα αριθμόν έφ' εαυτού). 
Ο Πρόκλος ομοίως μας πληροφορεί ότι «η δεκάδα, όπως λέει ο Πυθαγόρειος ύμνος, αυτός ο θείος αριθμός προχωρά από τα άφθαρτα καταφύγια της μονάδας, μέχρις ότου φθάσει στη θεία τετράδα, η οποία γέννησε τη μητέρα όλων των πραγμάτων, τα πάντα δεχόμενη, σεβάσμια, όριο όλων των πραγμάτων, αναλλοίωτη και ακαταπόνητη, που και οι αθάνατοι Θεοί όσο και οι γεννημένοι στη γη άνθρωποι ονομάζουν ιερή δεκάδα». 
Και ο Πρόκλος προσθέτει ότι «η μονάδα και τα άφθαρτα καταφύγια της υποδηλώνουν σε αυτούς τους στίχους εκείνη την αμετάβλητη και απόκρυφη αιτία, το ένα όν (που χαρακτηρίζεται δηλαδή από το ένα και που είναι η κορυφή της νοητικής τάξης), ενώ η θεία τετράδα είναι η εξέλιξη προς το φως του νοητικού πλήθους, που αποκαλύπτεται από τη δυάδα, που είναι ανάμεσα στη μονάδα και την τετράδα, και η δεκάδα είναι ο κόσμος, που δέχεται τις εικόνες όλων των θείων αριθμών, που ουράνια μεταδίδονται σε αυτήν».Η δεκάδα ονομάστηκε ουρανός, όπως μαθαίνουμε από τον ανώνυμο συγγραφέα, «διότι είναι το τελειότατο όριο του αριθμού και πήρε το όνομα δεκάς, σαν να ήταν δεχάς, δέκτης, όπως ακριβώς ο ουρανός είναι υποδοχέας όλων των πραγμάτων». Όσον αφορά το επίθετο ειμαρμένη, πληροφορούμαστε από τον ίδιο συγγραφέα ότι «αποκαλούσαν έτσι τη δεκάδα επειδή δεν υπάρχει καμία ιδιότητα, ούτε στους αριθμούς, ούτε στα πράγματα που υπάρχουν σύμφωνα προς τη σύνθεση του αριθμού, που να μην περιέχεται εν σπέρματι μέσα στη δεκάδα και τους αριθμούς εντός της. 
Αυτή εκτείνεται με συνοχή και συνέχεια στους αριθμούς που έπονται. Έτσι είναι ειμαρμένη, καθώς απομακρύνεται από τη μονάδα συγκροτημένα και ορθά διευθετημένη». Ομοίως, όπως η δεκάδα εμπεριέχει κάθε αριθμό και οι αριθμοί είναι άπειροι, πιθανώς εξαιτίας αυτού επονομάστηκε αιωνιότητα· διότι αιωνιότητα είναι η άπειρη ζωή. Λέω πιθανώς, διότι ο Μεούρσιους ανόητα παραλείπει τους λόγους που αναφέρονται από τον ανώνυμο συγγραφέα για αυτές τις ονομασίες, όπως επίσης για εκείνες της πίστης και της ανάγκης. 
Όσο για την ονομασία Άτλας, ο ανώνυμος συγγραφέας παρατηρεί ότι «η δεκάδα έλαβε αυτό το όνομα ως μνεία στον Τιτάνα Άτλα ντα, ο οποίος μυθολογείται ότι στηρίζει τους ουρανούς πάνω στους ώμους του. Ο Όμηρος αναφέρει για αυτόν: Και οι ψηλές στήλες που πάνω τους τη γη αυτός σηκώνει, στον έναστρο θόλο καταλήγουν και τις σφαίρες στηρίζουν. Αλλά η δεκάδα διαφυλάσσει την αιτία ή τις παραγωγικές αρχές των σφαιρών, σαν κάποια διάμετρος, συμπλεκόμενη και εμπεριέχουσα αυτές με τον πιο συγκροτημένο τρόπο». 
Όσον αφορά το όνομα Φάνης, καθώς η δεκάδα ονομάστηκε κόσμος και καθώς ο Φάνης, που υπάρχει ως το άκρο της νοητής τάξης, είναι το παράδειγμα του κόσμου, είναι φανερός ο λόγος για τον οποίο της αποδόθηκε αυτή η επωνυμία. Μπορούμε δε να προσθέσουμε ότι ο Φάνης, ο οποίος είναι το αυτόζωον του Πλάτωνα, εμπεριέχει τις πρώτες ιδέες, οι οποίες είναι τέσσερις και το 4 είναι παραδειγματικούς ή αιτιατώς το 10. Από τον ανώνυμο συγγραφέα μαθαίνουμε ότι την αποκαλούσαν κράτος, επειδή οι επίγειες φύσεις υποστηρίζονται από αυτήν και επειδή αυτή φαίνεται να κυβερνά τους άλλους αριθμούς. 
Είναι επίσης οχυρό και δέκτης όλων των αιτιών ή παραγωγικών αρχών, από όπου και καλείται κλειδούχος. Ομοίως, σύμφωνα με τον Κεδρηνό, «ονομάστηκε κλαδούχος ή η φέρουσα τους κλάδους, επειδή όλοι οι αριθμοί (κατόπιν αυτής) βλαστάνουν από αυτήν, σαν κλαδιά». Σύμφωνα με τον Ανατόλιο, καθώς μαθαίνουμε από τον ανώνυμο συγγραφέα, «η δεκάδα ονομάστηκε κράτος και παντέλεια, επειδή αυτή οριοθετεί κάθε αριθμό, εμπεριέχοντας τη φύση του άρτιου και του περιττού, του κινητού και του ακίνητου, του κακού και του αγαθού».
Τέλος, σύμφωνα με τον Χαλκίδιο στον Τίμαιο του Πλάτωνα, η δεκάδα ονομάστηκε από τους Πυθαγόρειους το πρώτο τετράγωνο, επειδή αυτή αποτελείται από τους πρώτους τέσσερις αριθμούς, 1, 2, 3 και 4. Έχουμε ήδη παρατηρήσει ότι όλοι οι αριθμοί περιστρέφονται στον αριθμό 9 -εξαιτίας αυτού ονομάστηκε από τους Πυθαγόρειους ωκεανός και ορίζοντας- ώστε αυτός είναι πράγματι παρωνύμιο της μονάδας. Ως εκ τούτου, μπορεί να φανεί περίεργο ότι και η δεκάδα θα πρέπει να θεωρείται ανάλογη προς τη μονάδα. 
Ο λόγος εντούτοις για αυτό είναι ότι ο πρώτος γόνος της μονάδας είναι ομοίως η μονάδα, η οποία περιέχει πιο εκτεταμένα όλα όσα υφίστανται με μεγαλύτερη συστολή και σαν υπήρχαν εν σπέρματι στην προηγούμενη μονάδα. Επομένως, τόσο η εννεάδα όσο και η δεκάδα είναι μονάδες· αλλά στην πρώτη όλοι οι αριθμοί υπάρχουν πιο συνεκτικά, ενώ στην τελευταία περισσότερο διασκορπισμένα και διαχωρισμένα.
Επιπρόσθετες  παρατηρήσεις  για τους αριθμούς
Οι Πυθαγόρειοι, λέει ο Πλούταρχος στην πραγματεία του Περί Ίσιδος και Οσίριδος, κοσμούσαν τους αριθμούς και τα σχήματα με τις ονομασίες των Θεών. Πράγματι αποκαλούσαν το ισόπλευρο τρίγωνο Αθηνά Κορυφαγένη (ή γεννημένη από την κορυφή) και Τριτογένεια, επειδή διαιρείται από τρεις καθέτους που φέρονται από τις τρεις γωνίες. Ονόμαζαν τη μονάδα ή το ένα Απόλλωνα, επειδή πείστηκαν από έναν προφανή λόγο (επειδή ο Απόλλωνας υποδηλώνει απομόνωση από το πλήθος και την απλότητα της μονάδας).Επίσης, αποκάλεσαν τη δυάδα διαμάχη και τόλμη· και την τριάδα δικαιοσύνη. Διότι εφόσον το βλάπτειν και το βλάπτεσθαι υφίστανται σύμφωνα με την υπερβολή και την έλλειψη, η δικαιοσύνη, εξαιτίας της ισότητας, είναι μια μέση κατάσταση. Αλλά αυτό που ονομάζεται τετρακτύς, όντας ο αριθμός 36, ήταν, σύμφωνα με κοινή μαρτυρία, ο μεγαλύτερος όρκος ανάμεσα τους. Ονομαζόταν δε ο κόσμος, επειδή συγκροτείτο από τους πρώτους τέσσερις άρτιους και τους πρώτους τέσσερις περιττούς αριθμούς.Στην ίδια πραγματεία, λέει: «Μυθολογείται από τους Αιγυπτίους ότι ο θάνατος του Οσίριδος συνέβη τη 17η ημέρα του μήνα, περίοδο κατά την οποία είναι ιδιαίτερα φανερό ότι η σελήνη είναι στη γέμιση. Για αυτό οι Πυθαγόρειοι ονομάζουν αυτή την ημέρα αντίπραξις, εμπόδιο ή αντίθεση και αποστρέφονται πλήρως τον αριθμό αυτό. Διότι το 17, ως μέσος ανάμεσα στον τετράγωνο 16 και τον επιμήκη 18 (οι μόνοι επίπεδοι αριθμοί που έχουν τις περιμέτρους τους ίσες με τα περιεχόμενα εμβαδά τους), τους φέρνει σε σύγκρουση και διαχωρίζει τον ένα από τον άλλο, και διαιρούμενος σε άνισα μερίδια σχηματίζει τον επόγδοο λόγο»· (δηλαδή με μία διαίρεση στο 9 και το 8).Το ότι οι περίμετροι των δύο αυτών αριθμών 16 και 18 είναι ίσες προς τα εμβαδά τους είναι φανερό. Διότι το 16 είναι ένα τετράγωνο που κάθε πλευρά του είναι 4 και ο αριθμός των πλευρών είναι 4. Και το 18 μπορεί να θεωρηθεί ως ένα παραλληλόγραμμο που οι τέσσερις πλευρές του είναι 6, 6, 3, 3, το άθροισμα των οποίων είναι 18. Έχει παρατηρηθεί από το Μαρτιάνους Κάπελα ότι αν ο αριθμός 5 πολλαπλασιαστεί είτε με τον εαυτό του, είτε με οποιονδήποτε περιττό αριθμό, το γινόμενο πάντοτε λήγει σε 5. 
Έχω επίσης επισημάνει ότι το 6, όταν πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του, λήγει πάντοτε σε 6, ότι εαν πολλαπλασιάσει έναν άρτιο αριθμό, το γινόμενο θα λήγει πάντοτε σε αυτόν τον ίδιο αριθμό τον οποίο πολλαπλασιάζει ή στο τελευταίο ψηφίο αυτού. Έτσι 2 x 6=12, 4 x 6 = 24, 6 x 6 = 36, 8x 6 = 48, 10x6 = 60, 12x6 = 72, 14x6 = 84, 16x6 = 96, 18x6=108, κ.λπ. Αυτό δείχνει την ανωτερότητα του περιττού έναντι του άρτιου. Διότι το 5 υπερνικά τον περιττό αριθμό που πολλαπλασιάζει, κάνοντάς τον να λήγει στον εαυτό του· αλλά το 6 υπερνικάται από τον άρτιο αριθμό που πολλαπλασιάζει και λήγει σε αυτόν.Ο Ιάμβλιχος, στο Περί της Νικομάχου Αριθμητικής Εισαγωγής, παρατηρεί για τον αριθμό 6 ότι «εκτός του ότι είναι ένας τέλειος αριθμός, είναι ο πρώτος αρτιοπέρισσος αριθμός και ο πρώτος από τους ετερομήκεις αριθμούς. Και προσθέτει ότι ονομαζόταν γάμος από τους Πυθαγόρειους, επειδή η πρώτη συνένωση του αρσενικού και θηλυκού υφίσταται από την ανάμιξη σύμφωνα με αυτόν τον αριθμό. Ως συνέπεια επίσης της ολοκληρίας και της συμμετρίας που περεχεί, τον αποκαλούσαν υγεία και κάλλος. 
Οι ακόλουθες ιδιότητες του 6 και του 8 είναι αξιοσημείωτες και πιστεύω ότι διέφυγαν της προσοχής τόσο των αρχαίων όσο και των σύγχρονων μαθηματικών. Αφορούν τον σχηματισμό των τετραγώνων από τη συνεχή πρόσθεση αυτών των αριθμών με τους εαυτούς τους μαζί με τη μονάδα. Για παράδειγμα, 1 + 6 + 6 + 6 + 6 =25, δηλαδή 1 + (6x4) = 25 και 25 + (6 x 16) = 121, 121+ (6 x 28) = 289, και 289 + (6x40) = 529. Και το ίδιο για τους υπόλοιπους. Δηλαδή το 1 προστιθέμενο στο τέσσερις φορές το 6 ισούται με 25· αυτό προστιθέμενο στο 16 φορές το 6 ισούται με 121· το 121 προστιθέμενο στο 28 φορές το 6 ισούται με 289, κ.λπ. 
Παρατηρείται ότι οι τετραγωνικές ρίζες των αριθμών που παράγονται έτσι, διαφέρουν η μία από την άλλη κατά 6. Διότι οι ρίζες είναι 5, 11, 17, 23, κ.λπ., ενώ η διαφορά των πολλαπλασιαζόμενων αριθμών είναι πάντοτε 12. Έτσι ο πρώτος πολλαπλασιαστής είναι 4, ο δεύτερος 16, ο τρίτος 28, ο τέταρτος 40, και η διαφορά μεταξύ τους είναι 12. Όσον αφορά το 8 έχουμε 1 +8 = 9 + (8 x 2) = 25 + (8 x 3) = 49 + (8 x 4 ) = 81 + (8 x 5 ) = 121 + (8 x 6)=169 . 
Έτσι οι ρίζες των τετραγώνων είναι οι περιττοί αριθμοί 3, 5, 7, 9, 11, 13, κ.λπ., που διαφέρουν η μία από την άλλη κατά 2· και οι πολλαπλασιαζόμενοι αριθμοί είναι 2, 3, 4, 5, 6, κ.λπ. Το άθροισμα 1 + 4 + 4, κ.λπ., θα παράγει ομοίως τους ίδιους τετράγωνους αριθμούς, καθώς και το 1 + 8 + 8, κ.λπ.
Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα

«Εν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις το από της την ορθήν γωνίαν υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοις από των την ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις».

«Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών του».

Αν και η ναυαρχίδα της θεωρίας του Πυθαγόρα είναι η τετρακτύς, το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι αυτό που τον καθιέρωσε στο χώρο των μαθηματικών και χάριν αυτού είναι γνωστός στους περισσότερους ανθρώπους σήμερα. Το Πυθαγόρειο θεώρημα μελετά τη σχέση ανάμεσα στις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου και αποτελεί θεώρημα της επιπέδου Ευκλείδειας γεωμετρίας. Το Πυθαγόρειο θεώρημα ονομάζεται και «Εκατόμβη» ή «Θεώρημα εκατόμβης» γιατί σύμφωνα με την παράδοση ο Πυθαγόρας μόλις το διατύπωσε προσέφερε θυσίες στους θεούς.

Ιστορική Επισκόπηση 

«Έστιν ουν πρόνοια η μεν ανωτάτω και πρώτη του πρώτου θεού νόησις είτε και βούλησις ούσα ευεργέτις απάντων, καθ’ ην πρώτως έκαστα των θείων δια παντός άριστά τε και κάλλιστα κεκόσμηται».

Πλούταρχος, «Ηθικά» Περί Ειμαρμένης,

Ένα από τα πιο συναρπαστικά και ασφαλώς πιο φημισμένα και χρήσιμα θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι το λεγόμενο Πυθαγόρειο Θεώρημα, που λέει ότι «σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών». Αν υπάρχει ένα θεώρημα του οποίου η γέννηση δικαιούται να θεωρηθεί μια μεγάλη στιγμή στα μαθηματικά, τότε το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι το πιο κατάλληλο, γιατί είναι ίσως το πρώτο πραγματικά μεγάλο Θεώρημα των μαθηματικών.
Όταν όμως αρχίζουμε να εξετάζουμε την προέλευση του Θεωρήματος, τότε είναι σαν να ψάχνουμε σε θολά νερά. Αν και η παράδοση έχει αποδώσει το περίφημο θεώρημα στον Πυθαγόρα, η εξέταση πήλινων πινάκων με σφηνοειδή γραφή, που βρέθηκαν στην Μεσοποταμία τον 20ο αιώνα, αποκαλύπτει ότι οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι που έζησαν πάνω από χίλια χρόνια πριν τον Πυθαγόρα, γνώριζαν το Θεώρημα. Το θεώρημα γνώριζαν επίσης οι αρχαίοι Ινδοί και Κινέζοι της εποχής του Πυθαγόρα ή και νωρίτερα, όπως αποδεικνύεται από σχετικές εργασίες τους (Van der Waerden, 2000). 
Αυτές οι μη Ελληνικές και πιθανόν Προελληνικές αναφορές στο Θεώρημα δεν περιέχουν όμως αποδείξεις του, και ίσως είναι αλήθεια ότι ο Πυθαγόρας ή κάποιο μέλος της διάσημης αδελφότητας του ήταν ο πρώτος που έδωσε μια λογική απόδειξη στο θεώρημα. Αν και οι ρίζες του είναι στη Γεωμετρία, το Θεώρημα που αποδίδεται παγκοσμίως στον Πυθαγόρα έχει βρει εφαρμογή σχεδόν σε κάθε κλάδο της επιστήμης, καθαρό ή εφαρμοσμένο. Ευρέως πάνω από τετρακόσιες αποδείξεις του είναι γνωστές, και ο αριθμός τους μεγαλώνει ακόμα. 


Ο κατάλογος περιλαμβάνει μια αρχική απόδειξη από τον μελλοντικό Αμερικανό Πρόεδρο Garfield, μια άλλη από τον δωδεκάχρονο τότε Albert Einstein, από το Leonardo da Vinci, ακόμα μία από ένα νεαρό τυφλό κορίτσι, και ο κατάλογος συνεχίζεται. Μερικές από αυτές τις αποδείξεις είναι συναρπαστικές στην απλότητά τους, ενώ άλλες είναι απίστευτα σύνθετες. Το ίδιο το Θεώρημα είναι γνωστό με διάφορα ονόματα: το «Πυθαγόρειο Θεώρημα», το «Θεώρημα της υποτείνουσας», το «Θεώρημα της εκατόμβης» ή απλά «Ευκλείδης », αποκαλούμενο έτσι επειδή παρατίθεται ως πρόταση των Στοιχείων του Ευκλείδη.Σήμερα σκεφτόμαστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα ως αλγεβρική σχέση από την οποία το μήκος μιας πλευράς ενός ορθογωνίου τριγώνου μπορεί να βρεθεί, λαμβάνοντας υπόψη τα μήκη των άλλων δύο πλευρών. Αλλά ο Πυθαγόρας δεν την αντιλήφθηκε έτσι. Γι’ αυτόν ήταν μια γεωμετρική δήλωση για τα εμβαδά. Ήταν μόνο με την ανάπτυξη της σύγχρονης άλγεβρας, περίπου το 16ο αιώνα, όταν το Θεώρημα εξοικειώθηκε στην αλγεβρική του μορφή.
a 2 + b2 = c2
Είναι σημαντικό να αντέξει αυτό στο μυαλό, εάν πρόκειται να επισημάνουμε την εξέλιξη του Θεωρήματος κατά τη διάρκεια των 2.500 ετών από τότε που ο Πυθαγόρας υποθετικά το απέδειξε πρώτος και το έκανε αθάνατο. Και δεν ήταν ούτε καν ο πρώτος που ανακάλυψε το Θεώρημα. Ήταν γνωστό στους Βαβυλώνιους και ενδεχομένως στους Κινέζους, τουλάχιστον χίλια έτη πριν από αυτόν (Van der Waerden, 2000). 

Οι Αιγύπτιοι και το Πυθαγόρειο Θεώρημα
Οι Αιγύπτιοι πρέπει να έχουν χρησιμοποιήσει τον τύπο a2 + b2 = c2 αλλιώς δε θα μπορούσαν να έχουν χτίσει τις πυραμίδες τους, αλλά δεν το έχουν εκφράσει ποτέ ως μία χρήσιμη θεωρία. Ο διασημότερος όλων των Αιγυπτιακών ιερών τόπων είναι οι πυραμίδες, που χτίζονται για πάνω από 1.500 έτη για να δοξάσουν τους κυβερνήτες Φαραώ κατά τη διάρκεια των ζωών τους, και ακόμα περισσότερο μετά από τους θανάτους τους. Ένας τεράστιος όγκος της βιβλιογραφίας ήταν γραμμένος στις πυραμίδες. Δυστυχώς, ένα μεγάλο μέρος αυτής της λογοτεχνίας είναι περισσότερο μυθιστοριογραφία παρά πραγματικότητα. 
Οι πυραμίδες έχουν προσελκύσει ένα κοινό προσκυνητών που βρήκε σε αυτά τα μνημεία κρυφές συνδέσεις για τα πάντα στον κόσμο, από τις αριθμητικές τιμές του (π) μέχρι και για τη χρυσή αναλογία της ευθυγράμμισης των πλανητών και των αστεριών. Αναφέρει ο Αιγυπτιολόγος Gillings, 1982. «Συντάκτες, μυθιστοριογράφοι, δημοσιογράφοι, και συγγραφείς μυθιστορημάτων βρήκαν κατά τη διάρκεια του δέκατου ένατου αιώνα ένα νέο θέμα (τις πυραμίδες), μία νέα ιδέα αναπτύχθηκε, και αυτοί που ήξεραν λιγότερα πράγματα και δεν κατανοούσαν καθαρά το θέμα, θα μπορούσαν πιο ελεύθερα να δώσουν τα ηνία στη φαντασία τους».Οι Δακανάλης και Θεοδοσίου αναφέρουν ότι ο Legon μελέτησε εκτενώς και επέκτεινε την πρώτη τοπογραφική μελέτη που έγινε στην Γκίζα από τον W.M.F.Petrie (1883). Τα αποτελέσματα της εργασίας του Legon έχουν δημοσιευθεί στα περιοδικά της Αρχαιολογικής κοινότητας, Discussions in Egyptology και στο Gottinger Miszelen. Οι τρεις πυραμίδες στην Γκίζα περιγράφονται με ένα ορθογώνιο με πλευρές 1000 √2 και 1000 √3 . Ο Legon παρατήρησε ότι η τετραγωνική ρίζα χρησιμοποιήθηκε εκτενώς από τους κτίστες, γεγονός που δεν προκαλεί έκπληξη, διότι είναι γενικά αποδεκτό πως οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι τη γνώριζαν. 
Ο τρόπος όμως με τον οποίο χρησιμοποιήθηκε στο όλο σχέδιο, προτείνει τη γνώση του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Βεβαίως, χτίζοντας ένα τέτοιο τεράστιο μνημείο όπως είναι η μεγάλη πυραμίδα του Χέοπα 756 πόδια η κάθε πλευρά και το ύψος να αγγίζει τα 481 πόδια, απαιτεί πολλή μαθηματική γνώση, και σίγουρα αυτή η γνώση πρέπει να περιλαμβάνει το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Αλλά το ήξεραν; Υπάρχουν αρχεία, όπως ο πάπυρος Berlin 6619 που χρονολογείται περίπου στο 1850 π.Χ., που παρουσιάζει τη γνώση των Πυθαγόρειων τριάδων από τους Αιγυπτίους. Εντούτοις, κανένα τρίγωνο δεν αναφέρεται εδώ ή κάπου αλλού. 
Ο Van der Waerden (2000) προτείνει ότι οι Αιγύπτιοι μπορεί να είχαν μάθει για τις Πυθαγόρειες τριάδες από τους Βαβυλώνιους. Υπέρ αυτής της άποψης, οι Boyer & Merzbach (1991) έγραψαν: «συχνά λέγεται ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ήταν εξοικειωμένοι με τις Πυθαγόρειο Θεώρημα, αλλά δεν υπάρχει κανένας υπαινιγμός αυτού στους παπύρους που έχουν έρθει στα χέρια μας». Η κύρια πηγή πληροφοριών για τα αρχαία Αιγυπτιακά μαθηματικά προέρχεται από τον πάπυρο Rhind, μια συλλογή από ογδόντα τέσσερα προβλήματα που ασχολούνται με την αριθμητική, τη γεωμετρία και τη στοιχειώδη άλγεβρα. 
Ανακαλύφθηκε το 1858 από τον Σκωτσέζο Αιγυπτιολόγο Α. Henry Rhind. Έχει 18 πόδια μήκος και 13 ίντσες πλάτος. Επέζησε κάτω από εντυπωσιακά καλές συνθήκες και είναι το παλαιότερο εγχειρίδιο μαθηματικών που έφθασε σε μας σχεδόν άθικτο (τώρα βρίσκεται στο βρετανικό μουσείο στο Λονδίνο). Ο πάπυρος γράφτηκε περίπου το 1650 π.Χ. από έναν γραφέα που ονομαζόταν Α’h-mose, όνομα γνωστότερο στη δύση ως Ahmes. Αλλά δεν ήταν δική του εργασία (Van der Waerden, 2000) δεδομένου ότι ο Α’h-mose μας λέει ότι το αντέγραψε από ένα παλαιότερο έγγραφο που χρονολογείται περίπου το 1800 π.Χ. 
Κάθε ένα από τα ογδόντα τέσσερα προβλήματα ακολουθείται από μια λεπτομερή λύση βήμα προς βήμα. Επίσης, μερικά από τα προβλήματα συνοδεύονται από σχέδια. Πιθανότατα η εργασία ήταν ένα εγχειρίδιο κατάρτισης για χρήση σε κάποιο σχολείο γραφέων. Για αυτόν το λόγο υπήρχε η αίρεση των βασιλικών γραφέων στους οποίους όλοι οι λογοτεχνικοί στόχοι ήταν ορισμένοι. Ανάγνωση, γραφή και αριθμητική, τα σύγχρονασε μας «τρία Ρ».
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα στα Κινεζικά Μαθηματικά
Απαντάται για πρώτη φορά στην «Μαθηματική πραγματεία για τον γνώμονα», το αρχαιότερο κείμενο που σώζεται στην ιστορία των Κινεζικών μαθηματικών. Το έργο αυτό είναι γραμμένο με μορφή διαλόγου ανάμεσα στον κυβερνήτη Ζόου και το σοφό Σανγκ Γκάο, ο οποίος θεωρείτο ως «εξαιρετικά επιδέξιος στους υπολογισμούς», και ανάμεσα στον Τσένζι και τον μαθητή Ρονγκ Φανγκ. Σύμφωνα με την μαρτυρία αυτή, η σχέση μεταξύ των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου, με πλευρές 3, 4, 5, ήταν γνωστή στον Σανγκ Γκάο, ήδη από τον 12ο αι. π.Χ., ίσως και πιο πριν.Στην ίδια πραγματεία αναφέρεται ότι «το ορθογώνιο που είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο διαιρείται σε δύο τρίγωνα με πλευρές 3, 4, 5. Η ιδιότητα επομένως της γωνίας που βαίνει σε διάμετρο, η οποία αποδίδεται στον Θαλή από τον Πρόκλο, ήταν ήδη γνωστή στον Σανγκ Γκάο. Στο τέλος του έργου αυτού αναφέρεται επίσης ότι «οι επιφάνειες των δύο τετραγώνων που κατασκευάζονται στις δύο καθέτους έχουν άθροισμα είκοσι και πέντε, το οποίο είναι η επιφάνεια του τετραγώνου που κατασκευάζεται στην υποτείνουσα του τριγώνου». 
Αργότερα, στις «Δέκα κλασσικές μαθηματικές πραγματείες» ή «Δεκάβιβλο», που θεωρείται ότι συνέγραψε ή συνέταξε ο Ζεν Λουάν (6ος αιώνας μ.Χ.) εμφανίζεται ο ειδικός όρος «κανονικοί συντελεστές» που υποδηλώνει τη στοιχειώδη τριάδα Πυθαγόρειων αριθμών 3:4:5. Στο δεύτερο διάλογο της πραγματείας για το γνώμονα το θεώρημα διατυπώνεται στη γενική του μορφή κάνοντας χρήση γεωμετρικού σχήματος. 
Σε σχόλιο σημειώνεται ότι η απόδειξη αυτή βασίζεται στο σχήμα, από το οποίο προκύπτει ότι το τετράγωνο που κατασκευάζεται με πλευρά την υποτείνουσα c ορθογωνίου τριγώνου μπορεί να παρασταθεί ως άθροισμα του τετραγώνου που κατασκευάζεται με πλευρά τη διαφορά b των καθέτων και τεσσάρων ορθογωνίων τριγώνων με πλευρές a και b. Έτσι ο διάλογος αυτός θεωρείται ως η πρώτη γραπτή μαρτυρία της απόδειξης του Πυθαγορείου θεωρήματος στην ιστορία των Κινεζικών μαθηματικών. 
Το ίδιο σχήμα απαντάται αργότερα στο έργο του Ινδού μαθηματικού Bhaskara. Κατά το Μεσαίωνα οι Κινέζοι μαθηματικοί έκαναν συστηματική χρήση της ονομαζόμενης μεθόδου Γκόου-γκου σε προβλήματα υπολογισμών. Μάλιστα το τελευταίο κεφάλαιο του κλασσικού μαθηματικού έργου «Εννέα κεφάλαια της μαθηματικής τέχνης», βιβλίου που χαρακτηρίζει το ύφος της Κινεζικής μαθηματικής σκέψης, ονομάζεται «Γκόου-γκου». Σε όλα λοιπόν αυτά τα προβλήματα, εκτός από τα τρία τελευταία, χρησιμοποιείται το θεώρημα του Πυθαγόρα. Στα τρία τελευταία μόνο χρησιμοποιείται η ιδιότητα της αναλογίας των πλευρών ομοίων ορθογωνίων τριγώνων.
Έτσι το κεφάλαιο αυτό είναι στην πραγματικότητα αφιερωμένο στην εφαρμογή αλγεβρικών μεθόδων σε γεωμετρικά προβλήματα, όπου γίνεται χρήση του Πυθαγορείου θεωρήματος (στα Κινεζικά «γκόου-γκου ντινλί», που στην κυριολεξία σημαίνει «θεώρημα του ορθογωνίου τριγώνου») και της ομοιότητας ορθογωνίων τριγώνων. Επομένως η «μέθοδος γκόου-γκου» συνίσταται στην υπολογιστική λύση ενός προβλήματος με εφαρμογή της ισότητας του τετραγώνου της υποτείνουσας με το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων.Ορισμένα προβλήματα οδηγούν σε λύση τετραγωνικής εξίσωσης ή συστήματος ισοδύναμου με τετραγωνική εξίσωση. Πολλά από τα προβλήματα αυτά είναι όμοια με προβλήματα που εμφανίζονται στα αρχαία Αιγυπτιακά, Βαβυλωνιακά ή Ινδικά μαθηματικά. Ο γενικός κανόνας της λύσης εκτίθεται στην αρχή του ένατου κεφαλαίου και βασίζεται στους τρεις αλγορίθμους για τις τρεις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου οι οποίοι εφαρμόζονται στα τρία πρώτα προβλήματα στη στοιχειώδη Πυθαγόρεια τριάδα a = 3 (γκόου), b = 4 (γκου), c = 5 (σιαν). 
Στα προβλήματα αυτά απαιτείται να καθοριστούν σωστά ποια μεγέθη πρέπει να ληφθούν ως κάθετοι (γκόου και γκου) και υποτείνουσα (σιαν), ώστε να είναι δυνατός ο υπολογισμός ενός από αυτά τα μεγέθη. Το πιο σημαντικό πρόβλημα είναι η εύρεση της διαγωνίου ορθογωνίου ή τετραγώνου από τις πλευρές του, που στην περίπτωση μοναδιαίου τετραγώνου οδηγεί στο κλασσικό πρόβλημα της εύρεσης της √2 . Στα αρχαία Κινεζικά κείμενα για το μέγεθος αυτό προτείνεται ο λόγος 7:5. Ωστόσο, πως ελήφθη η προσέγγιση αυτή στην Κίνα δεν είναι γνωστό.
Το Πυθαγόρειο θεώρημα στα Ινδικά Μαθηματικά
Απαντάται στα θρησκευτικής και φιλοσοφικής σημασίας έργα «Σουλβασούτρας» που περιέχουν γεωμετρικές κατασκευές και υπολογισμούς που χρησιμοποιούνταν για την κατασκευή βωμών και τον προσανατολισμό των ναών. Το τετράγωνο που κατασκευάζεται πάνω στην υποτείνουσα αποτελείται από τις επιφάνειες S, III, IV και s. Το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών αποτελείται από τις επιφάνειες S, I, II και s. Όμως τα τρίγωνα I, II, III και IV είναι ίσα. 
Η απόδειξη αυτή ώθησε ορισμένους ιστορικούς να υποθέσουν ότι οι Ινδοί μαθηματικοί κατέληξαν στο Πυθαγόρειο θεώρημα από την κατασκευή αυτή. Αργότερα, στο έργο «Η κορωνίδα της επιστήμης» (περίπου 1150) του Bhaskara 1114 -περίπου 1185), απαντάται μια άλλη απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος που βασίζεται σε άλλο διαμερισμό της επιφάνειας του τετραγώνου της υποτεινούσης που ήταν από πιο πριν γνωστός στην Κίνα. Στην απόδειξη αυτή ο Ινδός μαθηματικός απλώς εκθέτει το σχήμα, το οποίο συνοδεύεται από την μονολεκτική επεξήγηση «Ιδέ».Ο Bhaskara δίδει και άλλη απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος, που βασίζεται στη διαίρεση ενός ορθογωνίου τριγώνου από το ύψος σε δύο τρίγωνα όμοια με το αρχικό και μεταξύ τους. Η απόδειξη αυτή ανακαλύφτηκε εκ νέου από τον Λεονάρδο της Πίζας το 1220 και τον 17ο αι. από τον Τζ. Ουώλλις. O Bhaskara, Ινδός μαθηματικός και αστρονόμος Bhaskara, που διέπρεψε γύρω στα 1150, έδωσε μία άλλη απόδειξη του πυθαγορείου θεωρήματος. 
Είναι μια απόδειξη διαμέρισης, κατά την οποία το τετράγωνο πάνω στην υποτείνουσα διαμερίζεται, όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα, σε τέσσερα τρίγωνα, καθένα από τα οποία είναι ίσο με το δεδομένο ορθογώνιο τρίγωνο, και σε ένα τετράγωνο πλευράς ίσης με τη διαφορά των καθέτων του δεδομένου τριγώνου. Τα κομμάτια αυτά αναδιατάσσονται εύκολα για να μας δώσουν το άθροισμα των τετραγώνων πάνω στις δύο καθέτους. Ο Bhaskara σχεδίασε το σχήμα και η μόνη επεξήγηση που έδωσε ήταν η λέξη «ιδού!». Με λίγη άλγεβρα παίρνουμε ασφαλώς την απόδειξη, διότι αν γ είναι η υποτείνουσα και α και β οι κάθετες πλευρές του ορθογώνιου τριγώνου, τότε
γ2= 4(αβ/2) + (β-α)2 = α2+β2
Ο ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΤΑ ΜΥΣΤΗΡΙΑ ΠΟΥ ΚΡΥΒΟΥΝ 
Κανένα ολοκληρωμένο έργο που να αφορά την εσωτερική σημασία των αριθμών δεν έχει διασωθεί, Πέραν από ένα σύγγραμμα που αποδίδεται στον Ιάμβλιχο, το Περί θεολογουμένης Αριθμητικής, στο οποίο αναπτύσσονται οι ιδιότητες των 10 πρώτων αριθμών από μαθηματικής και αρμονικής πλευράς και παρέχονται πολυάριθμα προσηγορικά ονόματα για τον κάθε ένα. 
Το σύγγραμμα αυτό περιέχει μέρη από την ομώνυμη χαμένη πραγματεία του Νικομάχου του Γερασηνού, από το χαμένο σύγγραμμα του Ανατόλιου (Περί της Δεκάδος και των Αριθμών), του δασκάλου του Ιάμβλιχου και από κάποια χωρία που έχουν γραφεί από κάποιον άγνωστο μελετητή, ο οποίος πιθανόν να είναι ο Ιάμβλιχος, καθώς ο ίδιος αναφέρει τόσο τον Νικόμαχο όσο και τον Ανατόλιο.Οι διδασκαλίες του Πυθαγόρα έχουν έρθει σε μας με πολύ μικρά αποσπάσματα και όχι άμεσα μέσα από τον ίδιο τον Πυθαγόρα. Ότι ξέρουμε για τις διδασκαλίες του καθώς επίσης και των Πυθαγορείων προέρχονται από ποικίλες πηγές μετά από το θάνατο του Πυθαγόρα. Σίγουρα, γνωρίζουμε πως ο Πυθαγόρας δίδαξε κατ' εξοχήν τα μαθηματικά και τους αριθμούς, γενικά. Μια πηγή για αυτό είναι, ο Αριστοτέλης που έγραψε στα Μεταφυσικά του: 
«Οι Πυθαγόρειοι αφοσιώθηκαν στα μαθηματικά και ήταν οι πρώτοι στην ανάπτυξη αυτής της επιστήμης. Μέσα από την μελέτη των μαθηματικών, πίστεψαν πως οι αρχές των μαθηματικών είναι οι αρχές όλων. Επειδή οι αριθμοί είναι κατά στη φύση πρώτοι, φαντάστηκαν ότι θα μπορούσαν να αναγνωρίσουν στους αριθμούς και στα παράγωγα, περισσότερο παρά το πυρ, στη γη και στο ύδωρ και δεδομένου ότι φάνηκε σαφές ότι όλα τα άλλα πράγματα στη φύση διαμορφώθηκαν επάνω στους αριθμούς και ότι οι αριθμοί είναι τα τελευταία πράγματα σε ολόκληρο το φυσικό κόσμο και ολόκληρος ο κόσμος είναι μια αναλογία ή ένας αριθμός».Ένα μεγάλο μέρος σπουδαιότητας των αριθμών στη φιλοσοφία του Πυθαγόρα, μια λέξη που Πυθαγόρας ο ίδιος ήταν ο πρώτος που χρησιμοποιεί για να περιγράψει τον εαυτό του ως Φίλο - Σοφός (εραστής της φρόνησης), προήλθε από τη σημασία των ιερών αριθμών στα Ορφικά μυστήρια και από τις μελέτες του στην Αίγυπτο και αργότερα στη Βαβυλωνία και την Περσία. Για τους Πυθαγορείους, ο αριθμός δέκα ήταν ο πιο ιερός αριθμός και τον παρουσίαζαν ταυτόχρονα με τους άλλους πρωταρχικούς αριθμούς, που είναι οι αριθμοί ένα ως εννέα που κατέληγαν στο δέκα, σε ένα ιερό σύμβολο.Ξέρουμε ότι οι Πυθαγόρειοι είχαν ένα μυστικό σύμβολο για να αναγνωρίζουν ο ένας τον άλλον. Αυτό το σύμβολο ήταν ένα σχέδιο δέκα σημείων γνωστό ως Τετρακτύς. Το σύμβολο αποτελούταν από τέσσερα επίπεδα που διαμόρφωναν σε ένα τρίγωνο με μια βάση τεσσάρων σημείων, ακολουθούσε ένα επίπεδο τριών σημείων, μετά ένα με δύο και τελικά ένα σημείο στο ανώτερο επίπεδο του συμβόλου. Αυτό το ιερό σύμβολο στους πυθαγορείους εκφράστηκε έτσι:Η ανάγλυφη παράσταση της Τετρακτύος μπορεί να είχε την προέλευσή της σε μια παράσταση χαλικιών που χρησιμοποιούταν στη μελέτη των μαθηματικών, καθώς επίσης και στο πρώτο γράμμα της λέξης "Δεκάς" που είναι ένα τρίγωνο, το Δ είναι ένα τρίγωνο. Αναπτύχθηκε μια μελέτη μυστικών ιδιοτήτων των αριθμών στη δεκάδα που ονομάστηκε αριθμολογία. Αυτή η μελέτη εξέταζε τις ιδιότητες και τις μαγικές δυνάμεις των αριθμών, συσχετίζοντας τους με τα ζωντανά και άψυχα αντικείμενα, καθώς επίσης και με Θεούς και Θεές. Το σύστημα αναφέρεται στον Τίμαιο του Πλάτωνα.Η έννοια της Τετρακτύος μόλις κατανεμηθεί σε κάθε ατομική γραμμή και σημείο έχει μια μάλλον εντυπωσιακή ομοιότητα με το Δέντρο της Ζωής που χρησιμοποιείται στην Καμπαλά. Ακολουθούν τα παραδείγματα κάθε αριθμού της δεκάδας που χρησιμοποιεί η αριθμολογία και οι έννοιες που συνδέονται με την Τετρακτύ είναι οι ακόλουθες:


Μονάς: Ήταν το Ένα και αντιπροσώπευσε πολλές μεταφυσικές κυριότητες και έννοιες. Ήταν γνωστή ως Είδος, Πηγή ορίου και μορφής. Η Ευδαιμονία, ο Δημιουργός. Η ευτυχία, η αρμονία, η τάξη και η φιλία. Εξισώθηκε με τον Απόλλωνα, το Θεό του Λόγου και με τον Υπερίωνα, την κεντρική φλόγα και ταυτόχρονα με τον Ήλιο σαν κέντρο του κόσμου και το νόηση σαν κέντρο του ανθρώπινου σώματος.
Στο έργο "Περί Ίσιδος και Οσίριδος".Ο Πλούταρχος κάνει μιαν αναφορά στην πυθαγόρεια φιλοσοφία και τη θεοποίηση των αριθμών με πρώτη τη μονάδα, τον αριθμό ένα, το ον, το άρτιο (την μονάδα τους άνδρας ονομάζειν Απόλλωνα.). Αντιπροσώπευε επίσης την ενότητα και την τελειότητα. Είναι το Σημείο, η πηγή όλων των αριθμών. Το καλό, το επιθυμητό, το ουσιώδες, το αδιαίρετο. Ο Πυθαγόρας έλεγε πως διαφέρει η Μονάς από το Έν. Όμοια και η Δυάς από το Δύο.
Δυάς:Ήταν το Δύο. Για τους Πυθαγορείους, αυτός ο αριθμός αντιπροσώπευσε το πρώτο στάδιο προς τη διαδρομή της δημιουργίας. Η δυάδα αντιπροσώπευσε την πόλωση, την αντίθεση, την απόκλιση, την ανισότητα, και την αστάθεια. Καλείται συχνά Τόλμη, καθώς διασκορπίζει την τελειότητα και την ενότητα της Μονάδας. Είναι η γραμμή, η διαφορά, ο αριθμός της υπερβολής και της έλλειψης. Ο πρώτος θήλυ αριθμός. Η Δυαδικότητα.

Τριάς: Ο επόμενος αριθμός είναι ο αριθμός τρία. Οι Πυθαγόρειοι τον έβλεπαν ως πρώτο αληθινό αριθμό. Είναι ένα σύνολο που αντιπροσωπεύει την αρχή, τη μέση και το τέλος. Ο αριθμός αντιπροσωπεύει τον αρχή όλων που είναι ολόκληρα και τέλεια, τις τρεις διαστάσεις, και την τριμερή ψυχή. Ο αριθμός υπονοεί επίσης από το Παρελθόν, το Παρόν και το Μέλλον. Ενσωματώνει τη φρόνηση και την πρόβλεψη, επειδή οι άνθρωποι που εξετάζουν και τα τρία μέρη του χρόνου θα επιλέξουν ένα σωστό σχέδιο δράσης. 
Η γνώση αντιπροσωπεύθηκε επίσης από την τριάδα, όπως ήταν οι δυνάμεις της προφητείας και της μοίρας. Για να συσχετίσουν την τριάδα με τις προφητείες, οι χρησμοί στα μαντεία στην αρχαιότητα γινόταν σε κοιλώματα που υποστηριζόταν σε ένα τρίποδα. Δυνάμει της τριάδας, η ενότητα και η ποικιλομορφία αυτού που είναι αποτελούμενου, επιστρέφει στην αρμονία. Ο πρώτος περίεργος, άρρεν αριθμός. 
Για τον αριθμό λοιπόν τρία, ο Ιάμβλιχος λέει, ότι είναι εξαιρετικού κάλλους και ευσχημοσύνης σε σύγκριση με όλους τους άλλους, επειδή κατέστησε τις δυνάμει ιδιότητες της μονάδας σε ενεργεία, εκφράζοντας την αναλογία, τη συνένωση και την αποτέλεση. Είναι δηλαδή ο πρώτος ενεργεία, επειδή υπερτερεί του ίσου και έχει κάτι περισσότερο από το ίσο στο ένα μέρος του (η μονάδα = 1, η δυάδα = 1+1, η τριάδα = 1+2), ενώ το εξαιρετικό σε αυτόν είναι ότι αποτελεί τη συνέχεια των δύο πρώτων αιτιών και βεβαίως τη σύνθεση αμφοτέρων. 
Ο Ανατόλιος τον αποκαλεί "πλήρη" επειδή δείχνει τα πάντα και την αρχή και το μέσον και το τέλος, και για τον λόγο αυτό, όταν επαινούν τα υπέρμετρα τον χρησιμοποιούν ως πρόθεμα (τρισευτυχής ή τρισευδαίμονας), ενώ ο Νικόμαχος τον θεωρεί ως την έναρξη των αριθμών και το θεμέλιο της γεωμετρίας. Ο Νικόμαχος επίσης είναι αυτός που κάνει αναφορά στον αριθμό των σπονδών που οι άνθρωποι πρέπει κάνουν, αν επιθυμούν να εκπληρωθούν οι προσευχές τους.

Τετράς: Είναι ο αριθμός τέσσερα. Το τέσσερα αντιπροσώπευε την ολοκλήρωση. Για τους Πυθαγορείους, όλα και φυσικά και αριθμητικά ολοκληρώθηκαν στην πρόοδο του ενός μέχρι το τέσσερα. Το εξέφρασαν με τις τέσσερις εποχές, τα τέσσερα στοιχεία (γη, αέρας, πυρ και ύδωρ), τα τέσσερα ζωτικής σημασίας μουσικά διαστήματα και τα τέσσερα είδη πλανητικής κίνησης. Το τέσσερα απεικόνιζε την ευθύτητα και τη σταθερότητα.Ο Πλάτων χρησιμοποίησε αργότερα τον αριθμό τέσσερα στις τέσσερις ικανότητες του ατόμου - νοημοσύνη, λόγος, αντίληψη και φαντασίωση. Οι Πυθαγόρειοι αξιολόγησαν τέσσερις μαθηματικές επιστήμες, της αριθμητικής, της μουσικής, της γεωμετρίας και της αστρονομίας τα θεμέλια της αληθινής γνώσης. Κατά συνέπεια η τετράς αντιπροσωπεύει τη Δικαιοσύνη στον Πυθαγόρα και τους μαθητές του. Ο αριθμός αυτός αντιπροσώπευσε την ολοκλήρωση όλων των πραγμάτων στην ακόλουθη πρόοδο 1 + 2 + 3 + 4 = 10.Έτσι έφθασαν στο σύμβολο της Τετρακτύος. Η Τετρακτύς έγινε έπειτα το πρότυπο για τον Κόσμο και την ανθρώπινη ψυχή. Είναι το στερεό. Το πρώτο θήλυ τετράγωνο. Η δικαιοσύνη, το ακλόνητο και το τετράγωνο. Ο αριθμός του τετραγώνου, των στοιχείων, των εποχών, των ηλικιών του ατόμου, των σεληνιακών φάσεων, των αρετών.
Πεντάς:Ο αριθμός πέντε. Είναι ένας συνδυασμός περιττού και άρτιου και επίσης από τους αριθμούς δύο και τρία στην πρόσθεσή τους. Η πεντάς επίσης αντιπροσωπεύει το γάμο, την ένωση της αρσενικής και θηλυκής συμφιλίωσης και την αρμονία. Η Πεντάς ήταν αφιερωμένη στην Αφροδίτη. Οι Πυθαγόρειοι έλεγαν πως η πεντάς περιέχει τα φυσικά φαινόμενα του σύμπαντος.Συχνά αυτό ήταν διατυπωμένο όπως το σύμπαν σπάρθηκε από τη μονάδα, απέκτησε κίνηση μέσω της δυάδας, μετά απέκτησε ζωή μέσω της πεντάδας και περικυκλώθηκε από τη δεκάδα. Είναι ο άρρεν αριθμός του γάμου, που ενώνει τον πρώτο θήλυ αριθμό και τον πρώτο άρρεν αριθμό δια της προσθέσεως. Ο αριθμός των δαχτύλων στα άνω και κάτω άκρα. Ο αριθμός των κανονικών στερεών ή πολυέδρων. Ακατάλυτος: Όλα τα πολλαπλάσιά του τελειώνουν σε 5.
Εξάς: Είναι ο αριθμός έξι. Στους Πυθαγορείους είναι ο πρώτος τέλειος αριθμός. Προσθέτοντας τους αριθμούς 1, 2 και 3 προκύπτει το 6. Έτσι δημιουργείται η εξάδα. Ο αριθμός αντιπροσωπεύει τις καταστάσεις της υγείας και της ισορροπίας. Αντιπροσώπευσε επίσης την πληρότητα, την ειρήνη και τη θυσία. Ο αριθμός έξι συνδέθηκε επίσης με τον Ερμαφρόδιτο.Είναι ο πρώτος θήλυ αριθμός γάμου, που ενώνει το 2 και το 3 μέσω του πολλαπλασιασμού. Ο πρώτος τέλειος αριθμός. 
Είναι ίσος με το ποσό των μερών των υποπολλαπλασίων του, δηλαδή οι διαιρέτες ή τα παραγόμενα, εκτός του εαυτού του, δίνουν 6. Κατά συνέπεια, 1+2+3 = 6 και 1*2*3 = 6. Το εμβαδόν του ασύμμετρου ορθογωνίου τριγώνου, 3-4-5. Ο αριθμός έξι και πιο συγκεκριμένα η εξάδα, σύμφωνα με τον Ανατόλιο, είναι "τέλειος", διότι μπορεί να μετρηθεί από τα μέρη του (1+2+3 = 6 και 1x2x3 = 6). Παράγεται από τη δύναμη και τον πολλαπλασιασμό του πρώτου άρτιου και του πρώτου περιττού, του αρσενικού και του θηλυκού, και για αυτό καλείται "αρσενόθηλυς". 
Ονομάζεται και "γάμος" διότι δεν γίνεται δια της προσθέσεως, όπως ο αριθμός 5 (= 2+3), αλλά δια του πολλαπλασιασμού (2x3 = 6). Από την "τελειότητα" της εξάδας προκύπτει και ο πρώτος αρμονικός μέσος όρος (αυτός είναι και ο λόγος που η νοητή γραμμή των αρμονικών σχέσεων των συχνοτήτων ξεκινά από τον αριθμό 6), του οποίου η σχέση με το 8 είναι "επίτριτη" (8:6 = 4:3) κ.ο.κ.
Οι Πυθαγόρειοι αποκαλούσαν την εξάδα "ολομέλεια" και "ειρήνη" και "κόσμο", καθώς συνίσταται αρμονικά από τα αντίθετα. αλλά και η συναρίθμηση της λέξης Κόσμος είναι 600 (Κ20+Ο70+Σ200+Μ40+Ο70+Σ200 και όλο μαζί ΚΟΣΜΟΣ = 600, που σημαίνει 6). Η Αφροδίτη λοιπόν, η θεά του έρωτα και της φιλίας, ενώνει τα αντίθετα όπως και ο αριθμός 6, ενώ ακόμη αναπαριστά την αρχή της ολότητας και της τελειότητας.
Επτάς: Είναι ο αριθμός επτά. Αυτός ο αριθμός δεν μπορεί να παραχθεί από οποιαδήποτε άλλον που αποτελεί τη δεκάδα. Οι έννοιες που αντιπροσωπεύονται από την επτάδα είναι χαρά, αγάπη και ευκαιρία. Ο αριθμός αντιπροσώπευσε επίσης την παρθενία και θεωρήθηκε αφιερωμένος στην παρθένα θεά Αθηνά. Επίσης, δεδομένου ότι το επτά δεν μπορεί να διαιρεθεί, εκτός από τον εαυτό του, αντιπροσώπευσε μιαν ακρόπολη. Επίσης, ένας κύκλος δεν μπορεί να διαιρεθεί σε επτά μέρη.Ο Ανατόλιος χαρακτηρίζει τον αριθμό 7 "αμήτωρα", ως μη προκύπτοντα από διπλασιασμό ή πολλαπλασιασμό άλλου αριθμού, και "παρθένο", διότι παράγεται μονάχα από τη μονάδα. Επτά είναι ο αριθμός της πρώτης μουσικής συμφωνίας, της δια τέσσερα (4+3), επτά είναι το άθροισμα των κάθετων πλευρών του πρωτότυπου ορθογώνιου τριγώνου κ.ο.κ. Ο Νικόμαχος τον χαρακτηρίζει "αγέλη", επειδή έχει συναχθεί σε αυτοτελή ενότητα και παραμένει αδιάσπαστος. 
Επτά είναι και οι αστερισμοί και σι αρχάγγελοι και οι ημέρες της εβδομάδας. Και ενώ κατά την εξάδα εκδηλώνεται η ψυχή και το σώμα (η έξις της ψυχής και του σώματος), η προσπάθεια της τελείωσης και η διανόηση εκδηλώνονται κατά την επτάδα (την εβδομάδα). Ο Νικόμαχος παραθέτει επίσης παρόμοια σχόλια με αυτά του Αλέξανδρου του Αφροδισιέα. 
Ο γνωστός μύθος της γέννησης του Ηρακλή που μας παρουσιάζει ο Όμηρος στην Ιλιάδα του, μας λέει ότι η Ήρα, για να εκδικηθεί την απιστία του συζύγου της, παρέτεινε την ολοκλήρωση του κύκλου της κύησης της Αλκμήνης, με αποτέλεσμα να προηγηθεί της γέννησης του Ηρακλή ο "εφταμηνίτης" Ευρυσθέας, ο γιος της Νικίππης, της γυναίκας του Σθένελου, ο οποίος και τελικά σύμφωνα με τον όρκο του Δία ήταν αυτός που θα εξουσίαζε όλους τους γείτονές του.
Οκτάς: Η οκτάς ή ο αριθμός οκτώ ήταν σημαντικό στους Πυθαγορείους επειδή ήταν ο πρώτος κύβος (2*2*2). Σύνδεσαν οκτώ με την ασφάλεια, την σταθερότητα και όλα όσα ήταν ισορροπημένα στο σύμπαν. Οι Πυθαγόρειοι κάλεσαν συχνά την οκτάδα, "Εμπεριέχουσα των Αρμονιών", επειδή είναι η πηγή μουσικής αναλογίας. Είναι από τους πλέον Ιερούς στο Σουφισμό.Κάθε μήνα, την όγδοη μέρα, γινόταν θυσίες στους Θεούς, γιατί υπήρχε μια ευρύτατα διαδεδομένη άποψη που έλεγε ότι ένα παιδί που γεννιέται κατόπιν επτάμηνης κυοφορίας μπορεί να ζήσει, ενώ όταν γεννηθεί στους οκτώ μήνες πεθαίνει.
Εννεάς: Ο αριθμός εννέα, ο οποίος κλήθηκε επίσης ορίζοντας, επειδή χαρακτήρισε τη γραμμή μεταξύ της δεκάδας και των αριθμών που κατέληξαν σε αυτήν. Οι Πυθαγόρειοι έβλεπαν το εννέα σαν αριθμό ολοκλήρωσης. Αυτό οφειλόταν στους εννέα μήνες της εγκυμοσύνης και στην ύπαρξη των εννέα Μουσών. Είναι τον πρώτο άρρεν τετράγωνο (3*3). Ακατάλυτο που όμως πολλαπλασιασμένο συχνά, αναπαράγεται.
Δεκάς: Η δεκάς ή ο αριθμός δέκα ήταν ο πιο ιερός όλων των αριθμών στους Πυθαγορείους. Αυτός ο αριθμός περιέχει όλα τα πράγματα σε μια απλή δομή και επιρροή. Είναι το σύνολο των θείων επιρροών που κράτησαν το σύμπαν μαζί και ήταν όλοι οι προφανείς νόμοι της φύσης. Η δεκάς επίσης είναι ο κόσμος, ο ουρανός, ο Θεός, και η μοίρα. Η Δεκάς περιέχει όλους τους αριθμούς. Μετά το 10 οι αριθμοί επαναλαμβάνουν τον εαυτό τους. Είναι το άθροισμα των αρχέτυπων αριθμών, δηλαδή 1+2+3+4 = 10

Περαιτέρω Ιεροί είναι οι αριθμοί:


  • Ο αριθμός 27. Ο πρώτος άρρεν κύβος (3*3*3).
  • Ο αριθμός 28. Αστρολογικά σημαντικός αριθμός, όπως ο σεληνιακός κύκλος. Είναι ο δεύτερος τέλειος αριθμός, δηλαδή 1+2+4+7+14 = 28, καθώς επίσης και το άθροισμα των επτά αριθμών, δηλαδή 1+2+3+4+5+6+7 = 28.
  • Ο αριθμός 35. Το άθροισμα των κύβων του πρώτου θήλυ και πρώτου άρρενος, δηλαδή, 8+27 = 35
  • Ο αριθμός 36. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των πρώτων τετραγώνων των αριθμών, δηλαδή 4 x 9 = 36. Ακόμα, το άθροισμα των τριών πρώτων κύβων, δηλαδή 1+8+27 = 36. Επίσης το άθροισμα των οκτώ πρώτων αριθμών, δηλαδή 1+2+3+4+5+6+7+8 = 36.

Αντιστοιχίες από τις Πυθαγόρειες σκέψεις εμφανίζονται στις εργασίες του Νικομάχου Γερασηνού, ιδιαίτερα στο "αριθμητική εισαγωγή", η οποία αποτέλεσε τη βάση του κειμένου του 4ου αιώνα μΧ. στο έργο του Ιάμβλιχου, "Τα Θεολογούμενα της Αριθμητικής". Αυτές οι αντιστοιχίες και αποδόσεις είναι οι ακόλουθες:
  • Μονάς: Ο Ζευς, ο Προμηθεύς και το Χάος
  • Δυάς: Η Μούσα Ερατώ, η Ίσις, η Ρέα, η δικαιοσύνη και η φύση
  • Τριάς: Η Εκάτη, η σωφροσύνη και οι τρεις φάσεις της Σελήνης.
  • Τετράς: Ο Ηρακλής, τα 4 στοιχεία, το δίκαιο και οι 4 εποχές.
  • Πεντάς: Η Νέμεσις, η Θεία Πρόνοια, η Αφροδίτη, η Αθηνά, η δικαιοσύνη, ο αιθήρ ή η πεμπτουσία, το πέμπτο στοιχείο (Πνεύμα).
  • Εξάς: Το Σύμπαν ή ο Κόσμος, η Μούσα Θάλεια και η αρμονία.
  • Επτάς: Η Αθηνά, η παρθενία και η τύχη.
  • Οκτάς: Η ευμετάβλητη φύση και η Μούσα Ευτέρπη.
  • Εννεάς: Ο Ωκεανός, ο Προμηθεύς, ο Ήφαιστος, η Ήρα και ο Υπερείων.

Οι Πυθαγόρειοι αναπαριστούσαν τους αριθμούς με υποδείγματα από στιγμές (τελείες), σαν αποτέλεσμα από ταξινομημένα χαλίκια σε τύπους. Για παράδειγμα, το 9 έχει 3 σειρές με 3 χαλίκια σε καθεμία, διαμορφώνοντας έτσι ένα τετράγωνο. Όμοια, το 10 έχει 4 σειρές που περιέχουν η κάθε μία, 1, 2, 3 και 4 χαλίκια ανά σειρά, διαμορφώνοντας ένα τρίγωνο.Έτσι παρήγαγαν τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών. Παραδείγματος χάριν, ένας τετράγωνος αριθμός μπορεί να υποδιαιρεθεί με μια διαγώνια γραμμή σε δύο τρίγωνα αριθμούς. Μπορούμε να πούμε πως ένας τετράγωνος αριθμός είναι πάντα το άθροισμα δύο τριγώνων αριθμών. Έτσι, ο τετράγωνος αριθμός 25 είναι το άθροισμα του τρίγωνου αριθμού 10 και του τρίγωνου αριθμού 15.
Η Μυστική Τετρακτύς είναι ένας ιδιαίτερος τρίγωνος αριθμός, όμοιος με αυτόν του δέκα. Το όνομά της που σημαίνει σύνολο από τέσσερα πράγματα, μια λέξη που απέδωσε ο μαθηματικός Θέων. Οι Πυθαγόρειοι αναγνώριζαν δέκα τέτοια σύνολα. Το σύνολο των δέκα πραγμάτων ή οι δέκα Τετρακτύες. Ο Ιάμβλιχος στο έργο του Περί του Πυθαγορικού βίου, ονομάζει την Τετρακτύ, Μαντείο Δελφών. Αναφέρει:Κεφάλαιο 18, τμήμα 82 γραμμή 12Το σύνολο τώρα όσων αποκαλούνται "ακούσματα" διαιρείται σε τρία είδη: στο πρώτο ανήκουν αυτά που υποδηλώνουν τι υπάρχει, στο δεύτερο ποιο είναι το πιο καλό και στο τρίτο τι πρέπει να πράττεται και τι όχι. Τα πρώτα λοιπόν, που αφορούν το τι υπάρχει, ομοιάζουν με τα εξής: Τι είναι τα Νησιά των Μακάρων; Ο ήλιος και η σελήνη. Τι είναι το μαντείο των Δελφών; Η τετρακτύς, πράγμα που σημαίνει η αρμονία, όπου βρίσκονται και οι Σειρήνες. Τα δεύτερα, μοιάζουν με τα εξής: Ποιο είναι το δικαιότερο; Το να θυσιάζεις. Ποιο είναι το πιο σοφό; Ο αριθμός. Και το δεύτερο, μετά τον αριθμό, είναι αυτό που θέτει ονόματα στα πράγματα. 
Ποιο είναι το σοφότερο για εμάς; Η ιατρική. Ποιο είναι το ωραιότερο; Η αρμονία. Ποιο το ισχυρότερο; Η γνώμη. Ποιο το καλύτερο; Η ευδαιμονία. Ποιο θεωρείται ως το πιο αληθινό; Ότι οι άνθρωποι είναι πονηροί. Για το λόγο αυτό λένε ότι ο Πυθαγόρας παίνεσε τον ποιητή, τον Ιπποδάμαντα τον Σαλαμίνιο, ο οποίος έγραψε:
Ω θεοί, από πού κατάγεστε;
Από πού γίνατε αυτοί που είστε;
Ω άνθρωποι, από πού κατάγεστε;
Από πού γίνατε τόσο κακοί;

Η Τετρακτύς θεωρείται από τους Πυθαγορείους ως η ρίζα, η πηγή κάθε δημιουργίας. Αποτελεί τον θΘϊκότερο και ιερότερο όρκο τους και παριστάνεται με στιγμές, των οποίων η διάταξη κατασκευάζει τρίγωνον εντελές, δηλαδή ισοσκελές, του οποίου η κάθε πλευρά έχει τέσσερις στιγμές. Οι τέσσερις πρώτοι αριθμοί είναι αυτοί με τους οποίους ο κόσμος διοικείται με αρμονία, και η αρμονία αυτή είναι ένα σύστημα τριών συγχορδιών, της τετάρτης, της πέμπτης, της ογδόης και της διπλής ογδόης, των οποίων οι αναλογίες βρίσκονται στους τέσσερις πρώτους αριθμούς.Η αρμονία αυτή, κατά τον Ιάμβλιχο, κυβερνά τη μουσική των ουράνιων σφαιρών, πάνω στις οποίες, σύμφωνα με τον Πλάτωνα, στέκεται μια Σειρήνα που τραγουδά σε μια συγκεκριμένη τονικότητα. οι σειρήνες είναι οκτώ (όσοι και οι φθόγγοι μιας οκτάβας και το τραγούδι τους δημιουργεί μια μοναδική αρμονία (Πλάτωνος Πολιτεία). Καθίσταται λοιπόν σαφές για ποιο λόγο ο Πυθαγόρας θεωρούσε την τετρακτύν ως το μαντείο των Δελφών: επειδή είναι η ουσιαστικότερη αλήθεια του σύμπαντος και το μαντείο έχει σκοπό να την αποκαλύπτει.Στους τέσσερεις πρώτους αριθμούς των Πυθαγορείων αναφέρεται και ο Αριστοτέλης στο Περί Ψυχής. Ο Σταγειρίτης, επιχειρώντας να περιγράψει την παλαιότερη άποψη περί της ψυχής, μας παραπέμπει στο κατά πάσαν πιθανότητα Πυθαγορικό σύγγραμμα Περί Φιλοσοφίας. Σύμφωνα με το κείμενο λοιπόν αυτό, το ίδιο το έμψυχο ον απορρέει από την ιδέα του Ενός ή αλλιώς, ο Νους είναι το Ένα. Η Επιστήμη, η γνώση δηλαδή, είναι το Δύο, επειδή μόνο κατά τον τρόπο αυτό πορεύεται προς τη μονάδα. 
Ο αριθμός της επιφάνειας είναι η γνώμη και ο αριθμός του όγκου η αίσθηση, καθώς, όπως έλεγαν, οι αριθμοί είναι οι μορφές καθεαυτές και οι αρχές και συγκροτούνται από στοιχεία. Στο ίδιο ζήτημα αναφέρεται και ο Θέων ο Σμυρναίος, ο οποίος, αναφερόμενος στη Δεκάδ, αναγνωρίζει έντεκα διαφορετικές τετρακτύες ή τετράδες, αναλογικές όμως μεταξύ τους: τη θεμελιώδη (1+2+3+4) και οι πρωταρχικές συνηχήσεις της κλίμακας - όπως στον Σέξτο, της ψυχής του κόσμου οι γεωμετρικές πρόοδοι με λόγο 2 (1, 2, 4, 8) και 3 (1, 3, 9, 27). 
Τη φύση των μεγεθών (1=σημείο, 2=ευθεία γραμμή, 3=καμπύλη γραμμή, 4=επίπεδη επιφάνεια, 9=κυρτή επιφάνεια, 8=στερεό με κυρτή επιφάνεια, 27=στερεό με επίπεδη επιφάνεια), τα στοιχεία της φύσης (1φωτιά, 2αέρας, 3νερό, 4=γη), τα γεωμετρικά σχημάτα (1=πυραμίδα, 2=οκτάεδρο, 3=εικοσάεδρο, 4=κύβος), τα φυομένα (1=το σπέρμα που αντιστοιχεί στη μονάδα και το σημείο, 2=η αύξηση κατά μήκος στη δυάδα και στη γραμμή, 3=η αύξηση κατά πλάτος στην τριάδα, 4=η αύξηση κατά όγκο στην τετράδα και στο στερεό). 
Τη γενετική ανάπτυξη της κοινωνίας (1=άνθρωπος, 2=οικογένεια, 3=κώμη, 4=πόλις), τις γνωστικές ιδιοτήτες (1=νους, 2=επιστήμη, 3=δόξα, 4=αίσθηση), τις διαστάσεις του έμψυχου όντος (1=λογιστικό, 2=θυμικό, 3=επιθυμητικό, 4=το σώμα ως τόπος διαμονής της ψυχής), τη διαδοχή του χρόνου (1=άνοιξη, 2=καλοκαίρι, 3=φθινόπωρο, 4=χειμώνας) και τέλος, τη προόδο των ηλικιών της ζωής (1=παιδική ηλικία, 2=εφηβεία, 3=ώριμη ηλικία, 4=γήρας).Σύμφωνα με την Πυθαγόρεια φιλοσοφία η φύση μπορεί να γίνει κατανοητή μονάχα μέσω της αριθμητικής θεωρίας των αναλογιών σε σχέση με τη γεωμετρική μελέτη των στερεών. Οι Πυθαγόρειοι, λοιπόν, θεωρούν ότι όλα τα στερεά μπορούν να ελεγχθούν βάσει πέντε αρχικών κανονικών πολύεδρων σχημάτων. Ο Πλάτων, έτσι, στον Τίμαιο, παρουσιάζει τα τέσσερα από τα πέντε κανονικά πολύεδρα σχήματα, (το κανονικό τετράεδρο, το κανονικό οκτάεδρο, το κανονικό εικοσάεδρο, και το εξάεδρο ή κύβο), των οποίων η συστατική μονάδα είναι το τρίγωνο (ορθογώνιο και ισόπλευρο).Γίνεται ωστόσο λόγος και για τη σύσταση του πέμπτου πολύεδρου σχήματος, με την οποία ο Θεός προέβαλε το σύμπαν, διακοσμώντας και περιχαράσσοντάς το με αυτήν. Ο Σωκράτης στον Φαίδωνα, επιχειρώντας να παρουσιάσει τη γη, θα το "περιγράψει", ορίζοντάς την ως δωδεκάσπυτον πολύχρωμη σφαίρα.Το δωδεκάεδρο, ωστόσο, διακρίνεται από τα τέσσερα άλλα κανονικά στερεά, καθώς δεν σχηματίζεται από τρίγωνα αλλά από πεντάγωνα, των οποίων οι έδρες διαιρούνται σε δύο τρίγωνα από τη διαγώνιο του τετραγώνου, και των οποίων ο λόγος που προκύπτει από τη σχέση της πλευράς με τη διαγώνιο ισούται με τη Χρυσή Τομή (sectio aurea) ή την proportion divina (Θεία Αναλογία). Η συνένωση μάλιστα των κορυφών του πενταγώνου δημιουργεί πέντε ισοσκελή τρίγωνα σε σχήμα πεντάκτινου αστεριού, των οποίων οι πλευρές, καθώς τέμνονται, σχηματίζουν ένα μικρό αντεστραμμένο πεντάγωνο, το Πεντάγραμμα ή τη Πεντάλφα.Ενώ όμως σύμφωνα με την πλατωνική θεωρία της δημιουργίας του σύμπαντος, η οποία αποδέχεται το συνδυασμό των τεσσάρων ριζωμάτων (της φωτιάς, της γης, του νερού και του αέρα), αυτή η πέμπτη σύσταση δεν φαίνεται να παίζει κάποιο ρόλο κατά τη φάση της δημιουργίας - ξεφεύγει ή βρίσκεται πέραν της διαδικασίας της μίξεως και ορίζεται ως Θεϊκή και εμπεριέχουσα των ριζωμάτων ή των παραγόμενων από αυτά στερεών, καθώς τα περιβάλλει και τα ενσωματώνει - σύμφωνα με τον Αριστοτέλη ορίζεται ως ένα πέμπτο "ρίζωμα"- στοιχείο, ως ο αιθέρας, που είναι το λεπτότερο όλων. 
Είναι η αρχή της κυκλικής κίνησης των άστρων και της ανθρώπινης ψυχής. Τα Πλατωνικά στερεά σε σχέση με τα πέντε στοιχεία ή ριζώματα, από το βιβλίο του Κέπλερ, Harmonices Mundi. Ο Πυθαγόρας μετά τις μελέτες του σχετικά με τους αριθμούς, προχώρησε στην μελέτη της μουσικής. Δεν έβλεπε τη μουσική μόνο σαν μέσο ψυχαγωγίας, αλλά σαν αρμονία, μια αρχή που φέρνει την τάξη στο χάος και στην παραφωνία. Για τους Πυθαγορείους, η μουσική, όπως και οι αριθμοί, είχε διπλή δομή, όχι μόνο χρήσιμη και πρακτική, αλλά και μια φύση που αφήνει τους ανθρώπους να διαπιστώσουν τη δομή και τη φύση του σύμπαντος.
Ο Πυθαγόρας καθόρισε από μαθηματική άποψη τους οκτώ τόνους της κλίμακας. Ο Πυθαγόρας ανέπτυξε ακόμα μια ιδιαίτερη θεωρεία για την ψυχή και την μετενσάρκωση. Οι Πυθαγορικές θεωρίες για την ψυχή αναπτύσσονται εκτενώς από τον Πλάτωνα στο έργο του "Φαίδων", αλλά επίσης και στο έργο του "Φαίδρος". Ο Πυθαγόρας επηρέασε τους μετέπειτα φιλοσόφους, οι οποίοι επέκτειναν την γνώση του κλασσικού κόσμου και άνοιξαν τον δρόμο για τις έπειτα φιλοσοφίες των Νεοπυθαγορείων και Νεοπλατωνιστών.ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΚΟ ΥΛΙΚΟ










ΠΗΓΕΣ :
(1) :
(2) :
(3) :
(4) :
(5) :
(6) :
(7) :
(8) :
(9) :
(10) :
(11) :
(12) :
(13) :